Bài tập Giải tích 12 - Tập 3: Nguyên hàm Tích phân

-ị f) 
1
3 2
0
1x x dx-ị 
 g) ị
+
32
5
2 4xx
dx h) ị
+
+3
0
2
35
1
2 dx
x
xx i) 
ln2
0 1
x
x
e dx
e+
ị 
 k) 
( )
ln3
30 1
x
x
e dx
e +
ị l) ị
+e
x
dxx
1 2
ln2 m) ị
+e dx
x
xx
1
lnln31 
 n) ị
+
2
0
22 sin4cos
2sin
p
dx
xx
x o) ị +
2
0
2
3
sin1
sin.cos
p
dx
x
xx p) ị +
6
0
22 cossin2
2sin
p
dx
xx
x 
Bài 2. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2): 
 a) ị
-
2
1
0
21 x
dx b) ị
-
1
0
2
2
4 x
dxx c) ị -
2
1
22 4 dxxx 
 d) ị +
3
0
2 3x
dx e) ị ++
1
0
22 )2)(1( xx
dx f) ị ++
1
0
24 1xx
xdx 
 g) 
0
21 2 2
dx
x x- + +
ị h) ị
-2
1
3
2 1 dx
x
x i) 
( )ị +
1
0
521 x
dx 
 k) 
2
3
22 1
dx
x x -
ị l) 
2
22
20 1
x dx
x-
ị m) 
2
2
0
2x x x dx-ị 
VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần 
 Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: 
Bài 1. Tính các tích phân sau: 
 a) ị
4
0
2sin
p
xdxx b) ị +
2
0
2 cos)sin(
p
xdxxx c) ị
p2
0
2 cos xdxx 
 d) 
2
4
0
cosx x dx
p
ị e) 
3
2
4
tanx xdxị
p
p
 f) ị -
1
0
2)2( dxex x 
( ).
b
x
a
P x e dxị ( ).cos
b
a
P x xdxị ( ).sin
b
a
P x xdxị ( ). n
b
a
P x l xdxị 
u P(x) P(x) P(x) lnx 
dv xe dx cos xdx sin xdx P(x) 
 Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng 
Trang 88 
 g) dxxe xị
2ln
0
 h) dxxx
e
ị
1
ln i) ị -
3
2
2 )ln( dxxx 
 k) ị
2
0
3 5sin
p
xdxe x l) ị
2
0
cos 2sin
p
xdxe x m) ị
e
xdx
1
3ln 
 o) dxxx
e
ị
1
23 ln p) ị
e
e
dx
x
x
1
2
ln q) dxxex x )1(
0
1
32ị
-
++ 
VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối 
Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) rồi sử dụng công 
thức phân đoạn để tính tích phân trên từng đoạn nhỏ. 
Bài 1. Tính các tích phân sau: 
 a) ị -
2
0
2 dxx b) ị -
2
0
2 dxxx c) dxxxị -+
2
0
2 32 
 d) 
3
2
3
1x dx
-
-ị e) 
5
2
( 2 2 )x x dx
-
+ - -ị f) 
3
0
2 4x dx-ị 
 g) 
4
2
1
6 9x x dx- +ị h) ị +-
3
0
23 44 dxxxx i) 
1
1
4 x dx
-
-ị 
Bài 2. Tính các tích phân sau: 
 a) ị -
p2
0
2cos1 dxx b) 
0
1 sin 2 .x dx
p
-ị c) 
2
2
sin x dx
-
ị
p
p
 d) 1 sin xdx
-
-ị
p
p
 e) 
2
0
1 cos xdx+ị
p
 f) 
0
1 cos2xdx+ị
p
 g) 
3
2 2
6
tan cot 2x x dx+ -ị
p
p
 h) 
3
3
2
cos cos cosx x xdx
-
-ị
p
p
 i) 
2
0
1 sin xdx+ị
p
VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ 
 Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ. 
