Bài tập Giải tích 12 nâng cao - Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Nguyễn Tiến Long

ác điểm cực trị không đổi.
§3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
; 	
Hàm số f(x) liên tục trên một đoạn thì nó đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a; b]:
+ Tìm các điểm x1, x2, x3, . . . , xm Î [a; b] sao cho f(xi) = 0 hoặc không xác định.
+ Tính f(x1), f(x2), f(x3), . . . , f(xm), f(a), f(b).
+ So sánh các giá trị đó và lấy:
Nếu hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và có duy nhất một số cực trị thì giá trị cực trị đó là giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất trên khoảng (a; b).
Bài tập áp dụng:
1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
	a) y = sin42x + cos42x; 	b) y = sin6x + cos6x.
2. Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau:
	a) y = 1 + 8x – 2x2;	b) y = 4x3 – 3x4.
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
	a) y = x3 – 3x2 – 9x + 35 trên đoạn [-4; 4];
	b) y = ïx2 – 3x + 2ï trên đoạn [-10; 10];
	 trên đoạn [-1; 1];	d) y = sin2x – x trên đoạn 
5. Cho trước chu vi hình chữ nhật là p = 16cm. Dựng hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
6. Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích 48cm2. Hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.
7. Tìm hình thang cân có diện tích nhỏ nhất ngoại tiếp hình tròn bán kính R cho trước.
8. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số: 
§4. Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiện hệ tọa độ:
1. Công thức tịnh tiến hệ trục tọa độ:
Giá sử I(x0; y0) và điểm M(x; y) trong hệ trục Oxy. Hệ trục mới IXY có cùng các véc tơ đơn vị với hai trục Ox, Oy và M(X; Y) trong hệ trục IXY. Ta có công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ là: 
2. Sử dụng công thức tịnh tiến hệ trục tọa độ trên để viết phương trình đường cong trong hệ trục tọa độ mới.
Bài tập áp dụng:
1. Xác định tọa độ đỉnh I của mỗi parabol (P) sau đây. Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ và viết phương trình của parabol (P) đối với hệ trục tọa độ IXY.
a) y = x – 3x2;	b) y = 3x2 + 2;	c) y = 1 – 3x + 2x2;
2. Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 4 có đồ thị là đường cong (C)
	a) Tìm tọa độ điểm I Î (C) biết rằng hoành độ của điểm I là nghiệm của phương trình f ’’(x) = 0.
	b) CMR: I là tâm đối xứng của đồ thị (C).
3. Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 có đồ thị là đường cong (C)
	a) Tìm tọa độ điểm I Î (C) biết rằng hoành độ của điểm I là nghiệm của phương trình f ’’(x) = 0.
	b) CMR: I là tâm đối xứng của đồ thị (C).
	c) Trong hệ trục Oxy, viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm I. CMR: trên khoảng (-¥; 1) đường cong (C) nằm phía dưới tiếp tuyến của (C) tại I và trên khoảng (1; +¥;) đường cong (C) nằm phía trên tiếp tuyến của (C) tại I.
4. Cho đường cong (C) có phương trình và điểm I(1; -1). Viết công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ và viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra I là tâm đối xứng của (C).
5. Tìm tâm đối xứng của đồ thị mỗi hàm số sau: 
6. Cho đường cong (C) có phương trình (ac ≠ 0), điểm I(x0; y0) thỏa mãn y0 = ax0 + b. Viết công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ và phương trình của (C) đối với hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra I là tâm đối xứng của đường cong (C).
§5. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số:
Đường thẳng x = x0 được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong bốn điều kiện sau được thỏa mãn:
Đường thẳng y = y0 được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu hoặc .
Đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu hoặc .
Cách tìm tiệm cận xiên: Đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) .
hoặc .
Bài tập áp dụng:
1. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:
2. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:
3. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:
4. Xét các hypecbol có phương trình:
 với m là tham số khác 0.
a) CMR: "m ≠ 0, các hypebol (Hm) cắt trục tung tại cùng một điểm và tại đó chúng có cùng tiếp tuyến.
	b) Tìm quỹ tích giao điểm I các tiệm cận của (Hm) khi m thay đổi.
5. Cho hàm số 
	a) Xác định m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu trên khoảng (0; 2).
	b) Xác định tiệm cận xiên của đồ thị.
	c) CMR: tiệm cận xiên luôn tiếp xúc với một parabol cố định.
§6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức:
Khi khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một hàm số ta tiến hành các bước sau:
1. Tìm tập xác định của hàm số. 
2. Xét sự biến thiên của hàm số:
	a) Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu có) của hàm số.
	Tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có).
	b) Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm:
	Tìm đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị (nếu có) của hàm số, điền các kết quả vào bảng biến thiên.
3. Vẽ đồ thị hàm số.
	- Vẽ các đường tiệm cận (nếu có).
	- Xác định một số điểm đặc biệtcủa đồ thị, chẳng hạn tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ. (Nếu đồ thị không cắt các trục tọa độ hoặc tìm tọa độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏ qua phần này).
	- Nhận xét đồ thị: Chỉ ra trục và tâm đối xứng của đồ thị (nếu có).
Bảng tóm tắt khảo sát hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0)
	1. TXĐ: D = R
2. Đạo hàm y’ = 3ax2 + 2bx + c; y’’ = 6ax + 2b.
