Bài tập Quan hệ vuông góc có lời giải (P1)

 tại H 
	Þ DH ^ BH 	(1)
	· DSOA vuông cân tại O, H là trung điểm của SA Þ OH ^ SA 	(2)
	· SO ^ (ABCD) Þ SO ^ BD, mặt khác AC ^ BD 	(3)
	· Từ (2) và (3) ta suy ra SA ^ (HBD) SA ^ HD 	(4) 
	Từ (1) và (4) ta suy ra DH ^ (SAB), mà DH (SAD) nên (SAD) ^ (SAB)
	· Gọi I là trung điểm của SC dễ thấy OI = OH = OB = OD Þ DIBD vuông tại I Þ ID ^ BI 	 (5)
	· Þ DDSC cân tại D, IS = IC nên ID ^ SC 	(6) 
	Từ (5) và (6) ta suy ra ID ^ (SBC), mà ID (SCD) nên (SBC) ^ (SCD).
	c) Tính khoảng cách giữa SA và BD.
	OH ^ SA, OH ^ BD nên .
Bài 2: 
a) Chứng minh: (SBC) vuông góc (SAI).
	· SA ^ (ABC) Þ SA ^ BC, AI ^BC Þ BC ^ (SAI)
	Þ (SBC) ^ (SAI)
b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
	· Vẽ AH ^ SI (1) . BC ^ (SAI) Þ BC ^ AH (2)
	Từ (1) và (2) ÞAH ^ (SBC) nên d( A,(SBC)) = AH
	· 
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).
	· , SI ^ BC 
	Þ 
	· 
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, , SO ^ (ABCD), 
 	. Gọi E là trung điểm BC, F là trung điểm BE.
	a) Chứng minh: (SOF) vuông góc (SBC).
	b) Tính khoảng cách từ O và A đến (SBC).
	c) Gọi () là mặt phẳng qua AD và vuông góc (SBC). Xác định thiết diện của hình chóp bị cắt bởi (). Tính góc giữa () và (ABCD). Giải: 
a) Chứng minh: (SOF) vuông góc (SBC).
	· DCBD đều, E là trung điểm BC nên DE ^ BC
	· DBED có OF là đường trung bình nên OF//DE, 
	DE ^ BC Þ OF ^ BC	(1)
	· SO ^ (ABCD) Þ SO ^ BC 	(2)
	Từ (1) và (2) Þ BC ^ (SOF) 
	Mà BC (SBC) nên (SOF) ^(SBC).
b) Tính khoảng cách từ O và A đến (SBC).
	· Vẽ OH ^ SF; (SOF) ^ (SBC),
	· OF = ,
	· Trong mặt phẳng (ACH), vẽ AK// OH với K Î CH Þ AK ^ (SBC) Þ 
	c) · 
	· Xác định thiết diện
	Dễ thấy Þ K Î (a) Ç (SBC). 
	Mặt khác AD // BC, nên 
 	Gọi Þ B¢C¢ // BC Þ B¢C¢ // AD 
	Vậy thiết diện của hình chóp S.ABCD bị cắt bời (a) là hình thang AB’C’D
	· SO ^ (ABCD), OF là hình chiếu của SF trên (ABCD) nên SF ^ BC Þ SF ^ AD	(*)
	· 	(**)
	· Từ (*) và (**) ta có SF ^ (a)
	· SF ^ (a), SO ^ (ABCD) Þ 
	· Þ 
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a và khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a . Gọi H là trung điểm BC, I là trung điểm AH.
	1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a.
	2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (ABC).
 	3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.
Giải:
1) CMR: BC ^ (ADH) và DH = a.
	DABC đều, H là trung điểm BC nên AH ^ BC, AD ^ BC 
	Þ BC ^ (ADH) Þ BC ^ DH Þ DH = d(D, BC) = a
2) CMR: DI ^ (ABC).
	· AD = a, DH = a DDAH cân tại D, mặt khác I là trung điểm 	AH nên DI ^ AH 
	· BC ^ (ADH) Þ BC ^ DI
	Þ DI ^ (ABC)
3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.
	· Trong DADH vẽ đường cao HK tức là HK ^ AD 	(1) 
	Mặt khác BC ^ (ADH) nên BC ^ HK 	(2) 
	Từ (1) và (2) ta suy ra 
	· Xét DDIA vuông tại I ta có:
	· Xét DDAH ta có: S = = Þ 
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và SA = . Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc (SCD). Thiết diên cắt bởi (P) và hình chóp là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó.
Giải: 
	· 	Trong tam giác SAD vẽ đường cao AH Þ AH ^ SD 	(1)
· 	SA ^ (ABCD) Þ CD ^ SA
	CD^ AD Þ CD ^ (SAD) Þ CD ^ AH	(2)
· 	Từ (1) và (2) Þ AH ^ (SCD) 
	Þ (ABH) ^ (SCD) Þ (P) ™ (ABH) 
· 	Vì AB//CD Þ AB // (SCD), (P) É AB nên (P) Ç (SCD) = HI
	Þ HI // CD Þ thiết diện là hình thang AHIB. 
