Bài tập mặt cầu - Trương Trọng Nam

Ngày soạn: 20 – 10 – 2008 
Tiết: 18 + 21
Tuần : 	BÀI TẬP MẶT CẦU
I - MỤC TIÊU: 
 + Kiến thức: Hs phải nắm kĩ các kiến thức định nghĩa mặt cầu, sự tương giao của mặt cầu với mặt phẳng, đường thẳng và công thức diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu.
 + Kĩ năng: Vận dụng kiến thức đã học để xác định mặt cầu, tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu đã xác định đó.
 + Tư duy : Tư duy logic, quy lạ về quen và trừu tượng hóa ; thái độ học tập nghiêm túc
II - CHUẨN BỊ :
 1) Giáo viên: Sách giáo viên, sách giáo khoa, giáo án, thước kẻ và compa.
 2) Học sinh: Ôn lại kiến thức đã học và làm trước các bài tập đã cho về nhà trong sách giáo khoa.
III - PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: 
	Gợi mở, vấn đáp, giải quyết vấn đề .
IV - TIẾN TRÌNH BÀI HỌC: 
 1) Ổn định tổ chức: Kiểm diện học sinh, chia nhóm học tập
 2) Kiểm tra bài cũ: 
 Câu hỏi 1: Nêu định nghĩa mặt cầu ? Nêu một vài cách xác định một mặt cầu đã biết ?
 Câu hỏi 2: Các vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu ? Từ đó suy ra điều kiện tiếp xúc của đường thẳng với mặt cầu ?
 Câu hỏi 3: Nêu định nghĩa đường trung trực, mặt trung trực của đoạn thẳng.
 3) Bài mới: 
 Hoạt động 1: Giải bài tập 1 trang 49 SGK.
Hoạt ñoäng cuûa Gv
Hoaït doäng cuûa Hs
Ghi baûng
- Cho HS nhắc lại kết quả tập hợp điểm M nhìn đoạn AB dưới 1 góc vuông (trong hình học phẳng) ?
- Dự đoán cho kết quả này trong không gian ?
- Nhận xét: đường tròn đường kính AB với mặt cầu đường kính AB G/s , Hs chứng minh M thuộc m.cầu.
- G/s M thuộc m.cầu, Hs chứng minh ?
- M nằm trên đường tròn đường kính AB.
- Hs suy nghỉ, thảo luận ...
- Đường tròn đường kính AB nằm trên mặt cầu đường kính AB.
- M thuộc đtròn đường kính AB 
 M thuộc mặt cầu đường kính AB
- Nếu M thuộc mặt cầu đường kính AB 
 M thuộc đường tròn đường kính AB là giao của mặt cầu đường kính AB với (ABM)
Bài tập 1 (sgk/49 )
() Vì M thuộc đtròn đường kính AB M thuộc mặt cầu đường kính AB.
()Nếu M thuộc mặt cầu đường kính AB M thuộc đường tròn đường (C)kính AB 
( (C) là giao của mặt cầu đường kính AB với (ABM) )
Kết luận: Tập hợp các điểm M nhìn đoạn AB dưới góc vuông là mặt cầu đường kính AB.
Hoạt động 2: Bài tập 2 trang 49 SGK.
Hoạt ñoäng cuûa Gv
Hoaït doäng cuûa Hs
Ghi baûng
- Giả sử O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD, hs có nhận xét gì về các điểm S , A , B , C ,D so với O?
- Nếu gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Khi đó vị trí của O nằm ở đâu và có nhận xét gì về (C) và m.cầu ngoại tiếp h.chóp S.ABCD ?
- S phải thỏa đk nào nữa thì S mới thuộc m.cầu S(O;OA) ?
 Cách xđ tâm O của m.cầu (S) ?
- Xét bài tập 2 (sgk/49) :
 Nếu gọi O là tâm của hình vuông ABCD. HS xđ trục đường tròn ngoại tiếp h.vuông ABCD
- HS tính OA và SO ?
