Bài tập số phức (98 ví dụ và bài tập có lời giải)

ó 21 2 1.| |zz Hệ thức tương 
đương với 
1 2 1 2)( ) 1( z z zz , tức là 1 2
1 2
1 1
( )( ) 1.z z
z z
2
1 2 1 2( ) ,z z z z hay 
2)(
b c
a a
 ⇒ 2b ac . 
b) Theo câu a) 2 2,acb c ab . Nhân các hệ thức được 
2 2 2 2 .c a bc a cb b Do đó 
2 2 2 .b c ab bc caa 
Hệ thức tương đương với 
2 2 2( ) (( ) ) 0,b c c aa b 
Tức là 
2 2 2( ) 2( )( ) ( ) 2( )( ).( ) b c a b b c c a a b ba cb 
Kéo theo 2 ( )( )( ) a ba bc c . Lấy giá trị tuyệt đối, được 2 , 
ở đây | |, | |, | |b c c a a b . Tương tự được 2 2, . Cộng 
các hệ thức, được 
2 2 2 
Tức là 2 2 2) ( ) (( ) 0 . Do đó α=β=γ. 
1.9 Bài tập 
1. Cho các số phức 1 2 31 2 , 2 3 , 1zz i i z i . Tính 
a) 1 2 3z z z , 
b) 1 2 2 3 3 1z z z zz z , 
c) 1 2 3z z z , 
d) 2 2 2
1 2 3z z z , 
e) 1 2 3
2 3 1
z z z
z z z
, 
f) 
2 2
1 2
2 2
2 3
z z
z z
. 
2. Giải phương trình 
a) 5 7 2 ;z i i 
Bài tập số phức 
Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 18 
b) 2 3 5 ;i z i 
c) (2 3 ) 4 5z i i ; 
d) 3 2
1 3
z
i
i
. 
3. Trong C, giải phương trình sau 
a) 2 1 0;z z 
b) 3 1 0.z 
4. Cho z=i. Tính 
0
k
n
k
z , tùy theo số nguyên dương n . 
5. Giải phương trình 
a) (1 2 ) 1 3 ;z i i 
b) 2 11 .( ) 7i z i 
6. Cho z=a+bi. Tính 2 3 4, , .zz z 
7. Cho 0 .z a bi Tìm z∈ C sao cho 
2
0.z z 
8. Cho z=1-i. Tính ,nz n nguyên dương. 
9. Tìm các số thực x, y sao xho 
a) (1 2 ) (1 2 ) 1 ;i x y i i 
b) 
3 3
;
3 3
x y
i
i i
c) 2 2 2 2
1
(3 2 ) 4 (3(4 3 ) 2 ) .
2
i xy y x xyx yi i 
10. Tính 
a) (2 )( 3 2 )(5 4 );i i i 
b) (2 4 )(5 2 ) (3 4 )( 6 );i i i i 
c) 1 86
1
( ( ;
1
) )
1 1
i i
i i
d) 6 6
1 3 1 7
)( ( ;
2 2
)
i i
e) 
3 7 5 8
.
2 3 2 3
i i
i i
11. Tính 
a) 2000 1999 201 82 47;i i ii i 
b) 2 31 ;n
nE ii i i n≥ 1; 
c) 1 2 3 2000. . . ;ii ii 
Bài tập số phức 
Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 19 
d) 5 7 13 100 94( ) ( ) ( ) ;i i i i i 
12. Giải phương trình 
a) 2 ;z i 
b) 2 ;z i 
c) 2
1 2
;
2 2
z i 
13. Tìm các số phức z≠ 0 sao cho 
1
z R
z
14. Chứng minh rằng 
a) 7 7
1 (2 5) (2 5) ;i i RE 
b) 2
19 7 20 5
9 7 6
n n
i i
R
i i
E . 
15. Chứng minh 
a) 
2 3 3
2 2 2 2 2 2 2
1 32 2 312 1 1| | || | | | | | || | | | ;z z z z z z zz z z zz 
b) 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2|1 | (1 | )(1 | );| | | |z z z zz z 
c) 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2|1 | (1 | )(1 | );| | | |z z z zz z 
d) 2 2 2
1
2
1 2 3 3 1 2 3 1 2 32| | | || | | |z z z zz z z z zz z z 
2 2 2 2
1 2 34(| | | | )||z zz . 
16. Cho * 3
3
1
, .| | 2z C
z
z Chứng minh 
1
| 2.|
z
z 
17. Tìm tất cả các số phức z sao cho 
2 2| | 1,| | 1z z z . 
18. Tìm tất cả các số phức z sao cho 
2 24 8 8| .|z z 
19. Tìm tất cả các số phức z sao cho 3 .z z 
20. Xét z∈ ℂ , Re(z)>1. Chứng minh 
1 1 1
| .
2
|
2z
21. Cho các số thực a,b và 
1 3
.
2 2
i Tính 
2 2( () )c ca b a b . 
22. Giải phương trình 
a) | | 2 3 4 ;z z i 
Bài tập số phức 
Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 20 
b) | | 3 4 ;z z i 
c) 3 2 11 , , ,i z x yz i x y Z 
d) 2 (1 2 ) 1 0;iz i z 
e) 4 26(1 ) 5 6 0;i zz i 