Bài 1. Tính các tích phân sau: 
 a) ị +
3
1
3xx
dx b) ị +-
1
0
2 65xx
dx c) ị ++
3
0
2
3
12xx
dxx 
 d) 
( )ị +
1
0
321
dx
x
x e) 
( )ị -
3
2
9
2
1 x
dxx f) ị +
4
1
2 )1( xx
dx 
 g) ị -
4
2 )1(xx
dx h) ( )ị ++
+1
0
2 65
114
xx
dxx i) 
1 3
0
1
1
x x dx
x
+ +
+ị 
Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân 
Trang 89 
 k) 
0 3 2
2
1
2 6 9 9
3 2
x x x dx
x x-
- + +
- +
ị l) 
3 2
3
2
3 3 3
3 2
x x dx
x x
+ +
- +
ị m) 
1 2
3
0 (3 1)
x dx
x +
ị 
Bài 2. Tính các tích phân sau: 
 a) ị +-
2
0
2 22xx
dx b) ( )ị +
+3
0
2
2
1
23 dx
x
x c) ị +
+++2
0
2
23
4
942 dx
x
xxx 
 d) 
1
2 2
0
1
( 2) ( 3)
dx
x x+ +
ị e) 
1 3
2
0
1
1
x x dx
x
+ +
+
ị f) 
1
4
0 1
x dx
x+
ị 
 g) 
2
4
1
1
(1 )
dx
x x+
ị h) 
2 2008
2008
1
1
(1 )
x dx
x x
-
+
ị i) 
3 4
2 2
2 ( 1)
x dx
x -
ị 
 k) 
2
2
0
1
4
dx
x+
ị l) 
2 2
4
1
1
1
x dx
x
-
+
ị m) 
1 4
2
0
2
1
x dx
x
-
+
ị 
VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ 
 Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỉ. 
Bài 1. Tính các tích phân sau: 
 a) ị +
22
0
2 1dxxx b) ị
++
1
0
2
3
1
dx
xx
x c) ị ++
1
0 1 xx
dx 
 d) ị -+
2
1 11
dx
x
x e) 
6
2 2 1 4 1
dx
x x+ + +
ị f) ị
+
2
0
5
4
1
dx
x
x 
 g) 
10
5 2 1
dx
x x- -
ị h) ị +
1
0
23 1dxxx i) ị ++
-1
0 132
34 dx
x
x 
 k) ị +
+3
7
0
3 13
1 dx
x
x l) 
2 3
2
5 4
dx
x x +
ị m) 
3 5 3
20 1
x x dx
x
+
+
ị 
 n) 
2
2
0
1
1
x dx
x
+
-ị o) 
2
3
2
2 1
dx
x x -
ị p) 
2
31 1
dx
x x +
ị 
Bài 2. Tính các tích phân sau: 
 a) 
1
2 2
0
1x x dx+ị b) 
3 2
2 21
1
1
x dx
x x
+
+
ị c) 
1
2 30 (1 )
dx
x+
ị 
 d) 
2
2
1
2008x dx+ị e) 
3
3 2
0
10x x dx-ị f) 
1
2
0
1 x dx+ị 
 g) 
1
211 1
dx
x x- + + +
ị h) 
2
21 2008
dx
x +
ị i) 
1 3
20 1
x dx
x x+ +
ị 
 k) 
2
2
2 30 (1 )
dx
x-
ị l) 
2
22
20 1
x dx
x-
ị m) 
5
4
2
1
12 4 8x x dx- -ị 
 Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng 
Trang 90 
Bài 3. Tính các tích phân sau: 
 a) 
2
0
cos
7 cos2
xdx
x+
ị
p
 b) 
2
2
0
sin cos cosx x xdx-ị
p
 c) 
2
20
cos
2 cos
xdx
x+
ị
p
 d) 
2 6 3 5
0
1 cos sin cosx x xdx-ị
p
 e) 
2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x dx
x
+
+
ị
p
 f) 
3
0
cos
2 cos2
xdx
x+
ị
p
 g) 
2
20
cos
1 cos
xdx
x+
ị
p
 h) 
3
2
4
cos 1 cos
tgx dx
x x
p
p +
ị i) 
2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x dx
x
p
+
+
ị 
Bài 4. Tính các tích phân sau: 
 a) 
ln3
0 1x
dx
e +
ị b) 
ln2 2
0 1
x
x
e dx
e +
ị c) 
1
1 3ln lne x x dx
x
+
ị 
 d) 
ln3 2
ln2
ln
ln 1
x dx
x x +
ị e) 
0
2 3
1
( 1)xx e x dx
-
+ +ị f) 
ln2
30 ( 1)
x
x
e dx
e +
ị 
 g) 
ln3
0 ( 1) 1
x
x x
e dx
e e+ -
ị h) 
1
0
x
x x
e dx
e e-+
ị i) 
ln2
0
1xe dx-ị 
VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác 
 Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác. 
