Bài tập Phép tịnh tiến – phép đối xứng trục

Bài 1 : phép tịnh tiến – phép đối xứng trục 
I/ Phép tịnh tiến : 
+ Đ/ n : Cho vectơ . 
+ Biểu thức tọa độ : Trong mp Oxy cho M( x; y) , . Gọi M’(x’;y’) = . Khi đó :
+ Tính chất : Bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm , biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng 
+ Các ví dụ : 
Dạng 1 : Xác định ảnh của 1 hình qua phép tịnh tiến 
VD 1 : Trong mp tọa độ Oxy biết đường thẳng d cắt trục Ox tại điểm A( -4;0) và cắt trục Oy tại B( 0;5) . Hãy viết PT tham số của đường thẳng d’ là ảnh của (d) qua phép tịnh tiến theo vectơ 
HD : Có VTCP là , Gọi A’ là ảnh của A qua phép tịnh tiến trên thì A’(1;1)
VD 2 : Trong mp tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có PT : x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 
Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ 
VD 3 : Trong hệ tọa độ Oxy, xác định tọa độ các đỉnh C và D của hình bình hành ABCD biết đỉnh A(-1; 0) , B( 0; 4) và giao điểm các đường chéo là I( 1;1) 
VD 4 : Trong mp tọa độ Oxy cho và đường thẳng d có PT : 3x – 5y + 3 = 0 . Viết PT của đường thẳng d’ là ảnh của d qua 
Dạng 2 : áp dụng phép tịnh tiến dựng hình 
VD 1 : Cho hai đường thẳng d và d’ cắt nhau và 2 điểm A và B không thuộc 2 đương thẳng đó , sao cho đường thẳng AB không song song với d và d’ . Hãy tìm điểm M trên d và điểm M’ trên d’ sao cho tứ giác ABMM’ là hình bình hành .
HD : , d’’ cắt d’ tại M’
VD 2 : Cho 2 đường tròn không đồng tâm (O; R) và (O’; R’) và 1 điểm A trên (O ; R) . Xác định điểm M trên (O :R) và điểm N trên (O’ ; R’) sao cho : 
Dạng 3 : áp dụng phép tịnh tiến tìm quỹ tích 
VD 1 : Cho đoạn thẳng AB và đường tròn (C) tâm O , bán kính R không cắt đường thẳng AB . Lấy điểm M trên (C), rồi dựng hình bình hành ABMM’. Tìm quỹ tích điểm M’ khi M chạy trên O
VD 2 : Trên đường tròn tâm O, bán kính R, cho 2 điểm cố định A và B và 1 điểm M di động . Gọi H là trực tâm tam giác AMB, C là trung điểm của AB và D là điểm đối xứng của M qua tâm O 
Chứng minh AHBD là hình bình hành
Gọi I là trung điểm của đoạn MH . Tìm tập hợp các điểm I và tập hợp các điểm H khi M di động trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
HD : b) Ta có MI = OC ,nên 
A
B
N
M
O
d
VD 3 : Cho 2 điểm A, B cố định trên đường tròn (O; R) . M là 1 điểm thay đổi trên đường tròn . Gọi I là trung điểm đoạn AM và J là điểm sao cho tứ giác AIJB là hình bình hành . Tìm quỹ tích điểm J khi M thay đổi trên đường tròn (O) 
HD : I nằm trên đường tròn đường kính OA , lại có : 
VD 4 : Trên đường thẳng d cố định lấy 1 điểm B cố định và A là điểm thay đổi 
trên d dựng tam giác cân ABM ( MA = MB ) mà đường tròn ngoại tiếp 
tam giác có bán kính R không đổi . Tìm quỹ tích điểm M .
HD : Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM , ta có : 
Lấy , cố định . Lại có O chạy trên đường tròn tâm B bán
kính R và . 
Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn ( N, R) , ảnh của đường tròn (B ; R) qua ( trừ ra các giao điểm với đường thẳng d ) và đường tròn (N’ ; R) đối xứng với đường tròn trên qua đường thẳng d , với N là điểm đối xứng của N qua d
A
E
M
B
O
I
O’
G
N
C
VD 5 : Cho 2 đường tròn cố định (O) và (O’) cắt nhau tại 2 điểm 
, gọi A là giao điểm . Một đường thẳng (d) di động qua A và gặp 
lại 2 đường tròn trên tại M và N . Trên 2 tia AM và AN lấy 2 điểm 
B và C sao cho . Tìm tập hợp điểm B và C
HD : Lấy các điểm như hình vẽ , ta có : O’ABI là hình bình hành 
nên . Vậy mà I nằm trên đường tròn 
đường kính OO’ . CMinh tương tự đối với C
II. phép đối xứng trục 
+ Đ/ n : SGK 
+ Tính chất : Bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm , biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng 
+ Các ví dụ : 
VD 1 : Tìm trục đối xứng của các hình sau :
a) Hình gồm 2 đường tròn không đồng tâm có bán kính bằng nhau ( 2)
b) Hình gồm 2 đường tròn không đồng tâm có bán kính khác nhau (1)
c) Đoạn thẳng AB ( 2) 
d) Đườn thẳng d ( vô số )
VD 2 : Cho trước đường thẳng Δ . Gọi d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục ĐΔ . Tìm vị trí tương đối giữa d và Δ để : 
d’ trùng d 
d’ // d
d’ vuông góc với d 
Tìm giao điểm của d và d’ trong trường hợp này 
VD 3 : Trong mp tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có PT : ( x -1)2 + ( y – 2) 2 = 4 
Viết PT đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép đối xứng trục Ox .
A
B
B1
O
O’
A1
A2
x
x’
d
VD 4 : Trong mp tọa độ Oxy cho đường thẳng d có PT : . Hãy viết PT đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy 
HD : M(x; y) d thì M’( -x; y) d’ : (d’) : 3x + 2y + 7 = 0
VD 5 : Cho đương tròn (O ; R) trên đó có 2 điểm A, B , 1 đường tròn 
(O’ ; R’) tiếp xúc ngoài với (O ; R) tại điểm A . Một điểm M 
di động trên (O), tia MA cắt đương tròn (O’) tại điểm thứ 2 
A1. Qua A1 kẻ đường thẳng song song với AB cắt tia MB
tại B1 . Tìm tập hợp điểm B1.
HD : Gọi gđiểm thứ 2 của B1A1 với (O’) là A2 , kẻ tiếp 
tuyến chung tại A của (O) và (O’) là x’Ax , ta có : 
Vậy A2ABB1 là hình thang cân , do đó A2 và B1 đối xứng nhau qua đường trung trực của AB , mà A2 lại nằm trên (O’) ...
VD 6 : Trong mp tọa độ Oxy cho đường thẳng d có PT : x – 5y + 7 = 0 và đường thẳng d’ có PT : 5x – y – 13 = 0 . Tìm phép đối xứng trục biến d thành d’ 
HD : Do d và d’ không cùng phương , nên trục đối xứng cần tìm là đường phân giác của góc tạo bởi d và d’