Luyện thi Đại học, Cao đẳng môn Toán - Chuyên đề: Phương trình đường thẳng

 = =   
JJJG
G JJJG . 
Khi đó 1 2
4 4
u u u ,
10 10
= +  
G G G  là véctơ chỉ phương của đường 
phân giác trong (d). Từ đó suy ra phương trình của 9d) : x − y + 3 = 0. 
Cách 3 : Vì đường thẳng (d) qua A(−6, −3) nên phương trình (d) có 
dạng : α(x + 6) + β(y + 3) = 0, ở đó 2 2 0.α +β > Do tính chất của 
đường phân giác trong và tính chất khoảng cách ta có : 
d(B,(d)) AB 2
d(C,(d)) AC 5
= = ; Nhưng B, C nằm về hai phía khác nhau đối với 
đường thẳng (d), nên khi thay tọa độ của B, C vào vế trái phương trình 
của 9d), ta có : 
 42
2 6
15 5 5
α + β = −α + β
2 ⇒ α + 3β = −(3α + β) ⇒ α + β = 0, chọn α = 1, β 
= −1, ta có phương trình (d) có dạng : x − y + 3 = 0. 
Dạng 7 : Biết đỉnh A, hai đường phân giác trong của góc và góc B
lC . Hãy tìm phương trình các cạnh. 
Ví dụ 7 : (Đề thi Đại học Thương Mai - 2000). 
Cho tam giác ABC biết A(2, −1) và phương trình hai đường phân 
giác trong của B và góc  lC lần lượt là : 
B(d ) : x − 2y + 1 = 0 
C(d ) : x + y + 3 = 0. 
Tìm phương trình đường thẳng BC. 
Lời giải : Lấy điểm đối xứng với A qua và lấy đối xứng 
với A qua d , ta được , nằm trên đường thẳng BC. Từ đó viết 
được phương trình đường thẳng BC. Tính toán như trong ví dụ 1, ta có 
 A ( từ đó phương trình BC : 4x − y + 3 = 0. 
1A
1A
Bd 2A
C
2
2A
1A (0, 3), 2, 5)− −
Nhưng ta nhận thấy rằng không tồn tại tam giác ABC như vậy, vì 
B C
7 2
d d I ,
3 3
× = − − .

)
 Ta thấy rằng A và I nằm về hai phía khác nhau 
đối với đường thẳng BC, trái với tính chất của các đường phân giác 
trong. 
III - Bài tập tự giải 
1. Đề thi Đại học Hàng hải (1999) 
Cho tam giác ABC biết đỉnh A(2, −1), đường cao qua B có phương 
trình : 2x − y + 1 = 0, đường cao qua C có phương trình : 3x + y + 2 = 
0. 
Lập phương trình đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A. 
Đáp số : x + 32y + 30 = 0. 
2. Đề thi Đại học Huế (2001) 
Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(4, 3), 
đường phân giác trong và trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác có 
phương trình lần lượg là x + 2y − 5 = 0 ( 1∆ và 4x + 13y − 10 = 0 
. 2( )∆
Đáp số : Phương trình AC : x + y − 7 = 0. 
 43 
Phương trình AB : x + 7y + 5 = 0. 
Phương trình BC : x − 8y + 20 = 0. 
3. Đề thi Đại học Sư phạm II Hà Nội, 2000 
Trên mặt phẳng, cho hệ tọa độ trực chuẩn Oxy và cho tam giác 
ABC với đỉnh A(1, 1). Các đường cao hạ từ B và C lần lượt nằm trên 
các đường thẳng và theo thứ tự có phương trình −2x + y − 8 
= 0 và 2x + 3y − 6 = 0. Hãy viết phương trình đường thẳng chứa đường 
cao hạ từ đỉnh A và xác định tọa độ của các đỉnh B, C của tam giác 
ABC. 