Bài 1. Tính các tích phân sau: 
 a) ị
4
0
cos.2sin
p
xdxx b) ị
4
0
tan
p
xdx c) ị +
2
0 cos31
sin
p
dx
x
x 
 d) ị
2
0
3sin
p
xdx e) dxxị
p
0
2sin f) ị
p
0
2 3cos x 
 g) 
2
2 4
0
sin cosx xdxị
p
 h) ị
2
0
32 cossin
p
xdxx i) 
2
4 5
0
sin cosx xdxị
p
 k) 
2
3 3
0
(sin cos )x x dx+ị
p
 l) 
32
0
cos
cos 1
x dx
x
p
+ị m) ị +
2
0 cos1
cos2sin
p
dx
x
xx 
 n) 
4
3
0
tan xdxị
p
 o) 
3
4
4
tan xdxị
p
p
 p) 
3
3
4
sin .cos
dx
x x
p
p
ị 
 q) 
32
2
0
sin
1 cos
x dx
x+
ị
p
 r) 
32
0
cos
1 cos
x dx
x+ị
p
 s) 
/3
4
/6 sin .cos
dx
x x
ị
p
p
Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân 
Trang 91 
Bài 2. Tính các tích phân sau: 
 a) ị -
2
0
53 cossincos1
p
xdxxx b) ị +
++2
6
cossin
2cos2sin1
p
p
dx
xx
xx c) dx
xx
x
ị
+
3
4
2cos1cos
tan
p
p
 d) 
2
4 4
0
cos2 (sin cos )x x x dx+ị
p
 e) ị +40
sin )cos(tan
p
dxxex x f) ( ) dxxxị +
2
0
32 2sinsin1
p
 g) 
3
0
sin .ln(cos )x x dx
p
ị h) 
34
2 2 5
0
sin
(tan 1) .cos
x dx
x x
p
+
ị i) 
3
2 2
3
1
sin 9 cos
dx
x x
p
p
-
+
ị 
Bài 3. Tính các tích phân sau: 
 a) 
2
3
1
sin
dx
xị
p
p
 b) 
2
0 2 cos
dx
x-ị
p
 c) 
2
0
1
2 sin
dx
x+ị
p
 d) 
2
0
cos
1 cos
x dx
x+ị
p
 e) 
2
0
cos
2 cos
x dx
x-ị
p
 f) 
2
0
sin
2 sin
x dx
x+ị
p
 g) 
2
0
1
sin cos 1
dx
x x+ +ị
p
 h) 
2
2
sin cos 1
sin 2 cos 3
x x dx
x x
-
- +
+ +ị
p
p
 i) 
4
0 cos cos( )
4
dx
x x +
ị
p
p
 k) 
2
2
0
(1 sin )cos
(1 sin )(2 cos )
x x dx
x x
-
+ -
ị
p
 l) 
3
4
sin cos( )
4
dx
x x +
ị
p
p p
 m) 
3
6
sin sin( )
6
dx
x x +
ị
p
p p
Bài 4. Tính các tích phân sau: 
 a) ị -
2
0
cos)12(
p
xdxx b) ị +
4
0 2cos1
p
x
xdx c) ị
3
0
2cos
p
dx
x
x 
 d) 
2
3
0
sin xdxị
p
 e) 
2
2
0
cosx xdxị
p
 f) 
2
2 1
0
sin 2 . xx e dx+ị
p
 g) 
2
1
cos(ln )x dxị h) 
3
2
6
ln(sin )
cos
x dx
x
ị
p
p
 i) 
2
2
0
(2 1)cosx xdx-ị
p
 k) 2 2
0
sinxe xdxị
p
 l) 
4
2
0
tanx xdxị
p
 m) 2
0
sin cosx x xdxị
p
 n) 
22 sin 3
0
sin cosxe x xdxị
p
 o) 
4
0
ln(1 tan )x dx+ị
p
 p) ị
4
0
4cos
p
x
dx 
 Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng 
Trang 92 
VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit 
 Sử dụng các phép toán về luỹ thừa và logarit. Xem lại các phương pháp tìm nguyên 
hàm. 
