Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11

m giao tuyến của (SAC ) và (SMN)
	Ta có : S là điểm chung của (SAC ) và (SMN)
	Trong (SBC), gọi 	M’ = SM Ç BC
	Trong (SCD), gọi 	N’ = SN Ç CD
	Trong (ABCD), gọi 	I = M’N’ Ç AC
	I Î M’N’ mà M’N’ Ì (SMN) Þ I Î ( SMN)
	I Î AC mà AC Ì (SAC) Þ I Î (SAC)
	Þ I là điểm chung của (SMN ) và (SAC)
	Þ ( SMN) Ç (SAC) = SI
	·	Trong (SMN), gọi O = MN Ç SI	
	O Î MN 
	O Î SI mà SI Ì ( SAC) Þ O Î ( SAC)
	Vậy : O = MN Ç ( SAC )
	b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN) :
	· Chọn mp phụ (SAC) É SC
	· Tìm giao tuyến của (SAC ) và (AMN)
	Ta có : ( SAC) Ç (AMN) = AO
	·	Trong (SAC), gọi E = AO Ç SC	
	E Î SC 
	E Î AO mà AO Ì ( AMN) Þ E Î ( AMN)
	Vậy : E = SC Ç ( AMN )
Dạng 3 : Chứng minh ba điểm thẳng hàng 
	Phương pháp : 	·	Chứng minh ba điểm đó cùng thuộc hai mp phân biệt 	
	·	Khi đó ba điểm thuộc đường thẳng giao tuyến của hai mp
Bài tập :
	1.	Cho hình bình hành ABCD . S là điểm không thuộc (ABCD) ,M và N lần lượt là trung điểm của 
	đoạn AB và SC . 
	a. Xác định giao điểm I = AN Ç (SBD) 
	b. Xác định giao điểm J = MN Ç (SBD) 
	c. Chứng minh I , J , B thẳng hàng 
	Giải 
	a. Xác định giao điểm I = AN Ç (SBD ) 
	· Chọn mp phụ (SAC) É AN
	· Tìm giao tuyến của (SAC ) và (SBD)
	Þ ( SAC) Ç (SBD) = SO
	·	Trong (SAC), gọi I = AN Ç SO	
	I Î AN 
	I Î SO mà SO Ì ( SBD) Þ I Î ( SBD)
	Vậy: I = AN Ç ( SBD)
	b. Xác định giao điểm J = MN Ç (SBD) 
	· Chọn mp phụ (SMC) É MN
	· Tìm giao tuyến của (SMC ) và (SBD)
	S là điểm chung của (SMC ) và (SBD)
	Trong (ABCD) , gọi E = MC Ç BD
	Þ ( SAC) Ç (SBD) = SE
	·	Trong (SMC), gọi J = MN Ç SE	
	JÎ MN 
	JÎ SE mà SE Ì ( SBD) Þ J Î ( SBD)
	Vậy J = MN Ç ( SBD)
	c. Chứng minh I , J , B thẳng hàng
	Ta có : B là điểm chung của (ANB) và ( SBD)	
	· I Î SO mà SO Ì ( SBD) Þ I Î ( SBD)
	· I Î AN mà AN Ì (ANB) Þ I Î (ANB)
	Þ I là điểm chung của (ANB) và ( SBD)
	· J Î SE mà SE Ì ( SBD) Þ JÎ ( SBD)
	· J Î MN mà MN Ì (ANB) Þ J Î (ANB)
	Þ J là điểm chung của (ANB) và ( SBD)
	Vậy : B , I , J thẳng hàng 
	2.	Cho tứ giác ABCD và S Ï (ABCD). Gọi I , J là hai điểm trên AD và SB , AD cắt BC tại O và 
	OJ cắt SC tại M .