f) 2 2 11 0.(1 )z ii 
23. Tìm tất cả các số thực m sao cho phương trình 
3 2(3 ) 3 ( ) 0i zz z m i 
Có ít nhất một nghiệm thực. 
24. Tìm tất cả các số phức z sao cho 
' ( 2)( )iz z z 
là số thực. 
25. Tìm tất cả số phức z sao cho |
1
| ||z
z
. 
26. Cho 1 2, ,z z C sao cho 1 2 1 2| 3,| | | | 1| z z z z . Tính 1 2| |z z . 
27. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 
1 3 1 3
) ) 2.
2 2
( (n n
i i
28. Cho số nguyên n>2. Tìm số nghiệm phương trình 
1nz iz . 
29. Cho 1 2 3, ,z z z là ba số phức 1 2 3| | | | | 0| Rz z z . 
Chứng minh 
2
1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1|| | || || | | || | 9z z z z z z z z z Rz z z . 
30. Cho u,v,w là ba số phức | | 1,|
( )
1
|
.
1,u v w
v u z
u z
. Chứng minh 1 || | 1| w z . 
31. Cho 1 2 3, ,z z z là ba số phức sao cho 
1 2 3 1 2 30,| | | | | | 1.z z z z z z 
Chứng minh 
2 2 2
1 2 3 0z z z . 
32. Cho các số phức 1 2, , , nzz z sao cho 
1 2| || | 0| | nz z rz 
Chứng tỏ 
1 2 2 3 1 1
1 2
( )( ) ( )( )n n n
n
z z z z z z z z
z z
E
z
là số thực. 
33. Cho các số phức phân biệt 1 2 3, ,z z z sao cho 
Bài tập số phức 
Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 21 
1 2 3| || | | | 0z z z 
Nếu 1 2 3 2 3 1 3 1 2, ,z z z z z zz z z là các số thực, chứng tỏ 1 2 3 1z z z . 
34. Cho 1 2,x x là các nghiệm phương trình 
2 1 0x x . Tính 
a) 2000 2000
1 2 ;xx 
b) 1999
1
999
2
1 ;xx 
c) 
1 2 ;
n nx x n N . 
35. Phân tích thành tích các đa thức bậc nhất các đa thức 
a) 4 16;x 
b) 3 27x ; 
c) 3 8x ; 
d) 4 2 1.x x 
36. Tìm tất cả các phương trình bậc hai hệ số thực có một trong các nghiệm sau 
a) (2 )(3 )i i ; 
b) 
5
2
i
i
; 
c) 51 80 45 382 3 4ii i i . 
37. (Bất đẳng thức Hlawka) chứng minh 
1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3| | | | | | | | | | |, ,| | | ,z z z z zz z z z z z z z z z C 
Bài tập số phức 
Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 22 
1.10 Đáp số và hướng dẫn 
Bài tập số phức 
Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 23 
 8. Với mọi số nguyên k không âm, ta có 
Bài tập số phức 
Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 24 
 37. 
1 2 2 3 2 1 2 3 1 23 1 2 3 1 3| . | | 2 | (2 ) | 2 | | . | | 2 | || || z z z z z z z z z z z z z z zz 
1 22 3 33 1 3 2 1| . | | 2 | | . | | |2 2 | ||| z z z z z z z zz z 
1 23 1 31 2 1 2 3| . | | 2 | | . | | |2 2 | ||| z z z z z z z zz z 
Cộng các bất đẳng thức với 
2 2 2 2 2 2 2
1 2 12 3 1 23 1 2 3 3| | || | | | | | | | || |z z z z zz z z z z z z 
có điều phải chứng minh. 
2. Biểu diễn hình học của số phức 
2.1 Biểu diễn hình học của số phức 
Định nghĩa. Điểm M(x,y) trên mặt phẳng Oxy gọi là điểm biểu diễn hình học của số phức 
z=x+yi. Số phức z=x+yi gọi là tọa độ phức của điểm M(x,y). ta dùng ký hiệu M(z) để chỉ tọa độ 
phức của M là z. 
Mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức như trên gọi là mặt phẳng phức. 
Các điểm M,M’ (tương ứng với ,z z ) đối xứng nhau qua Ox. 
Các điểm M,M’’ (tương ứng với ,z z ) đối xứng nhau qua gốc tọa độ O. 
 Mặt khác, ta có thể đồng nhất số phức z=x+yi với v OM

