Bài tập Hình học 12 Ban cơ bản - Chương III: Phương trình mặt phẳng

Phương trình mặt phẳng 
GV:Nguyễn Thanh Trung - 1 - 
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 
I VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG; 
 Định nghĩa: 
Cho mặt phẳng (P).Mọi vectơ n 0

 và có giá vuông góc với mặt phẳng (P) gọi là véctơ 
pháp tuyến của mp(P). 
n 0
n (P)







 n

là véctơ của mp(P). 
n là véctơ của mp(P) , n(k 0)k   cũng là véctơ pháp tuyến của mp đó. 
II CẶP VÉCTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA MẶT PHẲNG : 
Cặp véctơ a,b

 không cùng phương gọi là cặp véctơ chỉ phương của mp(P) nếu đường 
thẳng chứa véctơ a và nếu đường thẳng chứa véctơ b

 có giá songsong hoặc nằm trong 
mp(P). 
Nếu 1 2, 3a (a a a, )
 , 1 2 3b (b b b, , )

 là cặp véctơ chỉ phương của mp(P) thì 
n (a b a b ,a b a b ,a b a b )2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1   
 là một véctơ pháp tuyến của mp(P). 
Ta chứng minh a.n 0,b.n 0 n  
    vuông góc cả hai véctơ a và b

 mà a , b

không cùng 
phương nên n 0

.Do đó véctơ n là một véctơ pháp tuyến của mp(P). 
Véctơ n xác định như trên gọi là tích có hường (tích véctơ) của hai véctơ a và b

, kí hiệu 
là n [a,b]
  hay n a b 
  . 
Mặt phẳng (ABC) nhận : 
 AB;AC
 
 làm một cặp véctơ chỉ phương. 
 n [a,b]
  làm véctơ pháp tuyến . 
III PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG : 
Trong không gian (Oxyz) ,mặt phẳng (P) đi qua 0 0 0 0M (x y ,z ), và nhận n (A,B,C)

làm véctơ pháp tuyến có phương trình : 
0 0 0A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0      với (
2 2 2A B C 0   ) 
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua 0 0 0 0M (x y ,z ), và nhận n (A,B,C)

làm làm véctơ 
pháp tuyến có phương trình tổng quát : 
Ax By Cz D 0    trong đó 0 0 0D (Ax By Cz )    
VI CÁC TRƯỜNG HỢP RIÊNG CỦA MẶT PHẲNG : 
Cho mặt phẳng (P) :Ax+By+Cz +D = 0 
1. Nếu D = 0 : (P) qua gốc tọa độ O 
(P): Ax+By+Cz = 0 
2. Nếu A 0,B 0,C 0   : 
 (P): By+Cz+D = 0 ;(P) chứa hoặc song song với trục Ox. 
3. Nếu A 0,B 0,C 0   
 (P): Cz+D = 0 ;(P) song song hoặc trùng mp(Oxy). 
Phương trình mặt phẳng 
GV:Nguyễn Thanh Trung - 2 - 
4. Nếu A 0,B 0,C 0,D 0,    đặt D D Da ;b ;c ;
A B C
      ta có phương 
trình đoạn chắn: 
x y z 1
a b c
   .Khi đó mp (P) cắt các trục Ox;Oy;Oz tại các điểm có 
tọa độ A(a;0;0); B(0;b;0) C(0;0;c) . 
Ví dụ: Trong không gian (Oxyz) cho ba điểm M( 1;0;0),N(0;2;0) và P( 0;0;3).Viết 
phương trình mp(MNP). 
Ta không cần tìm một cặp VTCP hayVTPT ,ta áp dụng công thức: 
x y z 1 6x 3y 2z 6 0
1 2 3
        ,đó là phương trình mp(MNP). 
V.ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG,VUÔNG GÓC: 
1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song. 
Cho mp(P): 1 1 1 1A x B y C z D 0     trong đó 
2 2 2(A B C 0) 1 1 1   
và mp(Q) : 2 2 2 2A x B y C z D 0     trong đó 
2 2 2(A B C 0) 2 2 2   
Gọi 1 1 1 1n (A ;B ;C )

là VTPT của mp(P) và 2 2 2 2n (A ;B ;C )

là VTPT của mp(Q). 
   
n kn1 2P / / Q
D D1 2
n kn1 2(P) (Q) 
D D1 2




 







 
  