	Hơn nữa AB ^ (SAD) 
	Vậy thiết diện là hình thang vuông AHIB.
·	
· 	DSAD có 
	(3)
	(4)
	· Từ (3) và (4) ta có: 	.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên (SAB), (SAC) cùng vuông góc với (ABC), tam giác ABC vuông cân tại C. AC = a, SA = x.
	a) Xác định và tính góc giữa SB và (ABC), SB và (SAC).
	b) Chứng minh . Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
	c) Tinh khoảng cách từ O đến (SBC). (O là trung điểm của AB).
	d) Xác định đường vuông góc chung của SB và AC
Giải: 
a) Xác định và tính góc giữa SB và (ABC), SB và (SAC).
	· (SAB) ^ (ABC) và SAC) ^ (ABC) nên SA ^(ABC) AB là hình chiếu của SB trên (ABC)
	· BC ^ AC, BC ^ SA nên BC ^ (SAC) Þ SC là hình chiếu của SB trên (SAC)
	Þ 
b) Chứng minh . Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
	· Theo chứng minh trên ta có BC ^ (SAC) Þ (SBC) ^ (SAC) 
	· Hạ AH ^ SC Þ AH ^ BC (do BC ^ (SAC). Vậy AH ^ (SBC) .
	· 
	c) Tính khoảng cách từ O đến (SBC). (O là trung điểm của AB).
	Gọi K là trung điểm của BH Þ OK // AH Þ OK ^ (SBC) và OK = 
	Þ .
	d) Xác định đường vuông góc chung của SB và AC
	· Dựng mặt phẳng (a) đi qua AC và vuông góc với SB tại P Þ CP^ SB và AP ^ SB.
	· Trong tam giác PAC hạ PQ ^ AC Þ PQ ^ SB vì SB ^ ( PAC). 
	Như vậy PQ là đường vuông góc chung của SB và AC.
Bài 7:
 	1) Chứng minh rằng với mọi m phương trình sau luôn có ít nhất 2 nghiệm: .
 	2) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C¢, có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng . Tính góc giữa 2 mặt phẳng (A¢BC) và (ABC) và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A¢BC).
Giải:
· 	Hình chóp S.ABCD là chóp tứ giác đều nên chân đường cao SO 	của hình chóp là O = 
·	Đáy là hình vuông cạnh bằng a nên AC = 
· 	DSOC vuông tại O, có 
	Þ 
Tính góc giữa 2 mặt phẳng (A¢BC) và (ABC) và khoảng cách từ A đến (A¢BC)
·	. 
	Gọi K là trung điểm BC Þ AK ^ BC và A’K ^ BC
	Þ BC ^ (AA’K ) Þ (A’BC) ^(AA’K), 
	Þ 
·	
	Þ .
	· AK ^ BC và A’K ^ BC Þ 
	· Trong DA¢KA ta có Þ .
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).
	a) Chứng minh:	BC ^ (SAB).
	b) Giả sử SA = và AB = a, tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC).
	c) Gọi AM là đường cao của DSAB, N là điểm thuộc cạnh SC. Chứng minh: (AMN) ^ (SBC).
Câu
Nội dung
Điểm
4.a
(1đ)
· BC ^ AB	(DABC vuông tại B)	
0.25
· BC ^ SA 	(SA ^ (ABC))
0.25
· BC ^ (SAB)
0.50
4.b
(1đ)
· AB là hình chiếu của SB trên (ABC)
0.25
· 
0.25
· 
0.25
· Kết luận: 	
0.25
4.c
(1đ)
· AM ^ SB	(AM là đường cao tam giác SAB)
0.25
· AM ^ BC	(BC ^ (SAB))	
0.25
· AM ^ (SBC)	
0.25
· (AMN) ^ (SBC)
0.25
Câu IV: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a, , . 
 	1) Chứng minh rằng: mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
 	2) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng SC.
	3) Tính góc giữa mặt phẳng (SBD) với mặt phẳng (ABCD).
Câu IV: 
1) CMR: (SAB) ^ (SBC).
	· SA ^ (ABCD) SA ^ BC, BC ^ AB 
	 BC ^ (SAB), BC Ì (SBC) (SAB) ^(SBC)
2) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng SC.
	· Trong tam giác SAC có AH ^ SC
	· 
	3) Tính góc giữa mặt phẳng (SBD) với mặt phẳng (ABCD).
	· Vì ABCD là hình vuông nên AO ^ BD, SO ^ BD 
	·
	· Tam giác SOA vuông tại A 
	Câu III: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA = SB = SC = SD = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và SO. Kẻ OP vuông góc với SA.
 	a) CMR: SO ^ (ABCD), SA ^ (PBD).
 	b) CMR: MN ^ AD.
 	c) Tính góc giữa SA và mp (ABCD).
 	d) CMR: 3 vec tơ đồng phẳng. 
a) CMR: SO ^ (ABCD), SA ^ (PBD).
