Bài tập khái niệm về mặt tròn xoay - Trương Trọng Nam

hành của mặt tròn xoay, các yếu tố liên quan: đường sinh, trục.
Mặt nón, hình nón, khối nón; công thức tính diện tích xung quanh, toàn phần của hình nón; công thức tính thể tích khối nón.
Mặt trụ, hình trụ, khối trụ; công thức tính diện tích xung quanh và toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ.
 + Về kĩ năng: Rèn luyện và phát triển cho học sinh các kĩ năng về:
Vẽ hình: Đúng, chính xác và thẫm mỹ.
Xác định giao tuyến của một mặt phẳng với một mặt nón hoặc mặt trụ.
Tính được diện tích, thể tích của hình nón, hình trụ khi biết được một số yếu tố cho trước.
 + Về tư duy, thái độ:
Tư duy logic, quy lạ về quen và trừu tượng hóa.
Thái độ học tập nghiêm túc, tinh thần hợp tác cao.
II. PHƯƠNG PHÁP:
Đàm thoại - Trao đổi, giải quyết vấn đề thông qua hoạt động giáo viên, học sinh và nhóm học sinh.
III. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH:
Giáo viên: Giáo án, phiếu học tập.
Học sinh: Ôn lại lý thuyết đã học và làm bài tập SGK.
IV. TIẾN TRÌNH LÊN LỚP:
 1/ Ổn định lớp : Kiểm diện học sinh	
 2/ Kiểm tra bài cũ.	 
Nêu các công thức tính diện tích xung quanh của hình nón, hình trụ và công thức tính thể tích của khối nón, khối trụ.
Áp dụng: Trong không gian cho hình chữ nhật ABCD với AB = a, AD = a. Khi quay hình chữ nhật này xung quanh cạnh AD ta được một hình trụ tròn xoay. Tính Sxq của hình trụ và thể tích của khối trụ.
Học sinh nêu đúng các công thức: 2 điểm (0,5 điểm/1 công thức)
Học sinh vẽ hình ( Tương đối): 2 điểm.
A
B
C
D
Học sinh giải:
Hình trụ có bán kính R=a, chiều cao h=a.
 Sxq = 2Rl = 2.a.a= 2a(đvdt) ( l=h=a): 3 điểm.
 V = Rh = a.a= a (đvdt): 3 điểm.
3/ Nội dung:
Hoạt ñoäng cuûa Gv
Hoaït doäng cuûa Hs
Ghi baûng
- Yêu cầu đọc đề và tóm tắt đề
- Gv yêu cầu Hs vẽ hình và hướng dẫn Hs vẽ
- Hs nêu các yếu tố cần xác định khi tính Sxq , Stp Sđ và thể tích ?
- Hs tìm bán kính , chiều cao và độ dài đường sinh ?
- Hs nêu các công thức tính Sxq , Sđ ; Stp ?
- Gọi một sinh lên bảng tính các loại diện tích vừa nêu trên.
- Hs nêu công thức tính và tính thể tích của khối nón ?
- Hs xđ thiết diện và có nhận xét thiết diện đó là hình gì ? giải thích ?
- HS xđ khoảng cách từ O đến mp thiết diện ?
- Yêu cầu Hs tính diện tích của SMN ? Nêu các yếu tố cần xđ khi tính diện tích SMN ?
- Gv hướng dẫn Hs phân tích đề và vẽ hình
- Chú ý cách xđ góc của mp thiết diện với mặt đáy
- Hs tính các yếu liên quan của hình nón ? ( bán kính, đường sinh, chiều cao,...)
- Hs nêu các công thức tính và tính diện tích xung quanh và diện tích đáy của hình nón và thể tích của khối nón tương ứng?
- Hs xđ góc hợp bởi thiết diện và mặt đáy ?
- Hs nêu công thức tính diện tích của tam giác ?
 Diện tích SMN ?
- Hs nêu cách tính BC và SI ?
- Gv hướng dẫn HS vẽ hình và tìm các yế tố liên quan : bán kính , đường sinh , chiều cao....
- Hs nêu công thức và tính diện tích xung quanh của hình trụ ?
- hs nêu công thức và tính thể tích của khối trụ ?
- Hs có nhận xét gì về thiết diện (thiết diện là hình gì?)
- xác định các kích thước của hình chữ nhật ABCD và tính diện tích của thiết diện ?
- Gv hướng dẫn Hs vẽ hình
- Yêu cầu Hs xác định các yếu tố : bán kinh , dường sinh , chiều cao của hình nón và hình trụ .....
- Hs tính S1 và S2 ?
 Tính tỉ số ?