1(d ) 2(d )
Đáp số đường cao AH : 10x + 13y − 23 = 0 
C(3, 0), B(−17, −26). 
4. Các đề 84, 85, 89, 98, 72, câu hình học, trong bộ đề thi tuyển 
sinh. NXB Giáo dục, 1996. 
Bài 3. Góc và khoảng cách 
I - Nhắc lại lý thuyết 
1. Góc 
a) Góc giữa hai véctơ : Cho hai véctơ khác không a, b.
GG 
Gọi ϕ là số đo góc giữa hai véctơ a, bGG thì 0 ≤ ϕ ≤ và o180
a .b
cos .
a . b
ϕ =
GG
GG 
b) Góc giữa hai đường thẳng : Cho hai đường thẳng 1∆ và 2.∆
Nếu 1∆ song song hay trùng với 2∆ , thì số đo góc giữa và 
bằng 0. 
1∆ 2∆
Nếu cắt , thì tạo thành bốn góc trong đó có 2 cặp góc đối 
đỉnh. Số đo bé nhất của bốn góc đó được gọi là số đo của góc tạo bởi 
 ∆ . Vậy, nếu ϕ là góc tạo bởi 
1∆ 2∆
1,∆ 2 1∆ và 2∆ thì 0 9 o≤ ϕ ≤ 0 .
c) Công thức tính góc : 
+ Giả sử , 1 1 2u (a , a )
G
2 1 2u (b , b )
G là hai véctơ chỉ phương của và 
 tương ứng, thì 
1∆
2∆
1 2 1 1 2 2
1 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2
u .u a b a b
cos cos(u , u )
u . u a a b b
+ϕ = = =
+ + +
G GG G G G . 
 44
+ Giả sử 1 1 1 1n (A , B ) ,⊥ ∆G 2 2 2n (A , B ) 2⊥ ∆G thì 
1 2 1 2
1 2 2 2 2 2
1 1 2 2
A A B B
cos cos(n , n )
A B A B
+ϕ = =
+ +
G G 
+ Nếu có hệ số góc và 1∆ 1k 2∆ có hệ số góc thì 2k
2 1
1 2
k
k
−k
tg
1 k
ϕ = + . 
2. Khoảng cách 
a) Cho 2 điểm 1 1M(x , y ), 2 2N(x , y ) , khoảng cách 
2 2
12 1 2MN (x x ) (y y ) .−= − + 
b) Cho đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0 và điểm o o oM (x , y ), thì 
khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ được tính theo công thức : o
o o
o 2 2
Ax By C
d(M , ) .
A B
+ +∆ =
+
3. Chú ý : 
a) Cho đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0 và điểm o o oM (x , y ) ,∉∆ 
 Từ hạ n(A, B) .⊥ ∆G oM oM H ,⊥ ∆
oHM
 H ∈ ∆. Ta nói và nằm 
cùng phía đối với ∆ nếu 
oM n
G
JJJJJJG
 và nG cùng chiều. 
Ta có kết quả : , oM n
G nằm cùng phía với ∆ khi và chỉ khi 
. o oAx B C 0+ + >
b) Cho hai điểm o o oM (x , y )∉∆ và M (1 1 1x , y ) .∉∆ 
Khi đó nằm về hai phía khác nhau đối với ∆ khi và chỉ khi oM ,
o o
1M
1 1(Ax By C)(Ax By C) 0.+ + <
o ox B
+ + , nằm về cùng một phía 
đối với ∆ khi và chỉ khi (A
oM 1M
1 1y C)(A Bx y C) 0.+ + + + > 
II - Luyện tập 
Ví dụ 1 : Đề thi Đại học Kinh tế quốc dân (1999). 
Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(0, 1) và tạo với đường 
thẳng ∆ : x + 2y + 3 = 0 một góc bằng 45 o.
 45 
Lời giải. Phương trình đường thẳng ∆ : 1 3y x
2 2
,= − − ∆ có hệ số 
góc 1
1
k .
