Bài tập Đại số tổ hợp - Nguyễn Thành Giáp

o cho a1 + a = b1+ b = = 7
Có tổng hai số tương ứng 777777 ( ví dụ 321465 + 456312)
Có 360 cặp nên S = 360.777777 = 279999720
NX: Nếu không có chữ số 0: 	-Tính số số
-Nếu vai trò như nhau thì chia cặp có tổng bằng t -Tính S = t.số
BT16:
Cho các số 0, 1, 2, 3, 4.Tính tổng các số có 4 chữ số khác nhau lập thành từ các chữ số trên.
	HD
Coi số 0 như các số khác thi có = 120 số.Trong đó mỗi số xuất hiện120 : 5 =24 lần ở 1 hàng
Số 0 không thể đứng ở vị trí thứ nhất nên có 120 – 24 = 96 số
-Tại vị trí hàng nghìn mỗi số trong 4 số 1, 2, 3, 4 xuất hiện 24 lần.
Mà 1 + 2 + 3 + 4 =10 nên tổng của chung là 24.10 = 240
-Tại vị trí hàng trăm số 0 xuất hiện 24 lần nên các số còn lại chỉ xuát hiện 72 lần 
(do 24 số có số 0 đúng đầu đã bị loại),suy ra mỗi số xuất hiện 18 lần có tổng bằng18.10 = 180 
-Tương tự tổng các chữ số hàng chục bằng 180
-Tổng các chữ số hàng đơn vị bằng 180
Vậy S = 240.1000 + 180.100 + 180.10 + 180.1 = 259980.
NX: nếu có số 0: 	+Tính số số
	+ Số lần xuất hiện mỗi chữ số trong 1 vị trí
	+ Tính tổng.
BT17: a.Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4và đôi một khác nhau.
 b.Hãy tính tổng các chữ số tự nhiên nói trên.
HD:
a.Có các số:5;6;7;8;9 suy ra có 5!=120 số
b.Trong 120 số được xét có 24 dạng 
 Tương tự có 24 số hàng đơn vị là 6, 24 số có hang đơn vị là 7
Do đó tổng cac chữ hàng đơn vị là: 24(5+6+7+8+9)=24.35
Tương tự tổng các chữ số hàng chục, trăm, nghìn, vạn đều là 24.35
Suy ra S = 24.35+24.35.10+24.35.102+24.35.103+24.35.104 = 9333240
IV.Nhị thức Niutơn
 	(a + b)n = 
	hay (a + b)n = 
Chú ý: 1.Số số hạng là n + 1.
	 2.Tổng số mũ bằng n.
	 3. hệ số cách đều hai đầu bằng nhau.
	 4.Viết tường minh.
Đặc biệt a = 1; b = 1 thì 2n = 
	 a = 1; b = -1 thì 0 = 
BT18 (BQP D 2002).
Đa thức P(x) = (1 + x + x2)10 được viết dưới dạng: P(x) = a0+ a1x +  +a20x20.
Tìm hệ số a4 của x4.
	HD
P(x) = [(1 + x) + x2]10 = 
Suy ra a4= = 210 + 360 + 45 = 625.
BT19: Xác định hệ số a4 của x4 trong khai triển (1 + 2x + 3x2)10	ĐS: a4 = 8085.
BT20: Trong khai triển của P = 	thành đa thức a0+a1x++a9x9+a10x10 . 
Hãy tìm hệ số ak lớn nhất
	HD
P = (1+2x)10. ak-1 ak 
 k 2(11-k) k 
Vậy hệ số a7 là lớn nhất a7=.
BT21.Tìm hệ số lớn nhất của đa thức trong khai triển 
	HD
 = = 
Gọi ak là hệ số của xk trong khai triển thì ak = .