- Hs có nhận xét gì về giá trị của SO và OA, OB, OC, OD ?
 xđ tâm m.cầu ngoại tiếp h.chóp S.ABCD
GV : trong trường hợp này giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy với mp trung trực của OA chính là điểm O
- Các điểm S, A,B,C,D cách đều điểm O
SO=OA =OB=OC =OD 
- O nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Đtròn (C) là giao tuyến của (S) với (ABCD)
(A, B,C,D thuộc (S) tâm O
bán kính OA )
- S phải thỏa đk OS = OA 
 O phải nằm trên mp trung trực của SA
 O là giao điểm của trực đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy với mp trung trực của SA.
- Ta có :
 OA =OB = OC = OD và SO (ABCD).
 SO là trục đường ngoại tiếp h.vuông ABCD. 
- Vì O là tâm của h.vuông ABCD nên :
OA=OB=OC=OD =
+ SO= 
- SO=OA=OB =OC = OD
- O là tâm của m.cầu (S) và có bán kính r =OA= 
Bài tập 2 (sgk/49S
A
B
C
D
O
)	 
a
a
a
S.ABCD là hình chóp tứ giác đều.
 ABCD là hình vuông và 
 SA = SB = SC = SD.
Gọi O là tâm hình vuông, ta có :
 OA = OB = OC = OD = (1)
 Xét DSAO vuông tại O có :
 SO = (2)
Từ (1) và (2) suy ra :
 SO = OA = OB = OC = OD = 
 S , A ,B , C, D cùng nằm trên mcầu tâm O bán kính r = OA = 
 Mặt cầu S(O, ) là mặt cầu ngoại tiếp h.chóp S.ABCD
Hoạt động 3: Bài tập 5 tráng 49 SGK
Hoạt ñoäng cuûa Gv
Hoaït doäng cuûa Hs
Ghi baûng
Nhận xét: Mặt phẳng (ABCD) có cắt mặt cầu S(O, r) không ? giao tuyến là gì ?
- Dựa vào kết quả phương tích của diểm đối với đtròn. Hs có nhận xét gì về kết quả MA.MB so với
 MC.MD ?
- Nhận xét: Mặt phẳng (OAB) cắt mặt cầu S(O,r) theo giao tuyến là đường tròn nào?
- Hs tính MA.MB theo tính chất phương tích của M đối với (C1) theo r và d?
Trả lời: cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn (C) qua 4 điểm A,B,C,D.
- Bằng nhau theo kết quả phương tích của điểm M đối với đường tròn (C).
- ...là đường tròn (C1) tâm O bán kính r có MAB là cát tuyến.
- MA.MB = MO2 – r2 
 = d2 – r2
Bài tập 5 (sgk/49) :
M
a) CMR :MA.MB = MC.MD
 Gọi (P) là mặt phẳng tạo bởi (AB,CD) 
 (P) cắt S(O, r) theo giao tuyến là đường tròn (C) qua 4 điểm A,B,C,D 
 MA.MB = MC.MD
b)Gọi MO = d .Tính MA.MB theo r và d
 Gọi (C1) là giao tuyến của S(O,r) với mp(OAB) (C1) có tâm O bán kính r .
Ta có MA.MB = MO2 - r2 = d2 – r2 
	Hoạt động 4: Giải bài tập 6 trang 49 SGK
Hoạt ñoäng cuûa Gv
Hoaït doäng cuûa Hs
Ghi baûng
- Nhận xét: đường tròn giao tuyến của S(O,r) với mặt phẳng (AMI) có các tiếp tuyến nào?
- Có nhận xét về độ dài của AM và AI 
Tương tự ta cho BM và MI ta nhận xét gì về độ dài của MB và MI ?
- Nhận xét gì về D MAB và D IAB ?
So sánh và ?
- Hs suy nghỉ và trả lời :
.....AM và AI 
- Theo tính chất 2 tiếp tuyến của đtròn cùng xuất phát từ 1 điểm A nằm bên ngoài đtròn S(O;r) ta có :
	AM = AI 
- Tương tự ta cũng có :
 	BM = BI
DMAB = DIAB (C-C-C)
 + (đpcm)
Bài tập 6 (sgk/49) :
 CMR : 
- Gọi (C) là đường tròn giao tuyến của mặt phẳng (AMI) và mặt cầu S(O,r). Vì AM và AI là 2 tiếp tuyến với (C) nên AM = AI (1)
Tương tự, ta cũng có : BM = BI (2)
 Từ (1) và (2), suy ra : DABM = DABI 
Hoạt động 5: bài tập 7 trang 49 SGK
Hoạt ñoäng cuûa Gv
Hoaït doäng cuûa Hs
Ghi baûng
- Hs nhắc lại tính chất : Các đường chéo của hình hộp chữ nhật và độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a,b,c ?