Đồ thị hàm số luôn có một điểm uốn và đó là tâm đối xứng của đồ thị.
a > 0
a < 0
Pt y’ = 0
có 2 nghiệm phân biệt
 y
 O X
 y
 O X
Pt y’ = 0
có nghiệm kép
 y
 O X
 y
 O X
Pt y’ = 0
vô nghiệm
 y
 O X
 y
 O X
Bảng tóm tắt khảo sát hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ¹ 0)
	TXĐ: D = R. Hàm số chẵn Þ đồ thị có trục đối xứng Oy.
a > 0
a < 0
Pt y’ = 0
Có ba nghiệm
pPhân biệt
 y
 O X
 y
 O X
Pt y’ = 0
Có một nghiệm
 y
 O X
 y
 O X
Bài tập áp dụng:
1.	a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) = - x3 + 3x2 + 9x + 2 (C)	
b) CMR: đồ thị hàm số có tâm đối xứng.
	c) Gọi a là hoành độ của tâm đối xứng, giải bất phương trình f(x - a) ³ 2.
2. 	a) Khảo sát hàm số y = f(x) = x3 + 3x2 + 1 (C)
	b) Từ gốc tọa độ có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến của (C). Viết phương trình các tiếp tuyến đó.
	c) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệmcủa phương trình sau đây theo m:
	x3 + 3x2 + m = 0 (1).
3. 	a) Khảo sát hàm số 
	b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm uốn.
	c) Tìm các tiếp tuyến của (C) đi qua điểm 
4. Cho hàm số y = - x4 + 2mx2 – 2m + 1 (Cm)
	a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số.
	b) Khảo sát và vẽ đồ thị (C5) của hàm số ứng với m = 5.
	c) Xác định m sao cho (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có các hoành độ lập thành một cấp số cộng. Xác định cấp số cộng này.
§7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỷ:
Bảng tóm tắt khảo sát hàm số 
1. TXĐ: D = R \ {-d/c}.
2. Đồ thị có một tiệm cận đứng x = - d/c, một tiệm cận ngang y = a/c và tâm đối xứng là giao điểm của hai tiệm cận I(-d/c; a/c).
ad – bc > 0
ad – bc < 0
 y
 O x
 y
 O x
Bảng tóm tắt khảo sát hàm số 
	1. TXĐ: D R\{-b’/a’}.
	2. Đồ thị có một tiệm cận đứng x = - b’/a’, một tiệm cận xiên y = kx + l. Giao điểm I của hai tiệm cận trên là tâm đối xứng của đồ thị.
a > 0
a < 0
Pt y’ = 0
có 2 nghiệm phân biệt
 y
 O X
 y
 X
 O
Pt y’ = 0
vô nghiệm
 y
 O X
 y
 X
 O
Bài tập áp dụng:
1. Khảo sát các hàm số sau:
2. Cho hàm số: 
	a) CMR: với mọi giá trị của m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
	b) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua điểm .
	c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C2) của hàm số ứng với m = 2.
3. Cho hàm số: 
	a) Với giá trị nào của m đồ thị của hàm số đi qua điểm A(-1; 1).
	b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số ứng với m = 1.
4. 	a) Khảo sát hàm số 
	b) Tìm các điểm trên đồ thị (C) của hàm số có tọa độ là những số nguyên.
	c) CMR: không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C) đi qua giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị đó.
	d) Dựa vào đồ thị (C) vẽ các đường cong sau:
5. 	a) Khảo sát hàm số 
	b) Tìm tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
	c) CMR: trên (C) luôn tồn tại những cặp điểm mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau.
	d) Xác định m để đường thẳng (d): y = m cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho OA ^ OB. 
6. 	a) Khảo sát hàm số 
	b) Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số và 
§8. Một số bài toán thường gặp về đồ thị:
Hoành độ giao điểm của hai đường cong (C): y = f(x) và (C’): y = g(x) là nghiệm của phương trình f(x) = g(x).
Do đó, số nghiệm phân biệt của phương trình trên là số giao điểm của hai đường cong.
Hai đường cong nói trên được gọi là tiếp xúc nhau tại điểm M(x0; y0) nếu chúng có tiếp tuyến chung tại điểm M. Khi đó M được gọi là tiếp điểm.
Hai đường cong nói trên tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: . Nghiệm của hệ phương trình (1), (2) là hoành độ của tiếp điểm.
Đường thẳng D: y = px + q là tiếp tuyến của parabol (P): y = ax2 + bx + c khi và chỉ khi phương trình ax2 + bx + c = px + q hay ax2 + (b – p)x + c – q = 0 có nghiệm kép.
Bài tập áp dụng:
1. Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị các hàm số .
2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 + 3x2 – 2 – m = 0.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (2 – x2)2 biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; 4).
4. Viết phương trình các đường thẳng vuông góc với đường thẳng và tiếp xúc với đồ thị của hàm số y = f(x) = - x3 + 3x2 – 4x + 2.
5. 	a) Tìm giao điểm của đồ thị (C) của hàm số y = x3 + 3x2 – 3x – 2 và parabol (P): y = x2 – 4x + 2.
	b) Xét vị trí tương đối của (C) và (P) (tức là xác định mỗi khoảng mà trên đó (C) nằm phía trên hoặc phía dưới (P)).
6. Cho hai hàm số 
	a) CMR: (C) và (C’) chỉ có duy nhất một điểm A chung và đó là tiếp điểm.
	b) Viết phương trình tiếp tuyến chung (d) của (C) và (C’) tại điểm A.
	c) CMR: (C) nằm ở phía dưới (d) và (C’) nằm ở phía trên (d).
7. CMR: các đồ thị của ba hàm số sau cùng tiếp xúc với nhau tại một điểm:
8. Cho parabol (P): y = x2 – 3x – 1 (P) và đường cong (C): .
CMR: (P) và (C) tiếp xúc với nhau. Viết phương tr