Ta xét sự tăng giảm của dãy ak: ak-1 < ak < < 
k < thì a0 < a1 < a2 < <a10
Đảo dấu BĐT trên được ak-1 > ak k > nên a10 > a11>>a15
Vậy hệ số phải tìm là a10 = = 3003	 
BT22: Tìm hệ số của x3 trong khai triển P = (1 + x + x2)6
	HD
P = [1 + (x + x2)]6 = 
Hệ số của x3 là 
BT23: CM 
	HD
 (1+x)n = thay x = 4 có đpcm
BT24.(BK.99) Tính tổng S = - 2 +3 - 4 ++(-1)n-1n
	HD
 (1 + x)n = +x + x2 + x3 ++xn
 Đạo hàm hai vế được n(1 + x)n-1 =+ 2x + 3x2 ++nxn-1
 cho x = - 1 thi ta có S = 0
BT25.(KT.99) CMR với mọi nN* ta có 
 + + + ++=
	HD
 (1 + x)n = +x + x2 + x3 ++xn
Lấy tích phân hai vế được: 
 = ( +x + x2 + x3 ++xn)dx
 =(x +x2+ x3 + x4++xn+1) 
 = ++ + ++ 
BT26.(ĐH.B 03). Tính tổng S = + + + +
	HD
 Ta có (1 + x)n = +x + x2 + x3 ++xn
Lấy tích phân hai vế được: 
 = ( +x + x2 + x3 ++xn)dx
 =(x +x2+ x3 + x4++xn+1)
 nên S = 
BT27. a. Tính tích phân I = 
 b.Rút gọn S = -+ -  + - 
 	HD
 a. Đặt t= 1-x thì I = 
 b.Ta có x(1-x)19 = x( -x+ x2-  + x18-x19)
 =x -x2+ x3-  + x19-x20
 nên = (x2-x3+ x4-  + x20-x21) =S Vậy S = 
BT28.Tìm hệ số của x25y10 trong khai triển (x3 + xy)15
	HD
 (x3 + xy)15 = = 
 nên k = 5 thoả mãn. Vậy hệ số = 3003
BT29. (SP.A.2000). Trong khai triển . Hãy tìm số hạng không phụ thuộc x biết + + = 79
 HD
Giả thiết suy ra 1 + n + = 79 nên n= -13 (loại); n = 12
 Ta có = =
 Số không phụ thuộc x khi = 0 nên k =7 số đó là 
BT30.Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển (x2 + 1)n bằng 1024 tìm hệ số của x12 trong khai triển đó
	HD
 Ta có (x2 + 1)n = 
Thay x= 1 được tổng các hệ số là = 2n = 1024 nên n = 10
ax12 ứng với k = 6 nên a = 
BT31.
Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển biết (x > 0)
	HD
Từ giả thiết ta có - = 7(n+ 3) (n+4)(n+2) – (n+2)(n+1) = 42 n = 12
 = với 0 k 12
 k =8 
BT32.(ĐH.A.02). Cho khai triển nhị thức
=++++ (n là sô nguyên dương).
Biết rằng trong khai triển đó 5 và số hạng thứ tư bằng 20 n, tìm n và x
	HD
 Từ 5 ta có n 3 và = n = - 4 (loại). n = 7
 Với n = 7 có = 140 35.22x-2.2-x = 140 2x-2 = 4 x = 4
BT33. Giả sử n là số nguyên dương và (1 + x)n =a0 +a1x + a2 x2 + + akxk ++anxn
biết rằng tồn tại số k nguyên ( 1 k n-1) sao cho == (1).
Hãy tính n.
	HD (1) ==
 ==
2(k - 1)!(n – k + 1)! = 9k!(n - k)! = 24(k + 1)!(n - k - 1)! ( nghịch đảo)
2(n – k + 1)(n –k) = 9k(n - k) = 24(k + 1)k 
 để tồn tại k thì 3n – 8 = 2n + 2 n=10
BT34.Cho khai triển (x +1)10(x + 2) = x11 +a1x10 + a2x9 ++a11. Tìm hệ số a5
	HD
Ta có (x +1)10 = x10 + x9+ x8 + x7 + x6 ++x +1
Nên (x +1)10(x + 2) = x11 + x10+ x9 + x8 + x7 ++x2 +x +
 +2 (x10 + x9+ x8 + x7 + x6 ++x +1)
= x11 +(+2)x10+(+2)x9 +(+2)x8++(+2)x2 +(+2)x+2
nên a5 = +2) =672
BT35.Tính tổng S = + + + ++. 