, M(x,y) . 
Bài tập số phức 
Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 25 
2.2 Biểu diễn hình học của Môđun 
2 2 |. |z x yi OM x y z . Khoảng cách từ M(z) đến O là Môđun của số phức z. 
Lưu ý. 
a) Với số thực dương r, tập các số phức với Môđun r biểu diễn trên mặt phẳng phức là đường 
tròn ℭ (O;r). 
b) Các số phức z, |z|r là các 
điểm nằm ngoài đường tròn ℭ (O;r). 
Ví dụ 7. Các số phức 
1 3
,
2 2
1,2,3,4kz ki được biểu diễn trong mặt phẳng phức 
bởi bốn điểm trên đường tròn đơn vị tâm O. Bởi vì 
1 2 3 4| | | | | 1| | |z zz z . 
2.3 Biểu diễn hình học các phép toán 
(1) Phép toán cộng và nhân. Xét số phức 1 1 1 2 2 2,x y i z x y iz và các vectơ tương 
ứng 
1 1 2 2 21 ,v x i y j v x i y j
    
. 
Tổng hai số phức 
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )) (z z x y x y x xi y y ii . 
Tổng hai vectơ 
1 2 1 2 1 2( ) ( )v v x x i y y j
   
. 
Tổng 1 2z z tương ứng với vectơ tổng 1 2v v
 
. 
Bài tập số phức 
Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 26 
Ví dụ 8. 
a) (3 5 ) (6 ) 9 6i i i : biểu diễn hình học của tổng ở hình 1.5. 
b) (6 2 ) ( 2 5 ) 4 3i i i : biểu diễn hình học ở hình 1.6. 
Tương tự, hiệu 1 2z z tương ứng với vectơ 1 2v v
 
c) Ta có ( 3 ) (2 3 ) ( 3 ) ( 2 3 ) 5 2i i i i i , hình 1.7. 
d) (3 2 ) ( 2 4 ) (3 2 ) (2 4 ) 5 2i i i i i , hình 1.8. 
Bài tập số phức 
Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 27 
Khoảng cách hai điểm 1 1 1 2 2 2( , ), ( , )x y M x yM bằng Môđun của số phức 1 2z z bằng độ dài 
vectơ 
1 2v v
 