(P) cắt (Q) n kn1 2 
 
2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc . 
Cho mp(P): 1 1 1 1A x B y C z D 0     trong đó 
2 2 2
1 1 1(A B C 0)    
và mp(Q): 2 2 2 2A x B y C z D 0     trong đó 
2 2 2
2 2 2(A B C 0)    
Gọi 1 1 1 1n (A ;B ;C )

là VTPT của mp(P) và 2 2 2 2n (A ;B ;C )

là VTPT của mp(Q). 
   P Q n n1 2
 A A B B C C 01 2 1 2 1 2
  
   
 
Ví dụ: Viết phương trình mp(P) qua A(3;1;-1);B(2;-1;4) và vuông góc với mp(Q) có 
phương trình: 2x-y+3z-1 = 0 . 
 Mp(P) có cặp vectơ chỉ phương : 
 Q
n (2; 1;3) 
AB ( 1; 2;5)
  

  

 
Suy ra một vectơ pháp tuyến của mp(P) là: Pn ( 1;13;5) 

Phương trình mp(P) là: x-13y+5z+5 = 0. 
VI. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG : 
Phương trình mặt phẳng 
GV:Nguyễn Thanh Trung - 3 - 
Khoảng cách từ 0 0 0M(x ;y ;z ) đến mp(P) có phương trình :Ax+By+Cz+D = 0 được 
tính theo công thức : 0 0 0
2 2 2
Ax By Cz D
MH d(M;(P))
A B C
  
 
 
 trong đó H là hình 
chiếu của M trên mặt phẳng (P). 
Bài tập : 
 Bài 1. Cho A(1 ;-2 ;3) ;B(2 ;0 ;1) ;C(-1 ;1 ;-2) . 
a) Tìm cặp VTCP của mp(ABC), suy ra một VTPT của mp(ABC). 
b) Viết phương trình mp(ABC). 
 Bài 2. Cho bốn điểm A(-2;1;0),B(3;1;-2),C(1;4;-1),D(2;3;1). 
a) Viết phương trình mp(BCD) 
b) Chứng minh ABCD là một tứ diện. 
 Bài 3. Viết phương trình mp (P) khi: 
a) (P) qua A(2;-1;4) và có cặp VTCP a (3;2;1); b ( 3;1;1)  

b) (P) qua E (4;-1;1) ,F(3;1;2) và // trục Ox. 
c) (P) qua M(1;-2.1),N(0;1;-2) ,P( 2;-1;1-1) 
 Bài 4: Viết phương trình các mp(P);mp(Q);mp(R) đi qua A(2;5;-4) và lần lượt song 
song với các mp tọa độ (Oxy);(Oyz);(Oxz). 
 Bài 5: Viết phương trình mp (P) qua A(2;3;-1) và chứa trục Ox . 
 Bài 6: Trong (Oxyz) cho bốn điểm A(5;1;3) ;B(1;6;2);C(5;0;4);D(4;0;6) . 
a) Viết phương trình mp(ABC). 
b) Viết phương trình mp(P) chứa AB và song song với CD 
 Bài 7: Viết phương trình mp qua các điểm là hình chiếu của M(2;-3;4) trên các trục 
tọa độ. 
 Bài 8: Viết phương trình mp(P) qua A(1;-2;3) và song song với mp(Q):x-2y-3z+4 =0 
 Bài 9: Cho A(1;3;2) và B( 1;1;2) 
a) Viết phương trình mp(P) qua A và vuông góc AB 
b) Viết phương trình mp trunjg trực của AB 
 Bài 10: Cho ba điểm A(-1;6;0) ;B(3;0;-8);C(2;-3;0) 
a) Viết phương trình mp(ABC). 
b) Mp (ABC) cắt Ox; Oy; Oz lần lượt tại K;M;N .Tìm tọa độ K;M;N. 
c) Tính thể tích tứ diện OKMN. 
 Bài 11: Viết phương trình mp(P) qua A(3;1;-1) ;B(2;-1;4) và vuông góc với mp (Q): 
2x - y +3z = 0. 
 Bài 12: Viết phương trình mp(P) qua A(2;-1;2) song song với Oy và vuông góc với 
mp (Q): 2x – y + 3z -1 = 0 . 
 Bài 13: Viết phương trình mp(P) sao cho H(2;-1;-2) là hình chiếu vuông góc của gốc 
tọa độ O lên (P).