Bài tập tổng hợp về đường thẳng và mặt phẳng

Bài tập tổng hợp về đường thẳng và mặt phẳng
Bài 1: Cho A(2, 1, 1); B(0, -1, 3) và đường thẳng (d): 
	a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB. Gọi K là giao điểm của (d) và (P), chứng minh (d) vuông góc với IK.
	b/ Viết phương trình tổng quát của (d/) là hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt phẳng (Q) có phương trình: x + y – z + 1 = 0.
Giải:
	a/ Vì I là trung điểm của AB nên I có toạ độ: I(1, 0, 2). Mặt phẳng (P) qua I vuông góc với AB nên có pháp véc tơ là và phương trình của (P) là:
	-2(x - 1) - 2(y - 0) + 2(z - 2) = 0 Û x + y – z + 1 = 0.
Toạ độ của K là nghiệm của hệ phương trình: suy ra K(3, -1, 3).
Ta có ; ị = -12 +9 + 3 = 0. Vậy (d) vuông góc với IK.
	b/ Ta có (d/ ) là giao của (Q) và (R) với (R) là mặt phẳng chứa (d) và vuông góc với (Q). Ta đi tìm phương trình của (R):
Vì (R) chứa (d) và vuông góc với (Q) nên (R) nhận làm cặp véc tơ chỉ phương. Do vậy = (6, -3, 3).
Điểm M(9, 8, 0) thuộc (d) nên M cũng thuộc (R). Vậy phương trình của (R) là:
	6(x – 9) - 3(y – 8) + 3(z - 0) = 0 Û 2x – y + z – 10 = 0.
Phương trình đường thẳng (d/) cần tìm là: 
Bài 2: Cho A(- 4, - 2, 4) và (d): . Viết phương trình đường thẳng (D) qua A cắt và vuông góc với (d).
Giải:
	Gọi B là điểm bất kỳ thuộc (d), B có toạ độ là: B( -3 + 2t, 1 – t, -1 + 4t).
Suy ra: = (1 + 2t, 3 – t, -5 + 4t).
Đường thẳng (D) cần tìm chính là đường thẳng qua A, B nếu AB ^ (d) hay =0 
Ta có: =(2, -1, 4) nên = 0 Û 2 + 4t – 3 + t – 20 + 16t = 0 Û t = 1.
Do vậy: =(3, 2, -1) và phương trình của đường thẳng (D) là: 
Bài 3: Cho A(-1, -2, 0); B(2, 1, -1); C(0, 0, 1).
	a/ Tính độ dài đường cao CH của tam giác ABC và tính diện tích tam giác ABC.
	b/ Tính thể tích tứ diện OABC ( O- gốc toạ độ).
Giải:
	a/ Ta có =(3, 3, -1) nên phương trình tham số của đường thẳng (d) qua A, B là: 	
	H là điểm thuộc (d) nên có toạ độ là: H(-1 +3t, -2 + 3t, -t) 
	và =(-1+ 3t, -2 + 3t, -t – 1).
	Vì CH vuông góc với AB nên . = 0 hay -3 + 9t -6 + 9t + t + 1 = 0 Û t = 
	Khi đó: =(5/19, -14/19, -27/19) và CH = .
	Mặt khác AB = nên	diện tích tam giác ABC là 
	b/ Ta có VOABC = = 
Bài 4: Cho A(0, -2, 0); B(2, 1, 4) và mặt phẳng (a): x + y – z + 5 = 0
Tìm điểm M trên đường thẳng (d) qua A, B sao cho khoảng cách từ M đến (a) bằng .
Giải: 
	Ta có =(2, 3, 4) nên đường thẳng (d) qua A, B có phương trình dạng tham số là:
	. Vì M thuộc (d) ị M(2t, -2 + 3t, 4t).
	.
Vậy có hai điểm M thoả mãn yêu cầu là: M1(6, 7, 12) và M2(-18, -29, -36).
Bài 5: Cho A(2, -1, 1); B(-2, 3, 7) và đường thẳng (d): 
	a/ Chứng tỏ (d) và A, B đồng phẳng.
	b/ Tìm điểm I thuộc (d) sao cho IA + IB nhỏ nhất.