. 
2 2
1 2 1 2 1 2 2 1 2 1| | | | ( ) ( )M z z v v x x y yM
 
. 
(2) Tích của số phức với số thực. Xét số phức z=x+yi và vectơ tương ứng v xi yj
 
. Nếu λ 
là số thực thì tích λ z=λ x+λyi tương ứng với vectơ 
v xi yj
 
. 
Nếu λ >0 thì ,v v
 
cùng hướng và 
| | | |v v
 
. 
Nếu λ<0 thì ,v v
 
ngược hướng và 
|| | |v v
 
. 
Tất nhiên , λ =0 thì 0v

. 
Ví dụ 9. 
a) Ta có 3(1 2 ) 3 6i i , hình 1.10 
b) 2( 3 2 ) 6 4i i 
Bài tập số phức 
Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 28 
2.4 Bài tập 
1. Biểu diễn hình học các số phức sau trên mặt phẳng phức 
1 2 3 43 , 4 2 , 5 4 , 5 ,z z zi zi i i 
5 6 7 8z1, 3 , 2 , 4z .i iz z 
2. Biểu diễn hình học các hệ thức 
a) ( 5 4 ) (2 3 ) 3i i i ; 
b) 4 i 6 4i 2 3i ; 
c) ( 3 2 ) ( 5 ) 2 3i i i ; 
d) (8 ) (5 3 ) 3 4i i i ; 
e) 2( 4 2 ) 8 4i i ; 
f) 3( 1 2 ) 3 6i i . 
3. Biểu diễn hình học z 
a) | 2 | 3z ; 
b) | | 1z i ; 
c) | 1 2 | 3z i ; 
d) | 2 | | 2 | 2z z ; 
e) 0 Re( ) 1z ; 
f) 1 Im( ) 1z ; 
g) 
1
e(
2
) 0R
z
z
; 
h) 
1 z
R
z
4. Tìm tập các điểm M(x,y) trong mặt phẳng phức 
Bài tập số phức 
Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 29 
2 4| 4 | 10x i y . 
5. Cho 1 2z1 , 1i iz . Tìm z3∈ ℂ sao cho các điểm biểu diễn của 1 2 3, ,z z z tạo 
thành tam giác đều. 
6. Tìm các điểm biểu diễn 2 3,,z z z sao cho chúng tạo thành tam giác vuông. 
7. Tìm các điểm biểu diễn số phức z sao cho 
|
1
| 2z
z
. 
2.5 Đáp số và hướng dẫn 
3. 
a) Đường tròn tâm (2,0) bán kinh 3. 
b) Hình tròn tâm (0,-1) bán kính 1. 
c) Phần ngoài đường tròn tâm (-1,-2) bán kính 3. 
7.Hợp hai đường tròn 
2 2 2 22 1 0, 2 1 0y y x y yx . 
3. Dạng lượng giác của số phức 
3.1 Tọa độ cực của số phức 
Trong mặt phẳng Oxy, cho M(x,y) khác gốc tạo độ. 
Bài tập số phức 
Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 30 
Số thực 2 2r x y gọi là bán kính cực của điểm M. Số đo θ∈ [0;2π) của góc lượng giác 
, )(Ox OM
 
gọi là argument của M. Cặp có thứ tự (r,θ) gọi là tọa độ cực của M, viết M(r,θ). 
Song ánh 
(0,0) (0, ) [0: ,2 ), (( , )) ( , )R hh R x y r 
Điểm gốc O là điểm duy nhất có r=0, θ không xác định. 
Mỗi điểm M trong mặt phẳng có P là giao điểm duy nhất của tia OM với đường tròn đơn vị 
tâm O. 
Rõ ràng 
cos
sin
x r
y r
. 
Xét argument cực của M với các trường hợp sau: 
a) Nếu x≠ 0, từ tan
y
x
, được 
arctan ,
y
k
x
ở đây 
0, 0 & 0
1, 0,
2, 0, 0
x y
x y R
x y
k 
b) Nếu x= 0, và y≠ 0 được 
Bài tập số phức 
Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 31 
, 0
2
3