Bài tập Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và đoạn vuông góc chung

KHOẢNG CÁCH 
GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ
ĐOẠN VUÔNG GÓC CHUNG
 Chủ Đề Hình Học Không Gian nói chung và “ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và đoạn vuông góc chung ” nói riêng , là một chủ đề tương đối khó với học sinh. Chúng tôi biên soạn tài liệu này nhằm giúp các em nhìn nhận vấn đề trên dễ dàng hơn và có hệ thống hơn. 
A-NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP :
 Để xác định Khoảng cách giữa hai đường thẳng a, b chéo nhau và đoạn vuông góc chung, thông thường người ta dùng 2 phương pháp cơ bản sau:
Phương pháp 1: 
 Bước 1: Xác định mặt phẳng tại A và cắt b.
 Bước 2: Chiếu vuông góc b xuống được hình chiếu b’.
 Bước 3: Kẻ A’B’ như hình vẽ 1a,
dựng hình bình hành ABB’A’.
Dể dàng cm được AB là đoạn vuông góc chung của 2 dt a, b.
Hình 1a
Trong trường hợp đặt biệt :, lúc đó AB là đoạn góc chung (Hình vẽ 1b)
Hình 1b
Phương pháp 2: 
Bước 1: Xác định mặt phẳng và ( hình 2)
Bước 2: Chiếu vuông góc theo phương HK a lên mặt phẳng được dt a’. 
Bước 3: Dựng hình bình hành AHKB.Dể chứng minh được AB là đoạn vuông góc chung cần tìm.
Hình 2
B-MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HOẠ :
Bài tập 1: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a .Xác định và tình độ dài đoạn vuông góc chung của AB và CD.
Gợi ý : 
+ Lập mặt phẳng chứa cắt CD tại I
+ Kẻ là đoạn vuông góc chung.
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có , đáy ABCD là hình chữ nhật. Dựng đoạn vuông góc chung của 
a) SA và CD . b) AB và SC.
Gợi ý :
a) SA và CD.
là đoạn vuông góc chung cần tìm . 
b) SC và AB.
, SD là hình chiếu của SC lên (SAD).
Kẻ , dựng hbh AIKH .
 Lúc đó, KH là đoạn vuông góc chung.
Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB= a, BC= a , AD=3a , CD= a , SA= a.Khi SA(ABCD) , hãy dựng và 
tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa các đường thẳng :
a) SA và CD b) AB và SD c) AD và SC
Gợi ý:
AK
AI
HK
Bài tập 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, các mặt bên là các hình vuông cạnh a. 
Hình lăng trụ có đặc điểm gì?
Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa A’B và B’C’.
Gợi ý: 
Hình lăng trụ đứng tam giác đều cạnh a.
EK
Bài tập 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy AB= a, đường cao SO= h. xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng SB và AD. 
Gợi ý: 
Ta có ABCD là hình vuông cạnh a.
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC, AD.
(SIJ)(SAD)ADJH 
(SIJ) (SBC)SBJH
Kẻ KE // JH. KE là đoạn vuông góc chung cần tìm.
Bài tập 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC và AD. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng DM và D’N.
Gợi ý:
+ Gọi I là trung điểm AM.
Lập hình chữ nhật IMDJ (D’JD) DM.
+DHJD’
 DHDM
+Kẻ EF // DH 
EF là đoạn vuông góc chung cần tìm.
Bài tập 7: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ .Hãy xác định đoạn vuông góc chung của BD’, B’C.
Gợi ý:
IJBD’IJ là đoạn thẳng cần tìm.
 Bài tập 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Hãy xác định đoạn vuông góc chung của hai đương thẳng A’C’ và B’C. 
Gợi ý:
+ (AB’C) // A’C’.
+ Chiếu A’C’ lên (AB’C). 
Kẻ OE’O’B’O’E (AB’C)
+ Qua E kẻ EI: là hình chiếu của A’C’
 lên (AB’C) 
Dựng IJ // OE. IJ là đoạn thẳng cần tìm.
Bài tập 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, cạnh bên SA = a, SA(ABC), I là trung điểm cạnh BC. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng SI và AB.
Gợi ý: 
+ Gọi M là trung điểm của AC. Dựng AQdt IM.
+ Chiếu AB lên (SQI) là KJ.
+ Dựng h.b.h AKJH. JH là đoạn thẳng cần tìm.
Bài tập10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I, J lần lượt là tâm các hình vuông AĐ’A’ và BCC’B’. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng CI và AJ.
Gợi ý: 
+CI // (AA’J)
+IM // A’D’.Kẻ IHMJ IH(AA’J)
IHAJ.
+Dựng EF // IH. EF là đoạn thẳng cần tìm.
Bài tập 11: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi , cạnh 2a , cạnh bên AA’= a , AD’BA’.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và BA’ .
Gợi ý:
Dựng h.b.h BHEF.
EF là đoạn vuông góc chung của AD’, BA’ 
Bài tập 12: Cho hình lăng trụ đứng tam giác đều , đáy ABC có cạnh a, cạnh bên bằng h . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và .
Gợi ý:
+Dựng h.b.h ACC’B. Gọi I là trung điểm BC’.
+Tam giác BCC’ cân, cân.
+
Kẻ CH
Do 
Bài tập 13: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo AC’=2a và AB=AA’= a. 
Chứng minh: 
d(D,(ACD’).
Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa AC’, CD’.
Gợi ý:
a) AB =AA’ AA’B’B và DD’C’C là hình vuông.
b) Gọi H hình chiếu của D lên (ACD’). Đặt h=DH
c) Kẻ .Rõ ràng 
Bài tập 14: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’.
Chứng minh: 
Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa AB’ và BC’.
Gợi ý:
a)
b) Ta có (B’A’DC)BC’.
Chiếu B’A lên (B’A’DC) là B’K.
Kẻ IH. Dựng HK // BC’ cắt B’A tại K.
Dựng KP // HI .KP là đoạn thẳng cần tìm.
Bài tập 15: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD cạnh a nằm trong 2 mp vuông góc nhau. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:
 a) AD và SB b) SA và BD
Gợi ý:
HM
Dựng hình chữ nhật IDEA
Kẻ HFEA
Dựng HKSF HK= 
Bài tập 15: Tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, ADBC, AD= a và d(D,BC)= a. H là trung điểm của BC . 
a) Chứng minh: BC (ADH) b) DI (ABC) c) Xác định và tính đoạn vuông góc chung giữa AD và BC. 
Gợi ý:
Kẻ 
HK 
Bài tập 16: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc và có đường cao SO= a .Tính:
d(O,(SBC))
d(AD,SB)
Gợi ý: 
OH. Dựng (SOP) (SBC).Kẻ OHSP.
IK. Dựng (STM)(SBC). Kẻ IKSM.