-Hs tính thể tích của khối trụ và khối nón ?
Tính thể tích còn lại của khối trụ ?
Tính tỉ số ?
GV chủ động vẽ hình.
Tóm tắt đề.
GV hỏi:
Công thức tính diện tích và thể tích của hình nón.
Nêu các thông tin về hình nón đã cho.
Cách xác định thiết diện (C): Thiết diện (C) là hình gì?
Tính S: Cần tìm gì? (Bán kính)
Tính V.
Định lượng V (Giáo viên gợi ý một số cách thường gặp).
- Hs theo dõi GV hướng dẫn và vẽ hình
- cần xác định chiều cao, chiều dài đường sinh và bán kính của hình nón.
- Hs suy nghỉ và trình bày....
Chiều dài đường sinh :
 l = SA = 
 l cm
- Hs gọi nhớ và trả lời 
Sxq = rl = 125
Sđ = r2 = 625
Stp = Sxq + Sđ 
 = 25 (5+25)
V = rh = 
- Hs thảo luận theo nhóm và trả lời .....
...Thiết diện là ta, giác đều
- Hs suy nghỉ.....
- Cần tính SI và MN....
Xét SOI vuông tại O có OH là đường cao :
Xét SIM vuông tại I có :
 MI = 20 
 MN = 2MI = 40
500
- Hs lắng nghe và vẽ hình theo sự hướng dẫn của Hs
- Hs lắng nghe....
- Hs thảo luận theo nhóm và trình bày...
 + SMN vuông cân tại S có MN = 
 đường sinh l = SM = SN
Ta có : MN2 = SM2 + SN2 
 = 2SM2
 SN = SM = a
+ bán kính r = MN = 
+ Chiều cao 
 h = SO = MN = 
SO là đường trung tuyến của SMN vuông cân tại S)
- Hs trình bày :
 + Diện tích xung quanh :
 Sxq = rl = 
 + Diện tích đáy : 
 Sđ = r2 = 2a2 
 + Thề tích của khối nón :
 V = rh = a3 
- Góc tạo bởi thiết diện và mặt đáy là góc hợp bởi 2 đt SI và OI 
- Hs nêu công thức ...
- Xét SOI vuông tại I, có :
 SI = = 
 - Xét SBI vuông tại I có :
 BI2 = SB2 – SI2 
 BI = 
 BC = 2BI = 
- Hs vẽ hình ....
+ bán kính r = OA = 5 cm
 + Chiều cao h = OO’=7 cm
 + đường sinh : 
 l = AB=7cm
- Hs trình bày :
Diện tích xung quanh của hình trụ : Sxq = 2rl = 70
Thể tích của khối trụ :
 V = rh = 175
- Thiết diện là hình chữ nhật
Xét OIA vuông tại I có :
 IA2 = OA2 – OI2 IA = 4
 AC = 2 IA = 8
 SABCD = AB.AC = 56 
- Hs theo dõi và vẽ hình theo sự hướng dẫn của Gv 
* Hình trụ có :
 -Bán kính r , 
 -Chiều cao h = OO’ = r
 -Đường sinh l = OO’ = r
* Hình nón có :
 -Bán kính r , 
 -Chiều cao h = OO’ = r
 -Đường sinh :
l’ = O’A = = 2r
- Hs áp dụng công thức tính diện tích của hình nón và hình trụ để tính....
 S1 = 2rl = 2r2 
 S2 = rl’ = 2r2 
 = 
- Hs thảo luận theo nhóm và lên trình bày lời giải .....
 V = rh = r3
 V = rh = r
 V = V - V= 
 Vậy: =
Học sinh theo dõi và nghiên cứu tìm lời giải.
Học sinh:
Nêu công thức.
Tìm: Bán kính đáy, chiều cao, độ dài đường sinh.
Quan sát thiết diện. Kết luận (C) là đường tròn tâm O', bán kính
 r'= O'A'.
Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương 2x, 2a-x và 2a-x
Bài 3 : (sgk/39)
S
A
O
r
h
M
N
I
H
 Ta có : 
 + Bán kính : r = 25 cm
 + Chiều cao h = 20 cm
 + Chiều dài đường sinh :
 l = SA = cm
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón :
 + Diện tích xung quanh :
Sxq = rl = 125 (cm2 )
 + Diện tích toàn phần :
 Sđ = r2 = 625 (cm2 )
 Stp = Sxq + Sđ = 25 (5+25) (cm2 )
b) Thể tích của khối nón :
 V = rh = (cm3 )
c) Tính diện tích của thiết diện :
 Theo giả thiết, ta có thiết diện là SMN cân tại S ( SM = SN = SA = cm)
 Gọi I là trung điểm của MN và H là hình chiếu vuông góc của O lên SI
 Ta có : OH = d(O;(SMN)) = 12 cm.