	a. Tìm giao điểm K = IJ Ç (SAC) 
	b. Xác định giao điểm L = DJ Ç (SAC) 
	c. Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng 
	Giải
	a. Tìm giao điểm K = IJ Ç (SAC) 
	· Chọn mp phụ (SIB) É IJ 
	· Tìm giao tuyến của (SIB ) và (SAC)
	S là điểm chung của (SIB ) và (SAC)
	Trong (ABCD) , gọi E = AC Ç BI
	Þ (SIB) Ç ( SAC) = SE 
	·	Trong (SIB), gọi K = IJ Ç SE	
	KÎ IJ 
	KÎ SE mà SE Ì (SAC ) Þ K Î (SAC)
	Vậy: K = IJ Ç ( SAC)
	b. Xác định giao điểm L = DJ Ç (SAC)
	· Chọn mp phụ (SBD) É DJ 
	· Tìm giao tuyến của (SBD ) và (SAC)
	S là điểm chung của (SBD ) và (SAC)
	Trong (ABCD) , gọi F = AC Ç BD
	Þ (SBD) Ç ( SAC) = SF 
	·	Trong (SBD), gọi 	L = DJ Ç SF	
	LÎ DJ 
	LÎ SF mà SF Ì (SAC ) Þ L Î (SAC)
	Vậy : L = DJ Ç ( SAC)
	c. Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng
	Ta có	:A là điểm chung của (SAC) và ( AJO)
	· K Î IJ mà IJ Ì (AJO) Þ KÎ (AJO)
	· K Î SE mà SE Ì (SAC ) Þ K Î (SAC )
	Þ K là điểm chung của (SAC) và ( AJO)
	· L Î DJ mà DJ Ì (AJO) Þ L Î (AJO)
	· L Î SF mà SF Ì (SAC ) Þ L Î (SAC )
	Þ L là điểm chung của (SAC) và ( AJO)	
	· M Î JO mà JO Ì (AJO) Þ M Î (AJO)
	· M Î SC mà SC Ì (SAC ) Þ M Î (SAC )
	Þ M là điểm chung của (SAC) và ( AJO)
	Vậy : A ,K ,L ,M thẳng hàng
	3.	Cho tứ diện SABC.Gọi L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC sao cho LM
	không song song với AB, LN không song song với SC.
	a. Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC)
	b. Tìm giao điểm I = BC Ç ( LMN) và J = SC Ç ( LMN)
	c. Chứng minh M , I , J thẳng hàng
	Giải
	a. Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC)
	Ta có : N là điểm chung của (LMN) và (ABC)
	Trong (SAB) , LM không song song với AB
	Gọi K = AB Ç LM
	K Î LM mà LM Ì (LMN ) Þ K Î (LMN )
	K Î AB mà AB Ì ( ABC) Þ K Î ( ABC)	b. Tìm giao điểm I = BC Ç ( LMN)
	· Chọn mp phụ (ABC) É BC 
	· Tìm giao tuyến của (ABC ) và (LMN)
	Þ (ABC) Ç ( LMN) = NK 
	·	Trong (ABC), gọi I = NK Ç BC	
	IÎ BC 
	IÎ NK mà NK Ì (LMN ) Þ I Î (LMN)
	Vậy : I = BC Ç ( LMN)
	Tìm giao điểm J = SC Ç ( LMN)
	·	Trong (SAC), LN không song song với SC
	gọi J = LN Ç SC	
	JÎ SC 
	JÎ LN mà LN Ì (LMN ) Þ J Î (LMN)
	Vậy : J = SC Ç ( LMN)
	c. Chứng minh M , I , J thẳng hàng
	Ta có	: M , I , J là điểm chung của (LMN) và ( SBC)
