Bài tập Hình học 11 - Chương III: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

tích thiết diện trong các trường hợp sau:
	a) (P) qua S và vuông góc với BC.
	b) (P) qua A và vuông góc với trung tuyến SI của tam giác SBC.
	c) (P) qua trung điểm M của SC và vuông góc với AB.
	HD:	a) .	b) .	c) .
Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD) và SA = a. Vẽ đường cao AH của tam giác SAB.
	a) CMR: .
	b) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB. (P) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện.	HD:	b) S = 
VẤN ĐỀ 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp: Xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P). 
	· Tìm giao điểm O của a với (P).
	· Chon điểm A Ỵ a và dựng AH ^ (P). Khi đó 
Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O; SO ^ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và BC. Biết .
	a) Tính MN và SO.
	b) Tính góc giữa MN và (SBD).
	HD:	a) MN = ; SO = 	b) sin.
Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA ^ (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa:
	a) SC và (ABCD)	b) SC và (SAB) c) SB và (SAC)	d) AC và (SBC)
	HD:	a) 6000000008776540	b) arctan	c) arcsin	d) arcsin.
Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA ^ (ABCD). Cạnh SC = a hợp với đáy góc a và hợp với mặt bên SAB góc b.
	a) Tính SA.
	b) CMR: AB = a.
	HD:	a) a.sina
Cho hình chóp SABC, có ABC là tam giác cân, AB = AC = a, . Biết SA, SB, SC đều hợp với mặt phẳng (ABC) góc a.
	a) CMR: hình chiếu của S trên mp(ABC) là tâm của đường tròn ngoại tiếp DABC.
	b) Tính khoảng cách từ S đến mp(ABC).
	HD:	b) .
Cho lăng trụ ABC.A¢B¢C¢, có đáy là tam giác đều cạnh a, AA¢ ^ (ABC). Đường chéo BC¢ của mặt bên BCC¢B¢ hợp với (ABB¢A¢) góc 300.
	a) Tính AA¢.
	b) Tính khoảng cách từ trung điểm M của AC đến (BA¢C¢).
	c) Gọi N là trung điểm của cạnh BB¢. Tính góc giữa MN và (BA¢C¢).
	HD:	a) a.	b) .	c) arcsin.
Cho lăng trụ ABC.A¢B¢C¢, có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A; AA¢ ^ (ABC). Đoạn nối trung điểm M của AB và trung điểm N của B¢C¢ có độ dài bằng a, MN hợp với đáy góc a và mặt bên BCC¢B¢ góc b.
	a) Tính các cạnh đáy và cạnh bên của lăng trụ theo a và a.
	b) Chứng minh rằng: cosa = sinb.
	HD:	a) AB = AC = 2a.cosa; BC = 2acosa;	AA¢ = a.sina.
IV. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
1. Góc giữa hai mặt phẳng 
	· 
	· Giả sử (P) Ç (Q) = c. Từ I Ỵ c, dựng Þ 
	Chú ý: 	
2. Diện tích hình chiếu của một đa giác
	Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S¢ là diện tích của hình chiếu (H¢) của (H) trên (Q), j = . Khi đó:	S¢ = S.cosj
3. Hai mặt phẳng vuông góc
	· (P) ^ (Q) Û 
	· Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: 
4. Tính chất
	· 	· 
	· 
VẤN ĐỀ 1: Góc giữa hai mặt phẳng 
Phương pháp: Muốn tìm góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
	· Tìm hai đường thẳng a, b: a ^ (P), b ^ (Q). Khi đó: .
	· Giả sử (P) Ç (Q) = c. Từ I Ỵ c, dựng Þ 
Cho hình chóp SABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA ^ (ABC) và SA = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC.
	a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
	b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SEF) và (SBC).
	HD:	a) = 600	b) cos.
Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O; SA ^ (ABCD). Tính SA theo a để số đo của góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (SCD) bằng 600.
	HD:	SA = a.
Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a; SA ^ (ABCD) và SA = a.
	a) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC).
	b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (SCD).
	HD:	a) tan	b) cos.
Cho hình vuông ABCD cạnh a, SA ^ (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau:
	a) (SBC) và (ABC)	b) (SBD) và (ABD)	c) (SAB) và (SCD)
	HD:	a) 600	b) arctan	c) 300.
Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O, OB = ; SA ^ (ABCD) và SO = .
	a) Chứng minh vuông.
	b) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc.
	c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).
	HD: 	c) 600.
Cho hình chóp SABCD có SA ^ (ABCD) và SA = a, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng:
a) (SBC) và (ABC)	b) (SAB) và (SBC)	c) (SBC) và (SCD)	
	HD:	a) 450	b) 600	c) arccos.
VẤN ĐỀ 2: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc.
Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
* Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
 Để chứng minh (P) ^ (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
	· Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a ^ (Q).
	· Chứng minh 
* Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 
Để chứng minh d ^ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
	· Chứng minh d Ì (Q) với (Q) ^ (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).
	· Chứng minh d = (Q) Ç (R) với (Q) ^ (P) và (R) ^ (P).
	· Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước.
Cho tam giác đều ABC, cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc vơi mp(ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = a. Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau.
Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD cùng vuông góc với đáy DBC. Vẽ các đường cao BE, DF của DBCD, đường cao DK của DACD.
	a) Chứng minh: AB ^ (BCD).
	b) Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mp(ADC).
	c) Gọi O và H lần lượt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ADC. CMR: OH ^ (ADC).
Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA ^ (ABCD).
	a) Chứng minh (SAC) ^ (SBD).
	b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD).
	c) Gọi BE, DF là hai đường cao của DSBD. CMR: (ACF) ^ (SBC), (AEF) ^ (SAC).
	HD:	b) 900.
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD). Gọi M, N là 2 điểm lần lượt ở trên 2 cạnh BC, DC sao cho BM = , DN = . Chứng minh 2 mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ BB¢ và CC¢ cùng vuông góc với mp(ABC).
	a) Chứng minh (ABB¢) ^ (ACC¢).
	b) Gọi AH, AK là các đường cao của DABC và DAB¢C¢. Chứng minh 2 mặt phẳng (BCC¢B¢) và (AB¢C¢) cùng vuông góc với mặt phẳng (AHK).
Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm của AB.
	a) Chứng minh rằng SI ^ (ABCD), AD ^ (SAB).
	b) Tính góc giữa BD và mp(SAD).
	c) Tính góc giữa SD và mp(SCI).
	HD:	b) arcsin	c) arcsin
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c, AC = b. Gọi (P) là mặt phẳng qua BC và vuông góc với mp(ABC); S là 1 điểm di động trên (P) sao cho SABC là hình chóp có 2 mặt bên SAB, SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo lần lượt là a và . Gọi H, I, J lần lượt là hình chiếu vuông góc của S trên BC, AB, AC..
	a) Chứng minh rằng: SH2 = HI.HJ.
	b) Tìm giá trị lớn nhất của SH và khi đó hãy tìm giá trị của a.
	HD:	b) SHmax = 
Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, x, y để:
	a) Mặt phẳng (ABC) ^ (BCD).
	b) Mặt phẳng (ABC) ^ (ACD).
	HD:	a) x2 – y2 + = 0	b) x2 – y2 + b2 – 2a2 = 0
Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD) ; M và N là hai điểm nằm trên các cạnh BC, CD. Đặt BM = x, DN = y.
a) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau là MN ^ (SAM). Từ đó suy ra hệ thức liên hệ giữa x và y.
b) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để góc giữa hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) có số đo bằng 300 là a(x + y) + xy = a2.	
HD:	a) a2 – a(x + y) + x2 = 0
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh a và có góc A bằng 600, cạnh SC = và SC ^ (ABCD).
a) Chứng minh (SBD) ^ (SAC).
b) Trong tam giác SCA kẻ IK ^ SA tại K. Tính độ dài IK.
c) Chứng minh và từ đó suy ra (SAB) ^ (SAD).	HD: 	b) .
VẤN ĐỀ 3: Tính diện tích hình chiếu của đa giác
Phương pháp: Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S¢ là diện tích của hình chiếu (H¢) của (H) trên (Q), j = . Khi đó:	S¢ = S.cosj
Cho hình thoi ABCD có đỉnh A ở trong mặt phẳng (P), các đỉnh khác không ở trong (P), BD = a, AC = a. Chiếu vuông góc hình thoi lên mặt phẳng (P) ta được hình vuông AB¢C¢D¢.
a) Tính diện tích của ABCD và AB¢C¢D¢. Suy ra góc giữa (ABCD) và (P).
b) Gọi E và F lần lượt là giao điểm của CB, CD với (P). Tính diện tích của tứ giác EFDB và EFD¢B¢.
HD:	a) 450	b) SEFDB = ; SEFD¢B¢ = 
Cho tam giác cân ABC có đường cao AH = a, đáy BC = 3a; BC Ì (P). Gọi A¢ là hình chiếu của A trên (P). Khi DA¢BC vuông tại A¢, tính góc giữa (P) và (ABC).
HD:	300
Cho tam giác đều ABC cạnh a, nằm trong mặt phẳng (P). Trên các đường thẳng vuông góc với (P) vẽ từ B và C lấy các đoạn BD = , CE = a nằm cùng một bên đối với (P).
a) Chứng minh tam giác ADE vuông. Tính diện tích của tam giác ADE.
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (ADE) và (P).
	HD:	a) 	b) arccos
Cho hình chóp SABC có các mặt bên hợp với đáy một góc j.
a) Chứng minh hình chiếu của S trên mp(ABC) là tâm của đường tròn nội tiếp DABC.
b) Chứng minh:	SDSAB + SDSBC + SDSCA = 
Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc. Gọi H là trực tâm của DABC. Chứng minh rằng:
a) SH ^ (ABC).
b) (SSBC)2 = SABC.SHBC. Từ đó suy ra: (SABC)2 = (SSAB)2 + (SSBC)2 +(SSCA)2.
Trong mặt phẳng (P) cho DOAB vuông tại O, AB = 2a, OB = a. Trên các tia vuông góc với (P) vẽ từ A và B và ở về cùng một bên đối với (P), lấy AA¢ = a, BB¢ = x.
a) Định x để tam giác OA¢B¢ vuông tại O.
b) Tính A¢B¢, OA¢, OB¢ theo