Giải:
	a/ Ta có: = (- 4, 4, 6); ; M(2, 2, -1)ẻ(d) ị =(0, 3, -2).
	Ta tính được: . Vậy A, B và (d) đồng phẳng.
b/ Vì và cùng phương và Aẽ(d) nên (d)// AB, suy ra A, B nằm cùng phía so với (d). *Ta đi tìm toạ độ của A/ là đối xứng với A qua (d):
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (d), vì H thuộc (d) nên H(2 + 2t, 2 – 2t, - 1 – 3t). Suy ra = (2t, 3 – 2t, -2 – 3t). 
Vì AH ^ (d) ị .= 0 hay 4t – 6 + 4t + 6 + 9t = 0 Û t = 0 ị H(2, 2, -1).
(d)
I0
H
A/
B
A
Vì H là trung điểm của AA/ nên ta có: A/(2, 5, -3).
* Ta tìm toạ độ giao điểm I0 của (d) và đường thẳng qua A/, B:
Ta có: = (- 4, -2, 10). Đường thẳng (d/) qua A/, B có 
phương trình tham số: 
Do I0 thuộc (d/) nên I0(2 – 4t, 5 – 2t, -3 + 10t).
Vì I0 thuộc (d) nên: ị t = 1/2.
Khi đó I0(0, 4, 2).
* Ta chứng minh rằng IA + IB nhỏ nhất khi I º I0:
	Thật vậy: Vì (d) là trung trực của AA/ nên mọi I thuộc (d) ta có: IA = IA/.
Do đó IA + IB = IA/ + IB ≥ A/B. Dấu “=” xấy ra Û A/, I, B thẳng hàng, hay I º I0.
Tóm lại điểm I cần tìm là I(0, 4, 2).
Bài 6: Cho hai đường thẳng:
	(d1): và (d2): 
	a/ Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau, tính khoảng cách giữa chúng.
	b/ (D) là đường thẳng qua M(1, 1, 1), vuông góc với (d1) và cắt (d2). Viết phương trình chính tắc của (D).
Giải:
	a/ Ta có: =(1, 2, -1); (3, -1, 2) ; M1(-1, 1, 3)ẻ(d1); M2(1, -1, 2)ẻ(d2);
	 =(2, -2, -1). 
	Ta tính được: =23 ạ 0. Vậy (d1), (d2) chéo nhau.
	Khoảng cách d giữa (d1) và (d2) là: d = =
	b/ Phương trình tham số của (d2) là: .
	Gọi N là điểm bất kỳ thuộc (d2), ta có: N(1 + 3t, -1- t, 2 + 2t).
	Đường thẳng (D) chính là đường thẳng qua M, N nếu 
	Ta có: ị Û 3t - 4 – 2t – 1 – 2t = 0 Û t = -5.
	Khi đó: 
	và phương trình đường thẳng (D) cần tìm là: 
Bài 7: Cho A(1, 1, 1), mặt phẳng (P): x + y – z – 2 = 0 và đường thẳng (d): 
	Viết phương trình đường thẳng (d/) qua A, song song với (P) và cắt (d).
Giải:
	Gọi B là điểm bất kỳ thuộc (d) ị B( 2 + t, t, 1 – t) và =(1 + t, t – 1, -t). Đường thẳng qua A, B chính là đường thẳng (d/) cần tìm nếu AB // (P) hay .=0.
Ta có: =(1, 1, -1) nên .=0 Û 1 + t + t – 1 + t = 0 Û t = 0
Suy ra =(1, -1, 0) và phương trình (d/) cần tìm là: 
Bài 8: Cho A(2, 3, 0); B( 0, , 0) và đường thẳng (D): 
	a/ Viết phương trình mặt phẳng (a) qua A và vuông góc với (D).
	b/ Tìm toạ độ giao điểm H của (D) và (a). Suy ra khoảng cách từ A đến (D).
	c/ Tìm điểm M thuộc (D) sao cho MA + MB ngắn nhất.
(D)
(a)
H
A
Giải:
	a/ Vì (a) ^ (D) nên =(2, 0, -2). 
