Bài tập ôn tập về Giới hạn dãy số - Giới hạn hàm số

ÔN TẬP VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 
I. Giới hạn dãy số: 
I.1. Các giới hạn cơ bản: 
1. ( )001lim >=
∞→
α
α
nn
 2. pnn p
n
∀=
∞→
,1lim 3. ( )01lim >=
∞→
αn
n
a 
4. ( ) ( )paa
n
n
p
n
∀>=
+∞→
,00
1
lim 5. ( )1,0lim <=
∞→
qq n
n
 6. e
n
n
n
=





+
∞→
11lim 
7. 111lim −
∞→
=





− e
n
n
n
 8. ( )p
n
n
p
n
∀>=
∞→
,00lnlim α
ε
 9. e
n
n
nn
=
∞→ !
lim 
I.2. ðịnh lý giới hạn kẹp 
 Cho các dãy số {xn}, {yn}, {zn}. 
Nếu xn ≤ yn ≤ zn ∀n ≥ no và azx n
n
n
n
==
∞→∞→
limlim thì n
n
y
∞→
lim = a. 
Bài tập 
1. n nn
n
n 32lim 2 +
∞→
 2. n nnn
n
cba ++
∞→
lim 3. 
nn
nn
n 32
32lim
11
+
+ ++
∞→
4. nn
n
−+
∞→
1lim 5. 
1
sinlim 2 +∞→ n
nn
n
 6. 
nn
nn
n ba
ba
+
−
∞→
lim 
7*. ( )1sinlim 2 +
∞→
n
n
pi 8. 1,.lim <
∞→
qqn n
n
9. 





+
+++
∞→ )1.(
1
...
3.2
1
2.1
1lim
nnn
 10. 





−





−





−
∞→ 222
11.
3
11.
2
11lim
nn
 11. ( ) 






−





−





−
+
∞→
2
1
11.
6
11.
3
11lim
nnn
 12. 
n
n
n bbbb
aaaa
+++++
+++++
∞→
...1
...1lim 32
32
 13. 


 −
+++
∞→ nn
n
2
12
...
2
5
2
3
2
1lim 32 14. 
n
n
284 2....2.2.2lim
∞→
II. Giới hạn hàm số 
II.1 Các giới hạn cơ bản: 
1. 1limsinlim
00
==
→→ t
tgt
t
t
tt
 2. 1)1ln(lim1lim
00
=
+
=
−
→→ t
t
t
e
t
t
t
 3. 
2
1cos1lim 20 =
−
→ t
t
t
4. a
t
t a
t
=
−+
→
1)1(lim
0
 5. p
e
t
t
p
t
∀=
∞→
,0lim 6. p
t
tp
t
∀>=
∞→
,0,0lnlim α
α
II.2 Quy tắc L’Hospital: 
 Cho xo ∈ R hoặc xo = ± ∞. 
f, g có ñạo hàm liên tục thỏa mãn: 
0)(lim)(lim
00
==
→→
xgxf
xxxx
 hoặc ±∞==
→→
)(lim)(lim
00
xgxf
xxxx
Giả sử tồn tại A
xg
xf
xx
=
→ )('
)('lim
0
. Khi ñó: A
xg
xf
xx
=
→ )(
)(lim
0
II.3 Giới hạn dạng: [ ] )()(lim
0
xg
xx
xf
→
1. Giả sử bxgaaxf
xxxx
=>=
→→
)(lim);0()(lim
00
(a,b hữu hạn) thì [ ] )()(lim
0
xg
xx
xf
→
= ab 
2. Tìm [ ] )()(lim
0
xv
xx
xu
→
. ðặt y = uv thì lny = v.lnu 
Nếu y
xx
lnlim
0→
= )(ln)(lim
0
xuxv
xx→
=a thì [ ] )()(lim
0
xv
xx
xu
→
 = ea 
3. [ ] )()(lim
0
xg
xx
xf
→
có dạng 1∞. Khi ñó: 
[ ] )()(lim
0
xg
xx
xf
→
=
( ) )(1)(
1)(
1
)1)((1lim
0
xgxf
xf
xx
xf
−
−
→ 







−+ = 
[ ] )(
0
1)(lim xg
xx
xf
e
−
→
Bài tập: 
Bài 1: Tính các giới hạn sau: 
1. 
1
1lim
1
−
−
→ n
m
x x
x
 2. 1
3
1 )1(
)1)...(1).(1(lim
−→
−
−−−
n
n
x x
xxx
 3. 
12
1lim 2
2
−−
−
∞→ xx
x
x
4. 
x
xxx
x
1)31)(21)(1(lim
0
−+++
→
5. 52
5
0
)51()1(lim
xx
xx
x +
+−+
→
 6. 
1
3lim
32
1
−
−++
→ x
xxx
x
7. 
1
...lim
32
1
−
−++++
→ x
nxxxx n
x
 8. 2
1
1 )1(
)1(lim
−
++−+
→ x
nxnx n
x
 9. 





−
−
−
→ 31 )1(
3
1
1lim
xxx
Bài 2: Tính các giới hạn sau: 
 1. 
x
axa
x
33
0
lim −+
→
 2. 
4
8lim
364
−
−
→ x
x
x
 3. 
22
lim
ax
axax
ax
−
−+−
→
 4. 
23
7118lim 2
3
2 +−
+−+
→ xx
xx
x
 5. 
1
lim
+
++
∞→ x
xxx
x
 6. 
12
lim
43
+
++
+∞→ x
xxx
x
 7. 
11
1)1(lnlim
1
−
−+
→
x
xx x
x
 8. 100
0
.lim
2
−−
→
xe x
x
 9. x
x
x −
→
1
1
1
lim 
 10. 
2
12
2lim
x
x x
x






−
+
∞→
 11. 
2
1
20
2
1
1lim
x
x x
+
→






+
 12. ( ) 2.
1
2lim
x
tg
x
x
pi
−
→
13. ( ) xtg
x
tgx 2
4
lim
pi
→
 14. 





−
→ x
ctgx
x
1lim
0
 15. 
2
1
0
sinlim
x
x x
x






→