Bài tập Hình học lớp 10 học kỳ 2 năm học 2010-2011

 
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Lập phương trình tham số của đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:
a) đi qua điểm M(1;2) và có vectơ chỉ phương ;
b) đi qua điểm M(2;5) và có vectơ pháp tuyến ;
c) đi qua điểm M(1;5) và có hệ số góc ;
d) đi qua hai điểm A(1;5) và B(3;6).
 Giải
Phương trình tham số của là: 
có vectơ pháp tuyến nên có vectơ chỉ phương .
Phương trình tham số của là : 
c) có hệ số góc nên có vectơ chỉ phương 
Phương trình tham số của là : 
d) đi qua hai điểm A(1;5) và B(3;6) nên có vectơ chỉ phương 
Phương trình tham số của là : 
Vấn đề 2
	Viết phương trình tổng quát của đường thẳng.	
1. Phương pháp
 Để Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ta thực hiện các bước:
Tìm một vectơ pháp tuyến của ;
Tìm một điểm thuộc ;
Viết phương trình theo công thức:;
Biến đổi về dạng: 
Chú ý:
	- Nếu đường thẳng cùng phương với đường thẳng d:thì có phương trình
 tổng quát: 
- Nếu đường thẳng vuông góc với đường thẳng d:thì có phương trình tổng quát: 
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:
 đi qua điểm M(1;1) và có vectơ pháp tuyến ;
 b) đi qua điểm M(-5;-2) và có vectơ chỉ phương ;
 c) đi qua điểm M(2;-1) và có hệ số góc ;
 d) đi qua hai điểm A(2;0) và B(0-3).
 Giải
Phương trình tổng quát của đường thẳng có dang
Đường thẳng có vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến 
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng :
Phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2;-1) và có hệ số góc là : 
Đường thẳng cắt trục Ox và Oy lần lượt tại A(2;0) và B(0;-3) có phương trình theo đoạn chắn là 
Ví dụ 2. Cho ΔABC, có A(1;4), B(3;-1), C(6;2).
a) Lập Phương trình tổng quát của đường thẳng BC.
b) Lập Phương trình quát của đường cao AH và trung tuyến AM.
 Giải
a) Đường thẳng BC có vtcp là 
Þ BC có vtpt là . Khi đó đt BC có phương trình tổng quát là
 3(x – 3) – 3(y + 1) = 0Û x – y – 4 = 0
b) + Đường cao AH có vtpt là . Khi đó đường cao AH có ptr tổng quát là:
 3(x – 1) + 3(y – 4) = 0Û x + y – 5 = 0.
 + M là trung điểm của AC nên M(;3).
Đường trung tuyến AM có vtcp là Þ AM có vtpt là . Khi đó đường trung tuyến AM có ptr tổng quát là: x – 1 + (y – 4) = 0 Û 2x + 5y – 22 = 0.
 Vấn đề 3
	Vị trí tương đối của hai đường thẳng và góc giữa hai đường thẳng
Phương pháp.
 a) Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng 
 + Ta xét các trường hợp sau: Nếu thì: • cắt 
 • //
 • //
 + Ta xét số nghiệm của hệ phương trình: 
• Hệ (I) có một nghiệm:cắt 
• Hệ (I) vô nghiệm://
• Hệ (I) vô số nghiệm:
 b) Góc giữa hai đường thẳng được tính bởi công thức:
2.Các ví dụ.
Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:
d: và d’: 
d: và d’:
d: và d’: 
 Giải
Ta có: . Vậy d cắt d’
Phương trình tổng quát d là: 
Ta có:. Vậy 
Phương trình tổng quát của d là: 
Phương trình tổng quát của d’ là: 
Ta có: . Vậy d//d’
Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng d: và d’: 
Tìm giao điểm của d và d’.
Tính góc giữa d và d’.
 Giải
Giao điểm của d và d’ là điểm có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:
Vậy d cắt d’ tại điểm 
b) 
Ví dụ 3. Tìm giá trị của m để đường thẳng d: hợp với đường thẳng d’: góc 300
 Giải
Ta có
Vấn đề 4
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
1.Phương pháp
- Để tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng có phương trình ta dùng công thức 
- Nếu đường thẳng : chia mặt phẳng Oxy thành hai nửa mặt phẳng có bờ , ta luôn có: 
+ Một nửa mặt phẳng chứa các điểm thỏa mãn 
+ Nửa mặt phẳng còn lại chứa các điểm thỏa mãn 
	- Cho hai đường thẳng cắt nhau , có phương trình:
Gọi d và d’ là hai đường thẳng chứa đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng , .
	Ta có: 
Vậy phương trình của hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng , là 
Ví dụ 1. Tìm khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng trong các trường hợp sau:
a) A(3;5), Δ: 4x + 3y + 1 = 0
b) B(1;-2), d: 3x – 4y – 26 = 0
c) C(1;2), m: 3x + 4y – 11 = 0 
 Giải
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
a) 
b) 
c) .
Ví dụ 2. Cho đt : 
Tìm điểm M thuộc và cách điểm A(0;1) một khoảng bằng 5
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng với đường thẳng x+y+1=0
Tìm điểm M trên sao cho AM ngắn nhất.
 Giải
a)
Ta có: 
Vậy có hai điểm M1(4;4) và M2
b) 
Vậy tọa độ 
c) 
Ta có AM ngắn nhất 
Vậy tọa độ của 
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: 
1. Viết phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng r biết:
 a. r đi qua M(2; –3) và có vectơ pháp tuyến 
 b. r đi qua 2 điểm A(0; 5) và B(4; –2)
 c. r đi qua điểm N(6 ; –1) và có hệ số góc k = 
 d. r đi qua P(–3 ; 2) và vuông góc với đường thẳng : 4x – 5y +1 = 0.
2. Cho phương trình tham số của r 
 a. Tìm toạ độ điểm M nằm trên r và cách A(–3 ; –1) một khoảng là .
 b. Tìm điểm N trên r sao cho AN ngắn nhất.
 c. Tìm toạ độ giao điểm của đường thằng r và đường thẳng x + y = 0.
3. Lập phương trình tổng quát của 3 đường trung trực và 3 cạnh của rABC biết các trung điểm của BC, CA và AB là M(4; 2), N(0; –1), P(1; 4).
4. Cho rABC với A(3; 2), B(1;1), C(5; 6). 
 a. Viết phương trình tổng quát các cạnh của rABC.
 b. Viết phương trình tổng quát đường cao AH, đường trung tuyến AM.
5. Cho M(2; 1) và đường thẳng d: 14x – 4y + 29 = 0. Tìm toạ độ hình chiếu H của M trên d và tìm toạ độ điểm đối xứng M’ của M qua đường thẳng d.
6. Xét vị trí tương đối của các đường thẳng sau:
 a. r1: 2x + 3y – 5 = 0 và r2: 4x – 3y – 1 = 0 b. r1: 2x + 1,5y + 3 = 0 và r2: 
7. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: a. M(5; 1) và r: 3x – 4y – 1 = 0 
 b. M(–2; –3) và r: 
8. Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 trong các trường hợp:
 a. d1: 3x – y + 1 = 0 và d2: 2x – 4y + 6 = 0 b. d1: 2x – 3y + 7 = 0 và d2: 
 c. d1: x = 2 và d2: 
9. Cho 2 điểm A(–1; 2), B(3; 1) và đường thẳng r : . Tìm điểm C trên r sao cho tam giác ABC là tam giác cân tại C.
10. Viết phương trình đường thẳng r đi qua M(2; 5) và cách đều hai điểm P(–1; 2) , Q(5; 4).
11. Cho hình bình hành ABCD có đỉnh A(-2,1) và pt đường thẳng CD là 3x - 4y + 2 = 0. Viết phương trình các đường thẳng còn lại của hình bình hành. 
12. Tìm m để hai đường thẳng: x+(2m-3)y-3=0 và vuông góc với nhau.
 §2 . PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
I. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. phương trình đường tròn.
* Phương trình đường tròn tâm I(a ; b), bán kính R là : (x – a)2 + (y – b)2 = R2.
* Nếu a2 + b2 – c > 0 thì phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn tâm 
I(a ; b), bán kính R = 
* Nếu a2 + b2 – c = 0 thì chỉ có một điểm I(a ; b) thỏa mãn phương trình: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0
* Nếu a2 + b2 – c< 0 thì không có điểm M(x ; y) nào thỏa mãn phương trình:x2 + y2 –2ax –2by + c = 0
2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn.