Bài 1. Tính các tích phân sau: 
 a) ị +
1
0 1
x
x
e
dxe b) ị +
2ln
0 5
xe
dx c) 
1
0
1
4x
dx
e +
ị 
 d) ị
+
8ln
3ln 1
dx
e
e
x
x
 e) ị +
8ln
3ln
2.1 dxee xx f) ị +
-2ln
0 1
1 dx
e
e
x
x
 g) 
2
1
1
1 x
dx
e--
ị h) 
2 2
0 1
x
x
e dx
e +
ị i) 
1
0 1
x
x
e dx
e
-
- +
ị 
 k) 
2
1
ln
(ln 1)
e x dx
x x +
ị l) 
1 2
0 1
x
x
e dx
e
-
- +
ị m) 
ln3
0
1
1x
dx
e +
ị 
Bài 2. Tính các tích phân sau: 
 a) ị
2
0
sin
p
xdxe x b) ị
2
0
2 dxxe x c) ị -
1
0
dxxe x 
 d) ị +
2
0
cos)cos(
p
xdxxe x e) ( )ị +
1
0
1ln dxxx f) 
2
1
1 lne x dx
x
+
ị 
 g) 
2
ln ln(ln )e
e
x x dx
x
+
ị h) ị ÷÷
ø
ư
çç
è
ỉ
+
+
e
dxx
xx
x
1
2ln
1ln
ln i) 
3
2
ln(ln )e
e
x dx
xị 
 k) 
2
2
1
ln xdx
x
ị l) 
3
2
6
ln(sin )
cos
x dx
x
ị
p
p
 m) 
1
0
ln( 1)
1
x dx
x
+
+
ị 
VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt 
Dạng 1. Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ 
 · Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì ( ) 0
a
a
f x dx
-
=ị 
 · Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên [-a; a] thì 
0
( ) 2 ( )
a a
a
f x dx f x dx
-
=ị ị 
 Vì các tính chất này không có trong phần lý thuyết của SGK nên khi tính các tích phân 
có dạng này ta có thể chứng minh như sau: 
 Bước 1: Phân tích 
0
0
( ) ( ) ( )
a a
a a
I f x dx f x dx f x dx
- -
= = +ị ị ị 
0
0
( ) ; ( )
a
a
J f x dx K f x dx
-
ỉ ư
ç ÷= =ç ÷
è ø
ị ị 
 Bước 2: Tính tích phân 
0
( )
a
J f x dx
-
= ị bằng phương pháp đổi biến. Đặt t = – x. 
 – Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J = –K Þ I = J + K = 0 
Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân 
Trang 93 
 – Nếu f(x) là hàm số chẵn thì J = K Þ I = J + K = 2K 
Dạng 2. Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì: 
0
( ) ( )
1x
f x dx f x dx
a-
=
+
ị ị
a a
a