2
= − 
Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) cần tìm, phương trình (d) có 
dạng y = kx + 1. 
Theo giả thiết ∆ và (d) tạo với nhau góc , nên o45
o
1
k
2tg tg 45 1
1
1 k
2
+
ϕ = = =
−
⇒ |2 − k| = |2k + 1| ⇒ 2 − k = ±(2k + 1) ⇒ 1k
3
= hoặc k = −3. Như 
vậy, có hai đường thẳng thỏa mãn điều kiện bài toán : 
1
y x 1
3
= + hoặc y = −3x + 1. 
Ví dụ 2 : Một tam giác cân ABC đỉnh A, có cạnh đáy BC nằm trên 
đường thẳng có phương trình y = 3x + 5, cạnh bên AB có phương 
trình x + 2y − 1 = 0. Lập phương trình của cạnh bên còn lại AC, biết 
rằng nó qua điểm P(1, −3). 
1∆
Lời giải : Gọi ϕ là góc tạo bởi đường thẳng AB và BC ; cạnh BC có 
hệ số góc cạnh AB có hệ số góc 1k 3= , 2 1k 2 .= Như vậy 
1
3
2tg 7=
3
1
2
+
ϕ =
−
 ; Cạnh AC qua điểm P và tạo với đường thẳng BC 
một góc ϕ mà tgϕ = 7 do tam giác ABC cân đỉnh A, hơn nữa hệ số góc 
của AC là 1
2
≠ −k do AB và AC không song song. 
Từ đó ta có : k 3 7
1 3k
− =+ ⇔ k − 3 = ±7(1 + 3k) ⇔ 
2
k
11
= − do 
1
k
2
≠ − . Phương trình cạnh AC có dạng 2y (x 1) 3
11
= − − − hay 2x + 
11y + 31 = 0. 
Ví dụ 3 : Cho đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0 và hai điểm 
1 1M(x , y ) , N( 2 2x , y ). Tìm điểm P, Q trên đường thẳng ∆ sao cho 
 46
a) PM + PN nhỏ nhất. 
b)  QM − QN  lớn nhất. 
Lời giải. 
a) Nếu M, N nằm về hai phía khác nhau đối với đường thẳng ∆, thì 
điểm P = (MN) × ∆ là giao của đường thẳng MN với ∆. 
Nếu M, N nằm cùng một phía đối với ∆, thì lấy M' đối xứng với M 
qua ∆. Khi đó điểm P cần tìm là giao của M'N với ∆. 
Chú ý : Bài toán luôn có một nghiệm duy nhất. 
b) Nếu M, N nằm cùng phía đối với ∆ thì điểm Q là giao của đường 
thẳng MN với ∆. 
Nếu M, N nằm khác phía nhau đối với ∆, thì lấy M' đối xứng với M 
qua ∆, và Q là giao của đường thẳng M'N với ∆. 
Chú ý : + Nếu khoảng cách từ M và từ N đến đường thẳng ∆ khác 
nhau, thì bài toán có một nghiệm. 
+ Nếu khoảng cách từ M và từ N đến ∆ bằng nhau và khác không, 
thì bài toán vô nghiệm. 
Ví dụ 4 : Cho hàm số 2 2y x 2x 5 x 6x 10= − + + + + . Tìm giá trị 
nhỏ nhất (min) của hàm số trên. 
Lời giải : 
2 2y (x 1) 4 (x 3) 1= − + + + + 
Nếu đặt M(1, 2), N(−3, −1) và P(x, 0) ∈ Ox thì y = MP + NP. 
Như vậy, bài toán trên có nghĩa là tìm giá trị nhỏ nhất của tổng MP 
+ NP với P chạy trên trục Ox. 
Do M, N nằm khác phía nhau đối với trục Ox, nên 
miny MN 16 9 5.= = + = 
Giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt được tại x là hoành độ giao điểm 
của MN với trục Ox. 