- Hs xđ tâm của m.cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp ?
- Hs tính bán kính của m.cầu này ?
- Trả lời: Đường chéo của hình hộp chữ nhật bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường 
AC’ = 
- Tâm O của hình hộp cũng chính là tâm của cầu 
- r = 
Bài tập 7 (sgk/49) :
A
D
C
B
I
O
C’
A’
D’
B’
a) Xđ tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp 
 Gọi O là giao điểm của các đường chéo hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’.
 Ta có :
 OA = OB = OC =OD=OA’=OB’=OC’=OD’
 O là tâm mặt cầu qua 8 dỉnh hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ và 
bán kính : r = 
- Hs xđ đtròn giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu trên ?
- Hs xđ tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến này ?
- Trả lời: là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.
- Trả lời: Tâm I của hình vuông cũng là tâm của đtròn ngoại tiếp h.vuông ABCD và bán kính 
 r = 
b) Tính bán kính của đtròn giao tuyến của mp(ABCD) với mặt cầu trên
 Giao của mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.
Đường tròn này có tâm I là giao điểm của AC và BD 
 Bán kính của đường tròn giao tuyến là :
 r = 
	Hoạt động 6: giải bài tập 10 
Hoạt ñoäng cuûa Gv
Hoaït doäng cuûa Hs
S
A
B
I
D
O
Ghi baûng
- Hs xđ các yếu tố liên quan để tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu?
- Nhắc lại công thức diện tích khối cầu, thể tích khối cầu ?
 - Hướng dẫn cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp 1 hình chóp.
- Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
- Dựng trung trực của cạnh bên cùng nằm trong 1 mặt phẳng với trục đươờn tròn trên.
- Giao điểm của 2 đường trên là tâm của mặt cầu.
. Trục đường tròn ngoại tiếp DSAB
. Đường trung trực của SC trong mp (SC,D) ?
. Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
- Cần tìm bán kính của mặt cầu đó.
- Diện tích của m.cầu là 	S = 4pR2
Thể tích của m.cầu là :
	V = R3
. Vì DSAB vuông tại S nên trục là đường thẳng (D) qua trung điểm của AB và vuong góc với mp(SAB).
. Đường thẳng qua trung điểm SC và // SI.
. Giao điểm là tâm của mặt cầu.
Bài tập 10 (sgk/49) :
C
 + Gọi I là trung điểm AB do DSAB vuông tại S I là tâm đường tròn ngoại tiếp DSAB .
 + Dựng (D) là đường thẳng qua I và D ^(SAB) D là trục đường tròn ngoại tiếp DSAB.
 + Trong (SC,D) dựng trung trực SC cắt (D) tại O O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
 * Bán kính của mặt cầu là 
 r2 = OA2 = OI2 + IA2
 = 
 S = p(a2+b2+c2)
 * Thể tích của mặt cầu là :
 V = 
4) Củng cố toàn bài: 
- Phát biểu định nghĩa mặt cầu, vị trí tương đối của đươờn thẳng với mặt cầu.
- Cách xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp.
5) Hướng dẫn làm bài ở nhà: 
	Bài tập 4: 
	Hướng dẫn: Giả sử mặt cầu S(O, R) tiếp xúc với 3 cạnh D ABC lần lượt tại A’,B’,C’. Gọi I là hình chiếu của S trên (ABC). Dự đoán I là gì của D ABC ? -> Kết luận OI là đường thẳng nào của D ABC => Dự đoán.
	Bài 8: Hướng dẫn vẽ hình.
	- Giả sử tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD, CB, CD, BD lần lượt tiếp xúc với mặt cầu nào đó lần lượt tại M, N, P, Q, R, S.
B
C
D
A
P
M
N
	Khi đó: AM = AN = AP = a	 
	 BM = BQ = BS = b
	 	 DP = DQ = DR = c	 
	 CN = CR = CS = d 	 	 	
	=> Kết quả cần chứng minh.