	Vậy : M , I , J thẳng hàng
	4.	Cho tứ giác ABCD và S Ï (ABCD). Gọi M , N là hai điểm trên BC và SD.
	a. Tìm giao điểm I = BN Ç ( SAC) 
	b. Tìm giao điểm J = MN Ç ( SAC)
	c. Chứng minh C , I , J thẳng hàng 
	Giải 
	a. Tìm giao điểm I = BN Ç ( SAC)
	· Chọn mp phụ (SBD) É BN 
	· Tìm giao tuyến của (SBD ) và (SAC)
	Trong (ABCD), gọi O = AC Ç BD
	Þ (SBD) Ç ( SAC) = SO 
	·	Trong (SBD), gọi I = BN Ç SO	
	IÎ BN 
	IÎ SO mà SO Ì (SAC ) Þ I Î (SAC)
	Vậy : I = BN Ç ( SAC)
	b. Tìm giao điểm J = MN Ç ( SAC) : 
	· Chọn mp phụ (SMD) É MN 
	· Tìm giao tuyến của (SMD ) và (SAC)
	Trong (ABCD), gọi K = AC Ç DM
	Þ (SMD) Ç ( SAC) = SK 
	·	Trong (SMD), gọi J = MN Ç SK	
	J Î MN 
	J Î SK mà SK Ì (SAC ) Þ J Î (SAC)
	Vậy : J = MN Ç ( SAC)
	c. Chứng minh C , I , J thẳng hàng :
	Ta có	: C , I , J là điểm chung của (BCN ) và (SAC)
	Vậy : C , I , J thẳng hàng
Dạng 4 : Tìm thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (a ) : 
	Chú ý : Mặt phẳng (a ) có thể chỉ cắt một số mặt của hình chóp
	Cách 1 : 	Xác định thiết diện bằng cách kéo dài các giao tuyến 
Bài tập : 
	1.	Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O .
	Gọi M, N , I là ba điểm lấy trên AD , CD , SO .
	Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNI)
	Giải 
	Trong (ABCD), gọi 	J = BD Ç MN
	K = MN Ç AB
	H = MN Ç BC
	Trong (SBD), gọi 	Q = IJ Ç SB
	Trong (SAB), gọi 	R = KQ Ç SA
	Trong (SBC), gọi 	P = QH Ç SC
	Vậy : thiết diện là ngũ giác MNPQR
	2.	Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N , P lần lượt
	là trung điểm lấy trên AB , AD và SC . 
	Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP)
	Giải
	Trong (ABCD) , gọi 	E = MN Ç DC
	F = MN Ç BC
	Trong (SCD) , gọi 	Q = EP Ç SD
	Trong (SBC) , gọi 	R = FP Ç SB
	Vậy : thiết diện là ngũ giác MNPQR
	3.	Cho tứ diện ABCD . Gọi H,K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC . Trên đường thẳng CD 
	lấy điểm M sao cho KM không song song với BD . Tìm thiết diện của tứ diện với mp (HKM ). 
	Xét 2 .trường hợp :
	a. M ở giữa C và D
	b. M ở ngoài đoạn CD	
	Giải 
	a. M ở giữa C và D : 
	Ta có : HK , KM là đoạn giao tuyến của (HKM) với (ABC) và (BCD)
	Trong (BCD), gọi L = KM Ç BD
	Trong (ABD), gọi N = AD Ç HL
	Vậy : thiết diện là tứ giác HKMN
	b. M ở ngoài đoạn CD: 
	Trong (BCD), gọi L = KM Ç BD
	Vậy : thiết diện là tam giác HKL
	4.	Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm lấy trên
	 AD và DC .Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNE)
	Giải
	Trong (SCD), gọi Q = EN Ç SC
	Trong (SAD), gọi P = EM Ç SA
	Trong (ABCD), gọi F = MN Ç BC
	Trong (SBC), gọi R = FQ Ç SB
	Vậy : thiết diện là ngũ giác MNQRP
	Cách 2 :Xác định thiết diện bằng cách vẽ giao tuyến phụ :
Bài tập : 
	5.	Cho hình chóp S.ABCD .Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB và SC . Giả sử AD và BC không 
	song song .
