Bài tập Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng - Nguyễn Văn Lâm

CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Bài 1. NGUYÊN HÀM
I. Định nghĩa 
 , với C là hằng số.
II. Tính chất
 i. . ii. (k-const).
iii. . 
iv. Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
v. Nếu thì ;...
III. Bảng các nguyên hàm cơ bản
Đạo hàm
Nguyên hàm
, C là hằng số
Ghi chú. Nếu thì .
IV. Các ví dụ về tính nguyên hàm 
Ví dụ 1. Tìm
1. 	2. 	3. 4. 	5. 	6. 
7. 	8. 	9. 10. 	11. 	12. 
 Giải
 = 
Ví dụ 2. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số
1. biết . 2. biết .
3. biết . 4. biết .
Giải	
1. Ta có F(x)=.
 Do . Vậy .
2. Ta có F(x)=
 .
 Do . Vậy 
3. Ta có F(x)=.
 Do . Vậy . 
4. Ta có F(x)=.
 Do . Vậy .
Ví dụ 3. Tìm hàm số f(x) biết
1. và . 2. và .
3. và .	4. và .
Giải
Ta có .
2. Ta có .
3. Ta có . Để tìm a, b, C ta xét hê
	. Vậy .
4. Ta có .
Do . Vậy . 
Bài 2. TÍCH PHÂN
Nếu thì 
I. Định nghĩa 
 với F’(x)=f(x) trên đoạn [a; b]. 
 ( Công thức NiuTơn-Laipnit) 
II. Tính chất 
 1. 2. 3. 
 4. 	5. 
 6. 	7. 
III. Các ví dụ
 Ví dụ 1. Tính các tích phân sau
1. 	2. 	3. 4. 	5. 	6. 
7. 	8. 	9. 10. 	11. 	12. 
 Giaûi:
1. =.
2. =
 .
3. 
	 .
4. 
5. =.
6. =.
7. .
8. .
9. =.
10. =.
11. .
12. .
Ví dụ 2. Tính
Xét dấu : x - 1 2 3 5 +
 + 0 0 + 
=+=+
 = + =
 Ví dụ 3. Chứng minh rằng 
1. 	2. 	3. 
Bài 3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
I. Phương pháp đổi biến số Tính 
Dạng 1. Đặt .
 * Đặt ()
 * Đổi cận x a b
 t c d
 * Tính .
 Ví dụ. Tính 
 1. 	2. 	 3. 
4. 	5. 	 6. .
Dạng 2. Đặt 
 * Đặt ( ).
 * Đổi cận x a b
 t 
 * Tính 
Chú ý. Ta có hai cách đặt cơ bản sau
Gặp ta đặt x=asint, .
Gặp ta đặt x=atant, .
Ví dụ. Tính 
1. 	2. 	3. 	
4. 	5. 	 	6. 
II. Phương pháp tích phân từng phần
Ta đưa về dạng .
Áp dụng công thức: 
 Chú ý. Về cơ bản thứ tự ưu tiên cho việc đặt u như sau
Hàm logarít.
Hàm đa thức, luỹ thừa.
Hàm số mũ.
Hàm lượng giác.
Ví dụ. Tính
 1. 2. 3. 4. 5. .
Bài 4. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
I. Diện tích 
Diện tích hình thang cong
Hình phẳng: có diện tích là: 
Diện tích hình phẳng
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b].
 Hình phẳng: có diện tích là 
Chú ý. 
 i/ Hình phẳng: có diện tích là 
 ii/ Cho hai hàm số f(y) và g(y) liên tục trên đoạn [c; d].
 Hình phẳng: có diện tích là 
II. Thể tích
 1. Vật thể tṛòn xoay sinh bởi hình phẳng: khi quay quanh Ox, có thể tích là
 2. Vật thể tṛòn xoay sinh bởi hình phẳng: khi quay quanh Oy, có thể tích là 
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
 1. 	2. 
Giaûi: 
 1. pt: 
 =
 = (ñvdt)
2. Ta có =f(x); .
 Pt: 
 Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi .
 Ta có 
 Pt: , truïc Ox: y=0
 Ví dụ 3. Tính thể tích vật thể tṛòn xoay sinh bởi
Hình phẳng: y=sinx; y=0; x=0; x= quay quanh Ox.