 Biết n thoả mãn + + = 79 (1)
	HD
Do bài 20 ta có S = . Do (1) thì n =12 nên S = 
BT36. Chứng minh đẳng thức sau
n.4n-1- (n-1)4n-2 +(n-2).4n-3 - +(-1)n-1=+ 4++n2n-1
	HD
Ta có (2x – 1)n = (2x)n - (2x)n-1 + (2x)n-2 -  +(-1)n
 Lấy đạo hàm hai vế được 
2n(2x – 1)n-1=2n(2x)n-1–2(n-1)(2x)n-2 +2(n-2)(2x)n-3 -+(-1)n-12
Cho x = 2 được
 n.3n-1 = n.4n-1- (n-1)4n-2 +(n-2).4n-3 - +(-1)n-1 (1) 
 	Ta lại có (1+ x)n = + x+ x2++xn
Lấy đạo hàm hai vế ta được n(x + 1)n-1= + 2x++nxn - 1
Cho x =2 thì n.3n-1 =+ 4++n2n-1 (2) 
Từ (1) và hai có ĐPCM
BT37.Tìm số số hạng không chứa x trong khai triển KQ = 924
BT38.Đặt (x-2)100 = a0 + a1x + a2x2 ++a100x100
	a.Tính hệ số a97
	b.Tính tổng S = a0 + a1 + a2 ++a100
	c.Tính tổng M = a1 + 2a2 ++100a100
	HD
f(x) = x100 - 2x99 + 22x98 – 23x97 + +2100
nên a97 = -23 = -1293600
S = a0 + a1 + a2 ++a100 = f(1) = (-1)100 = 1
f’(x) =100(x-2)99 = a1 + 2a2 x++100a100x99 nên M =f’(1) = 100(-1)99 = -100
BT39.(ĐH.A.04) Tìm hệ số của x8 trong khai triển: [1 + x2(1- x)]8
	HD
[1 + x2(1- x)]8 = +x2(1-x) + x4(1-x)2 + x6(1-x)3 +x8(1-x)4 +
 +x10(1-x)5 +x12(1-x)6 + x14(1-x)7 + x16(1-x)8 
 Bậc của x trong 3 số hạng đầu 8. Vậy x8 chỉ có trong số hạng thứ 4 và thứ 5 với hệ số a8 = . + . = 168 +70 =238
BT40.Cho P(x) = (16x-15)2003 khai triển dạng: P(x) = a0 + a1x + a2x2 ++a2003x2003
tính S = a0 + a1 + a2 ++a2003
	HD
Ta có P(x) = = 
Tổng các hệ số trong khai triển đa thức làS ==(16-15)2003 =1
BT41.Với n là số nguyên dương a3n – 3 là hệ số của x3n-3 trong khai triển thành đa thức của (x2 + 1)n(x + 2)n. Tìm n để a3n-3 = 26n.
	HD
Ta có (x2 + 1)n = x2n +x2n- 2 + x2n- 4 ++.
	(x + 2)n = xn +2xn- 1 + 22xn- 2 +23xn- 3 ++2n.
Dễ dàng kiểm tra n = 1, n = 2 không thoả mãn. Với n > 2 thì 
 x3n-3 = x2n.xn-3 = x2n-2.xn-1 Nên a3n-3 = 23 + 2. 
Vậy a3n-3 = 26n n = 5, n = 0 (loại), n = -7/2 (loại)
Cách 2. Ta có (x2 + 1)n(x + 2)n = x3n
 = x3n[] = x3n[]
trong khai triển trên luỹ thừa của x là 3n – 3 khi -2i – k = -3 hay 2i + k = 3.Có 
 i = 0, k=3 hoặc i = 1, k = 1 thoả mãn nên hệ số của x3n – 3 là 
 a3n – 3 = 23 + 2. 