	 Mặt khác: Aẻ(a) nên phương trình của (a) là: 
	2(x – 2) – 2(z – 0) = 0 hay x – z – 2 = 0
	b/ Toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình: 
	Vậy: H(2, 0, 0) 
	và khoảng cách từ A đến (D) là AH = 
	c/ *Kiểm tra tính đồng phẳng của A, B và (D):
	Ta có: , , . Ta tính được: 	 nên A, B, (D) không đồng phẳng.
	 * Ta tìm toạ độ của A1, B1 tương ứng là hình chiếu vuông góc của A, B lên (D):
Ta có: và H(2, 0, 0) ẻ(D) nên phương trình tham số của (D) là: 	. 
Theo phần b/ thì A/º H(2, 0, 0) và AA/ = AH = 3. Ta còn phải đi tìm B/.
Vì B1 ẻ(D) nên B1(2 + 2t, 0, - 2t) và 
B1
N
A2
A1
A
B
Do BB1 ^ (D) nên hay 4 + 4t + 4t = 0 Û t = -1/2
Suy ra B1(1, 0, 1) và BB1 = 2.
* Ta tìm toạ độ điểm N sao cho :
Giả sử N(xN , yN , zN). 
Khi đó 
* Ta đi chứng minh MA + MB nhỏ nhất khi MºN:
 Thật vậy: Trong mặt phẳng (Q) xác định bởi B và (D) lấy điểm A2 thoả mãn: A2 và B khác phía so với (D), đồng thời: . Suy ra: .
Từ đó ta có A2, N, B thẳng hàng.
Hơn nữa dễ chứng minh được mọi điểm M thuộc (D) thì MA = MA2. Do vậy:
	MA + MB = MA2 + MB ≥ A2B = NA + NB.
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi A2, M, B thẳng hàng, hay MºN.
Tóm lại điểm M cần tìm là: M(7/5, 0, 3/5)
Bài 9: Cho A(-1, 2, 3); B(0, 4, 4); C(2, 0, 3) và D(5, 5, - 4).
	a/ Chứng minh A, B, C, D là 4 đỉnh một tứ diện.
	b/ Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng (ABC).
	c/ Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD.
Giải:
	a/ Ta đi chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng:
	 Ta có: =(1, 2, 1); (3, -2, 0); (6, 3, -7).
	 Ta tính được: . Vậy A, B, C, D không đồng phẳng và chúng là 4 đỉnh một tứ diện.
	b/ Ta tìm phương trình mặt phẳng (ABC):
	(ABC) có pháp véctơ là nên có phương trình là:
	2(x + 1) + 3(y – 2) – 8(z – 3) = 0 hay 2x + 3y – 8z + 20 = 0.
	Gọi (d) là đường thẳng qua D và vuông góc với (ABC), (d) có véc tơ chỉ phương là 	nên (d) có phương trình tham số là: .
	Điểm H cần tìm là giao điểm của (d) và (ABC). Vì H thuộc (D) nên H có toạ độ là:
	H(5 + 2t, 5 + 3t, - 4 – 8t), mặt khác H thuộc (ABC) nên ta có:
	2(5 + 2t) + 3(5 + 3t) – 8(- 4 – 8t) + 20 = 0 Û t = -1
	Vậy điểm H cần tìm là H(3, 2, 4) 
	c/ Ta có: SABC = 
	 VABCD = 
Bài 10: Cho (d1): và (d2): 
	a/ Xét vị trí tương đối của (d1) và (d2).
	b/ Cho A(0, 1, 3), tìm điểm M trên (d2) sao cho AM nhỏ nhất.
Giải:
	a/ Ta có: = (6, -3, -3); = ( -2, 3, 1); M1(2, 2, 0) ẻ(d1); M2(1, 0, 2) ẻ(d2)
	 . 
	Ta tính được . Vậy (d1) và (d2) chéo nhau.
	b/ AM nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của A lên (d2). 
	Phương trình tham số của (d2) là : 
	Do M thuộc (d2) nên ta 	có M( 1 – 2t, 3t, 2 + t) và = (1 - 2t, 3t – 1, t – 1). 
	M là hình chiếu của A lên (d2) khi hay -2 + 4t + 9t – 3 + t – 1 = 0 
	Û t = 3/7 và ta có M(1/7, 9/7, 17/7) là điểm cần tìm.