* Tính diện tích thiết diện :
 Ta có :
 + 
 + SI = 25 cm
 +MI = 20 cm
 MN = 2MI = 40 cm
 Vậy 500 (cm2 )
M
O
r
h
N
S
I
B
C
600
Bài 9 : (sgk/40)
 Ta có :
 + SMN vuông cân tại S có MN = 
 Chiều dài của đường sinh :
 l = SM = SN = a
 + Bán kính của hình nón : 
 r = MN = 
 + Chiều cao h = SO = MN = 
a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy của hình nón và thể tích khối nón tương ứng.
 + Diện tích xung quanh :
 Sxq = rl = (đvdt)
 + Diện tích đáy : Sđ = r2 = 2a2 (đvdt)
 + Thề tích của khối nón :
 V = rh = a3 (đvtt)
b) Gọi I là trung điểm của BC.
 Theo giả thiết, ta có :
 .
 * Tính diện tích SBC :
 - Xét SOI vuông tại I, ta có :
 SI = = 
 - Xét SBI vuông tại I , ta có :
 BI2 = SB2 – SI2 BI = 
 BC = 2BI = 
 (đvdt)
O’
O
A
B
C
D
I
I’
Bài 5 : (sgk/39) :
 Ta có : 
 + bán kính r = OA = 5 cm
 + Chiều cao h = OO’ = 7 cm
 + Chiều dài của đường sinh : 
 l = AB=7cm
a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ :
 + Diện tích xung quanh của hình trụ :
 Sxq = 2rl = 70 (cm2 )
 + Thể tích của khối trụ :
 V = rh = 175 (cm3 )
b) Theo giả thiết , ta có thiết diện là hình chữ nhật ABCD và OI = 3 cm
 Tính diện tích của hình chữ nhật ABCD :
 - Xét OIA vuông tại I có :
 IA2 = OA2 – OI2 IA = 4 cm
 AC = 2 IA = 8 cm
Vậy diện tích của hình chữ nhật ABCD là :
 SABCD = AB.AC = 56 (cm2 )
O
O’
r
A
Bài 8 : (sgk/40)
1. Tính 
Ta có :
 + Chiều dài đường 
sinh của hình trụ :
 l = OO’ = 
 + Chiều dài đường 
sinh của hình nón là :
 l’ = O’A = = 2r
 S1 là dtích của xung quanh của hình trụ 
 S2 là diện tích xung quanh của hình nón.
 * Tính :
 Ta có S1 = 2rl = 2r2 (đvdt)
 S2 = rl’ = 2r2 (đvdt)
 = 
2. Gọi V là thể tích của khối trụ
 V là thể tích khối nón.
 V là thể tích khối còn lại của khối trụ.
Ta có : 
 V = rh = r3
 V = rh = r
 V = V - V= 
 Vậy: =
Bài 1: Cho một hình nón tròn xoay đỉnh S và đáy là hình tròn (O;r). Biết r=a; chiều cao SO=2a (a>0).
a. Tính diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón.
b. Lấy O' là điểm bất kỳ trên SO sao cho OO'=x (0<x<2a). Tính diện tích của thiết diện (C) tạo bởi hình nón với măt phẳng đi qua O' và vuông góc với SO.
c. Định x để thể tích của khối nón đỉnh O, đáy là (C) đạt GTLN.
 Hướng dẫn:
a. Hình nón có: 
Bán kính đáy: r = a.
Chiều cao: h = SO = 2a. 
Độ dài đường sinh: 
S
A
A’
B
B’
O
O’
 l = SA== a.
 Sxq = rl = a.
 Sđ = r = a.
Stp = Sxq + Sđ = (1+)a (đvdt)
 V = rh = a (đvdt)
b. Nhận xét: Thiết diện (C) là hình tròn tâm O' bán kính r'=O'A'=(2a-x).
Vậy diện tích thiết diện là:
S= r'= (2a-x)
c. Gọi V là thể tích của hình nón đỉnh O và đáy là hình tròn C(O';r')
 V= OO’. S= .x(2a-x)
Ta có: 
V=.2x(2a-x)
 V.
Hay V
Dấu “=” xảy ra2x=2a-xx= 
Vậy x= thì V đạt GTLN và Max V=
4) Củng cố : 
Nhắc lại lần nữa các công thức diện tích và thể tích của hình nón, hình trụ.
Cho học sinh quan sát và xem lại hai phiếu học t