	a. Xác định giao tuyến của (SAD) và ( SBC)	 
	b. Xác định thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD
	Giải
	a. Xác định giao tuyến của (SAD) và ( SBC) :
	Trong (ABCD) , gọi 	I = AD Ç BC
	Vậy : SI = (SAD) Ç ( SBC)
	b. Xác định thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD
	Trong (SBC) , gọi 	J = MN Ç SI
	Trong (SAD) , gọi 	K = SD Ç AJ 
	Vậy : thiết diện là tứ giác AMNK
	6.	Cho hình chóp S.ABCD.Trong tam giác SBC lấy một điểm M 
	trong tam giác SCD lấy một điểm N.
	a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC)
	b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN) 
	c. Tìm thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD
	Giải 
	a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC):
	· Chọn mp phụ (SMN) É MN
	· Tìm giao tuyến của (SAC ) và (SMN)
	Ta có : S là điểm chung của (SAC ) và (SMN)
	Trong (SBC), gọi M’ = SM Ç BC
	Trong (SCD), gọi N’ = SN Ç CD
	Trong (ABCD), gọi I = M’N’ Ç AC
	I Î M’N’ mà M’N’ Ì (SMN) Þ I Î ( SMN)
	I Î AC mà AC Ì (SAC) Þ I Î (SAC)
	Þ I là điểm chung của (SMN ) và (SAC)
	Þ ( SMN) Ç (SAC) = SI
	·	Trong (SMN), gọi O = MN Ç SI	
	O Î MN 
	O Î SI mà SI Ì ( SAC) Þ O Î ( SAC)
	Vậy : O = MN Ç ( SAC )
	b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN) :
	· Chọn mp phụ (SAC) É SC
	· Tìm giao tuyến của (SAC ) và (AMN)
	Ta có : ( SAC) Ç (AMN) = AO
	·	Trong (SAC), gọi E = AO Ç SC	
	E Î SC 
	E Î AO mà AO Ì ( AMN) Þ E Î ( AMN)
	Vậy : E = SC Ç ( AMN )
	c. Tìm thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD:
	Trong (SBC), gọi P = EM Ç SB
	Trong (SCD), gọi Q = EN Ç SD
	Vậy : thiết diện là tứ giác APEQ
	7.	Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’, B’ , C’ là ba điểm 
	lấy trên các cạnh SA, SB, SC . Tìm thiết diện của
	 hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (A’B’C’)
	Giải	
	Trong (ABCD), gọi O = AC Ç BD
	Trong (SAC), gọi O’ = A’C’ Ç SO
	Trong (SBD), gọi D’ = B’O’ Ç SD
	Có hai trường hợp : 
	· Nếu D’ thuộc cạnh SD thì thiết diện là tứ giác A’B’C’D’
	· Nếu D’ thuộc không cạnh SD thì 
	Gọi	E = CD Ç C’D’
	F = AD Ç A’D’
	Þ thiết diện là tứ giác A’B’C’EF	
§1 .HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 
Dạng 5 : Chứng minh hai đường thẳng a và b song song : 
	Sử dụng một trong các cách sau :
	·	Chứng minh a và b đồng phẳng và không có điểm chung 
	· 	Chứng minh a và b phân biệt và cùng song song với đường thẳng thứ ba 
	·	Chứng minh a và b đồng phẳng và áp dụng các tính chất của hình học phẳng (cạnh đối của hình 
	bình hành , định lý talet … )
	·	Sử dụng các định lý 
	·	Chứng minh bằng phản chứng 
Bài tập :
	1.	Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành .Gọi A’ ,B’ , C’ ,D’ lần lượt là trung
	điểm các cạnh SA , SB , SC , SD .
	a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành 
	b. Gọi M là điểm bất kì trên BC . Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD	
	Giải
	a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành :
	Trong tam giác SAB, ta có : A’B’AB	
	Trong tam giác SCD, ta có : C’D’CD	Mặt khác AB CD 
	Þ 	A’B’ C’D’
	Vậy : A’B’C’D’ là hình bình hành
	b. Tìm thiết diện củ