	· SO ^ AC, SO ^ BD Þ SO ^ (ABCD).
	· BD ^ AC, BD ^ SO Þ BD ^ (SAC) Þ BD ^ SA 	(1)
	· OP ^ SA, OP Ì (PBD) 	(2)
	Từ (1) và (2) ta suy ra SA ^ (PBD).
b) CMR: MN ^ AD.
	· Đáy ABCD là hình vuông nên OB = OC, mà OB và OC lần 	lượt là hình chiếu của NB và NC trên (ABCD) NB = NC 
	Þ DNBC cân tại N, lại có M là trung điểm BC (gt) 	
	Þ MN ^ BC	Þ MN ^ AD (vì AD // BC)
c) Tính góc giữa SA và mp (ABCD).
	· SO ^ (ABCD) nên AO là hình chiếu của SA trên (ABCD) 
	Vậy góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) là .
 	d) CMR: 3 vec tơ đồng phẳng. 
	· Gọi E, F lần lượt là trung điểm của SD và DC, dễ thấy EN, FM, FE lần lượt là các đường trung bình của các tam giác SDO, CBD, DSC nên đồng thời có EN // BD, FM// BD, FE // SC và cũng từ đó ta có M, M, E, F đồng phẳng.
	· MN Ì (MNEF), BD // (MNEF), SC // (MNEF) Þ đồng phẳng.
Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại B, ta lấy một điểm M sao cho MB = 2a. Gọi I là trung điểm của BC.
	a) (1,0 điểm) Chứng minh rằng AI ^ (MBC).
	b) (1,0 điểm) Tính góc hợp bởi đường thẳng IM với mặt phẳng (ABC).
	c) (1,0 điểm) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (MAI).
CÂU
Ý
NỘI DUNG
ĐIỂM
4
a)
0,25
Tam giác ABC đều cạnh a , IB = IC = Þ AI ^ BC 	(1)
0,25
BM ^ (ABC) Þ BM ^AI	(2)
0,25
Từ (1) và (2) ta có AI ^ (MBC)
0,25
b)
BM ^ (ABC) Þ BI là hình chiếu của MI trên (ABC) 
0,50 
Þ 
0,50 
c)
AI ^(MBC) (cmt) nên (MAI) ^ (MBC) 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA ^ (ABCD).
	a) Chứng minh BD ^ SC.
	b) Chứng minh (SAB) ^ (SBC).
	c) Cho SA = . Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).
CÂU
Ý
NỘI DUNG
ĐIỂM
4
a)
0,25 
ABCD là hình vuông nên AC ^ BD	(1)
0,25 
SA ^ (ABCD) Þ SA ^ BD 	(2)
0,25 
Từ (1) và (2) Þ BD ^ (SAC) Þ BD ^ SC
0,25 
b)
BC ^ AB (ABCD là hình vuông) 	(3)
0,25 
SA ^ (ABCD) Þ SA ^ BC 	(4)
0,25 
Từ (3) và (4) Þ BC ^ (SAB) 
0,25 
Þ (SAB) ^ (SBC)
0,25 
c)
SA ^ (ABCD) Þ hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC 
0,25 
Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là 
0,25 
0,25 
Þ 
0,25 
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC.
	a) Chứng minh AC ^ SD.
	b) Chứng minh MN ^ (SBD).
	c) Cho AB = SA = a. Tính cosin của góc giữa (SBC) và (ABCD).
	2. Theo chương trình Nâng cao
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
4
0,25
a)
ABCD là hình vuông Þ AC^BD	(1)
S.ABCD là chóp đều nên SO^(ABCD) Þ 	(2)
0,50
Từ (1) và (2) Þ AC (SBD) 
0,25
b)
Từ giả thiết M, N là trung điểm các cạnh SA, SC nên MN // AC 	(3)
0,50
AC ^ (SBD)	(4). Từ (3) và (4) Þ MN ^ (SBD)
0,50
c)
Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều và AB = SA = a nên DSBC đều cạnh a. Gọi K là trung điểm BC Þ OK ^ BC và SK ^ BC
0,25
Þ 
0,25
Tam giác vuông SOK có OK = , SK = 
0,25
Þ 
0,25
Câu 4: (3,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ACD.
	a) Chứng minh:	CD ^ BH.
	b) Gọi K là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABH. Chứng minh AK ^ (BCD).
	c) Cho AB = AC = AD = a. Tính cosin của góc giữa (BCD) và (ACD).
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
4
a)
0,25
a)
AB ^ AC, AB ^ AD ÞAB ^ (ACD) Þ AB ^ CD 	(1)
0,25
AH ^ CD 	(2). Từ