BT42.Gọi n là số nguyên dương bất kì
 a.Tính tích phân J = 
 b.Chứng minh rằng: - + - ++=
BT43.Chứng minh rằng với 3 k n ta có + 3+ 3+=
BT44. Chứng minh rằng .. ( với 2 n )
	HD
Do = 1 = 1 nên ta có VT = . 
áp dụng khai triển (a + b)n với a = 1, b = 1 thì ++++ = 2n
nên +++ = 2n – 2 nên có ĐPCM
 Dấu “ = ” xảy ra khi === tức n = 2 hoặc n = 3
BT45. Chứng minh:
	HD
Ta có
(1+i)2n = + 
	+i()
Mặt khác (1+i)2n = 
Từ đó có điều phải chứng minh
BT46.	Đặt (x + 2)100 = a0 + a1x + a2x2 + +a100x100
a.Tính hệ số a97
b.Tính tổng S = a0 + a1 + a2 + +a100
c.Tính tổng M = a1 + 2a2 + 3a3 ++100a100
	HD
f(x) = x100 - 2x99 + 22x98 – 23x97 ++2100
 nên a97 = – 23 = - 1293600
S = a0 + a1 + a2 + +a100 = f(1) = (-1)100 = 1
f’(x) = 100(x – 2)99 = a1 + 2a2x + 3a3x2 ++100a100x99
 nên M = f’(1) = 100(-1)99 = -100
V.Một số dạng khác
Loại I. Chọn phần tử từ các tập hợp.
BT47. Tổ 1 có 10 người, tổ 2 có 9 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một nhóm gồm 8 người sao cho mỗi tổ trên có ít nhất 2 người?
Lời giải
	S = 
BT48.Người ta sử dụng 3 loại sách gồm: 8 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách lý, 5 cuốn sách hoá. Mỗi loại đều gồm các cuốn sách đôi một khác loại nhau. Có bao nhiêu cách chọn 7 cuốn sách trong số sách trên để làm giảI thưởng sao cho mỗi loại có ít nhất một cuốn?
Lời giải
Số cách chọn 7 trong số 19 cuốn sách một cách bất kì là 
Các cách chọn không đủ cả 3 loại là:
+ Số cách chọn 7 trong 11 cuốn sách lý và hoá là 
+ Số cách chọn 7 trong 13 cuốn sách Toán và hoá là 
+ Số cách chọn 7 trong 14 cuốn sách lý và Toán là 
+ Số cách chọn 7 trong 8 cuốn sách Toán là (không có cả Lý và Hoá)
Vì mỗi cách chọn không có sách lí, hoá thuộc cả hai phép chọn: Không có Lý và không có Hoá nên số cách phải tìm là: - - += 44918
Chú ý: Khi tính theo phương pháp gián tiếp, mỗi số hạng ứng với trường hợp 
không thoả mãn được đặt sau dấu trừ, số hạng đồng thời thuộc hai trường hợp 
không thoả mãn đặt sau dấu cộng.
BT49. (ĐH. B. 02).
 	Cho đa giác đều A1A2A2n (n 2) nội tiếp đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1 , A2 ,,A2nnhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1 , A2 ,,A2n. Tìm n.
	HD
*Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm là 
*Đa giác đều A1A2A2n có n đường chéo đi qua O ( các đường chéo còn lai không đi qua O),cứ mỗi cặp đường chéo này tạo nên một hình chữ nhật nên có hình chữ nhật.
 Giả thiết cho = 20 n=8
BT50. Một trường có 50 học sinh đạt danh hiêụ cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Cần chọn 1 nhóm 3 em đi dự đại hội cháu ngoan Bác Hồ sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào. Hỏi có bao nhiêu cách?
 	HD
 Số cách chọn 3 HS từ 50 HS là : ==50.49.8 cách
Các nhóm có chứa cặp anh em sinh đôi là các nhóm gồm 1 cặp anh em sinh
đôi và 1 HS khác được lấy từ 48 HS còn lại nên có 4.48 cách
 Vậy có 50.49.8 - 4.48 = 19408 cách.
BT51.Trong 1 buổi liên hoan có 6 cặp nam nữ trong đó 3 cặp vợ chồng v