Hình phẳng: y=cosx; y=0; x=0; x= quay quanh Ox.
Hình phẳng: y=tanx; y=0; x=0; x= quay quanh Ox.
 Hình phẳng: y=cotx; y=0; x=; x= quay quanh Ox.
Giải: 
 1. . 
 2. . 
 3. .
 4. 
Ví dụ 4. Tính thể tích vật thể tṛòn xoay sinh bởi 
1.Hình phẳng: quay quanh Oy.
2.Hình phẳng: quay quanh Ox.
3.Hình phẳng: quay quanh Ox. 
4.Hình phẳng: quay quanh Ox.
Giải: 
1. . 
2. Phương trình hoành độ giao điểm: 
Thể tích cần tìm: 
Vậy (đvtt) 
 3. 
* Tính: đặt 
 Vậy (đvtt)
4. Hình phẳng: quay quanh Ox.
 Pt: nên ta có: 
Tính đặt 
 đặt 
 Vậy (đvtt)
BÀI TẬP 
Bài 1. Tìm nguyên hàm sau
 1. .	2. .	3. 4. . 	5. .	6. .
7. .	8. 	9. . 10. .	11. .	12. .
Bài 2. 
Tìm hai số A, B sao cho: , từ đó tính nguyên hàm của hàm số .
Cho hàm số . Tìm hai số A, B để: , từ đó tính nguyên hàm của hàm số f(x).
Cho . Tìm các số A, B, C thoả: . Từ đó tính nguyên hàm của hàm số f(x).
Cho hàm số . Tìm các số A, B, C, D sao cho: . Từ đó tính nguyên hàm của hàm số f(x).
Tính đạo hàm của hàm . Suy ra nguyên hàm của .
Tính đạo hàm của . Suy ra nguyên hàm của . 
Bài 3. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số 
1. . 2. .
3. . 4. .
Bài 4. Tính 
1. 	2. 	3. 4. 	5. 	6. .
Bài 5. Tính các tích phân sau 
1. 	2. 	3. 
4. 	5. 	6. 
Bài 6. Tính 
1. 	2. 	3. 
4. 	5. 	6. 7. 	8. 	9. 
10. 	11. 	12. 
13. 	14. 	15. 
16. 	17. (TN-2006) 	18. (TN-2006A)
Bài 7. Tính 
 1. 	2. 	3. 	4. 	5. 
 6. 7. 	8.	9. 	10. 11 	12. 	13. 	14..
Bài 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
.
.
.
.
.
.
.
 Đường tròn .
 Elíp: 
(TN-2000)
Đồ thị (C): và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ .(TN-2001).
 . (TN-2002)
 . (TN-2003)
 . (TN-2005)
 . (TN-2006)
Bài 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 
Parabol , tiếp tuyến của nó tại điểm M(3; 5) và trục tung.
Parabol , tiếp tuyến của nó tại các điểm M(0; -3) và N(3; 0).
Parabol , tiếp tuyến của nó xuất phát từ điểm M(5/2; -1).
Đồ thị (C): và tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x=-1/2.
Bài 10. Tính thể tích vật thể tṛòn xoay sinh bởi
Hình phẳng: y=sinx; y=0; x=; x=0 quay quanh Ox.
Hình phẳng: y=cosx; y=0; x=; x= quay quanh Ox.
Hình phẳng: y=tanx; y=0; x=; x= quay quanh Ox.
Hình phẳng: y=cotx; y=0; x=; x= quay quanh Ox.
Hình phẳng: quay quanh Ox.
Hình phẳng: quay quanh Ox.
Hình phẳng: quay quanh Ox. (TN-2004)
Hình phẳng: quay quanh Ox.
ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG VỀ TÍCH PHÂN (2002-2010)
Bài 1. Tính tích phân (2003)
 A =
B = 
D = 
Bài 2. Tính tích phân (2004)
 A =
B = 
D = 
Bài 3. Tính tích phân (2005)
 A =
B = 
D = 
Bài 4. Tính tích phân (2006)
 A =
B = 
D = 
Bài 5. Tính (2007)
 Shp: 
 VOx: y=xlnx, y=0, x=e.
.
Bài 6. Tính (2008)
 .
Bài 7. Tính (2009)
 A =
B = 
 D = 
Bài 8. Tính (2010)
 A =
B = 
 D =