Tiếp tuyến tại điểm M0(x0 ; y0) của đường tròn tâm I(a ; b) có phương trình là:
(x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0) = 0
II. DẠNG TOÁN CƠ BẢN 
Vấn đề 1.
	Nhận dạng một phương trình bậc hai là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính đường tròn.
1. Phương pháp. 
 Cách 1. - Đưa phương trình về dạng
	x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (1)
Xét dấu biểu thức m=a2 + b2 – c .
- Nếu m>0 thì (1) là Phương trình đường tròn tâm I(a ; b) và bán kính R = 
 Cách 2. - Đưa phương trình về dạng
	(x – a)2 + (y – b)2 = m (2)
- Nếu m>0 thì (2) là Phương trình đường tròn tâm I(a ; b) và bán kính R = 
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1.
Trong các phương trình sau, phương trình nào phương trình của đường tròn? Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó(Nếu có).
a) ; b) ; c) 
	 Giải
a) Phương trình có dạng x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 
 Ta có 
Vậy Phương trình không phải là phương trình đường tròn.
b) Phương trình có dạng x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 
Ta có 
Vậy Phương trình là phương trình đường tròn tâm I(3;-2),bán kính 
R = 
c) có dạng x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 
Ta có 
Vậy Phương trình là phương trình đường tròn tâm I(2;1),bán kính 
R = 2
Vấn đề 2.
Lập phương trình của đường tròn .
1.Phương pháp.
Cách 1.
Tìm tọa độ tâm I(a;b) của đường tròn (C);
Tìm bán kính R của (C);
Viết phương trình (C) theo dạng(x – a)2 + (y – b)2 = R2.(1)
Chú ý: 
(C) đi qua A, B 
(C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng r tại A 
(C) tiếp xúc với hai đường thẳng và 
Cách 2.
Gọi phương trình của đường tròn (C) là x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (2)
Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ẩn là a, b,c.
Giải hệ phương trình tìm a, b, c thế vào (2) ta được phương trình đường tròn (C).
2.Các ví dụ.
Ví dụ 1. Lập phương trình của đường tròn ( C) trong các trường hợp sau:
( C) có tâm I(-2;3) và đi qua M(2;-3)
( C) có tâm I(-2;3) và tiếp xúc với đường thẳng x – 2y + 7 = 0
 c) (C) có đường kính AB với A(1;1) và B(7;5)
 Giải
 a) Ta có: bán kính 
 Vậy phương trình của đường tròn ( C) là : (x+2)2 + (y-3)2 =52
 b) Ta có:
 Vậy phương trình của đường tròn ( C) là: (x+1)2 + (y-2)2 =4/5
 c) Tâm I của (C) là trung điểm của AB.
Ta có 
 Do đó 
Vậy phương trình của đường tròn ( C) là: (x-4)2 + (y-3)2 =13
Ví dụ 2. Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(-2;4), B(5;5), C(6;-2)
 Giải
 Xét phương trình đường tròn (C ) có dạng x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 
 (C) đi qua A, B, C khi và chỉ khi ta có hệ phương trình sau
 Cộng (1) và (2) vế với vế ta được 14a+2b=30
 Cộng (1) và (3) vế với vế ta được 16a-12b=20
Suy ra 
 Do đó c=-20
 Vậy phương trình của đường tròn ( C) là: 
Vấn đề 3.
Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn.
1.Phương pháp.
 Loại 1. Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm M0(x0 ; y0) thuộc đường tròn (C )
 -Tìm tọa độ tâm I(a;b) của đường tròn (C);
- Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M0(x0 ; y0) có phương trình là:
(x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0) = 0.
 Loại 2. Lập phương trình tiếp tuyến rvới (C) khi chưa biết tiếp điểm :
Dùng điều kiện tiếp xúc để xác định r:
r tiếp xúc với đường tròn với (C) tâm I(a;b), bán kính R
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1. Cho đường tròn (C) có phương trình 
 x2 + y2 - 4x + 8y -5 = 0
Tìm toạ độ tâm và bán kính của (C)
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A( -1; 0)
 c. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng 3x – 4y + 5 = 0.
 Giải
 a) Tâm I(2;-4), bán kính