Phương trình MN : x 3 y 1
4 3
+ += cho y = 0, ta có 5
3
x .= − 
III - Bài tập tự giải 
1. Lập phương trình đường thẳng ∆ qua điểm P(2, 5) sao cho 
khoảng cách từ điểm Q(5, 1) đến đường thẳng ∆ bằng 3. 
Đáp số : x = 2 hoặc 7x + 24y − 134 = 0. 
 47 
2. Tìm trên trục Ox một điểm P sao cho tổng các khoảng cách từ P 
tới A(1, 2) và B(3, 4) là nhỏ nhất. 
Đáp số 5P , 0
3
    . 
3. Đề thi Đại học Mỏ địa chất (2001) 
Cho ba điểm A(10, 5), B(15, −5), D(−20, 0) là ba đỉnh của hình 
thang cân ABCD (AB // CD). 
Hãy tìm tọa độ điểm C. 
Đáp số : C(−7, −26). 
4. Đề thi Học viện Kĩ thuật Quân sự (2001) 
Cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x − 3y − 1 = 
0, cạnh bên AB có phương trình x − y − 5 = 0. Đường thẳng chứa AC 
qua điểm M(−4, 1). Hãy tìm tọa độ đỉnh C. 
Đáp số 8 1C ,
5 5
   . 
5. Đề thi Đại học Nông nghiệp I (1997) 
Cho ba điểm A(1, 1), B(3, 3), C(2, 0) trong mặt phẳng với hệ tọa độ 
Đềcác vuông góc. 
a) Tính diện tích tam giác ABC. 
b) Tìm trên Ox điểm M sao cho góc nAMB max. 
Đáp số M( 6,0). 
6. Một số đề : 15, 22, 71, 74, 116 trong bộ đề thi Đại học. 
Bài 4 
Đường tròn 
I - Nhắc lại lý thuyết 
1. Định nghĩa : Đường tròn là tập hợp các điểm trong mặt phẳng 
cách đều một điểm cho trước một khoảng không đổi R > 0. 
Điểm cho trước được gọi là tâm đường tròn. Khoảng không đổi 
được gọi là bán kính của đường tròn. 
2. Phương trình : 
a) Phương trình đường tròn biết tâm I(a, b), bán kính R : 
2 2(x a) ( 2y b) R− + − = . 
Phương trình trên còn được gọi là phương trình chính tắc. 
 48
b) Phương trình tham số của đường tròn tâm I(x, b), bán kính R > 0 
là 
x a R cos t
y b Rsin t
= + = + 
c) Phương trình tổng quát : Mọi đường tròn trong mặt phẳng đều có 
phương trình viết được dưới dạng 
2 2x y 2ax 2by C 0+ − − + = 
Đây là đường tròn tâm I(a, b), bán kính 2 2bR a c.= + − 
d) Chùm đường tròn : 
Cho hai đường tròn : x1( )C
2 2
1 1 1y 2a x 2b y c 0+ − − + = và 2(C :)
2 2
2 2 2x y 2a x 2b y c+ 0
)
+ − − =
1( )C 2C
 cắt nhau tại hai điểm A, B. Tập hợp các 
đườn tròn qua A, B ; kể cả đường thẳng AB được gọi là chùm đường 
tròn xác định bởi và ( . Đườn tròn (C) thuộc chùm khi và chỉ 
khi phương trình (C) có dạng : 
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2(x y 2a x 2b y c ) (x y 2a x 2b y c ) 0α + − − + +β + − − + =
2 2 0.α +β >
 ở 
đó 
3. Tiếp tuyến của đường tròn 
a) Cho đường tròn C(I, R) tâm I(a, b), bán kính R. Đường thẳng ∆ : 
Ax + By + C = 0 tiếp xúc với đường tròn khi và chỉ khi khoảng cách từ 
tâm I đến đường thẳng ∆ bằng bán kính, nghĩa là