Bài tập Đại số tổ hợp

Vd:Một nhóm công nhân gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành một tổ công tác sao cho phải có 1 tổ trưởng nam, 1 tổ phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác.
Giải
+ Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 4 nam.
- Bước 1: chọn 1 trong 5 nữ có 5 cách.
- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có cách.
- Bước 3: chọn 2 trong 13 nam còn lại có cách.
Suy ra có cách chọn cho trường hợp 1.
+ Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 3 nam.
- Bước 1: chọn 2 trong 5 nữ có cách.
- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có cách.
- Bước 3: chọn 1 trong 13 nam còn lại có 13 cách.
Suy ra có cách chọn cho trường hợp 2.
+ Trường hợp 3: chọn 3 nữ và 2 nam.
- Bước 1: chọn 3 trong 5 nữ có cách.
- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có cách.
Suy ra có cách chọn cho trường hợp 3.
Vậy có cách.
Cách khác:
+ Bước 1: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có cách.
+ Bước 2: chọn 3 tổ viên, trong đó có nữ.
- Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 2 nam có cách.
- Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 1 nam có cách.
- Trường hợp 3: chọn 3 nữ có cách.
Vậy có cách.
Vd :Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó người ta chọn ra 10 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra.
Giải
+ Loại 1: chọn 10 câu tùy ý trong 20 câu có cách.
+ Loại 2: chọn 10 câu có không quá 2 trong 3 loại dễ, trung bình và khó.
- Trường hợp 1: chọn 10 câu dễ và trung bình trong 16 câu có cách.
- Trường hợp 2: chọn 10 câu dễ và khó trong 13 câu có cách.
- Trường hợp 3: chọn 10 câu trung bình và khó trong 11 câu có cách.
Vậy có đề kiểm tra.
Vd :Hội đồng quản trị của một công ty gồm 12 người, trong đó có 5 nữ. Từ hội đồng quản trị đó người ta bầu ra 1 chủ tịch hội đồng quản trị, 1 phó chủ tịch hội đồng quản trị và 2 ủy viên. Hỏi có mấy cách bầu sao cho trong 4 người được bầu phải có nữ.
Giải
+ Loại 1: bầu 4 người tùy ý (không phân biệt nam, nữ).
- Bước 1: bầu chủ tịch và phó chủ tịch có cách.
- Bước 2: bầu 2 ủy viên có cách.
Suy ra có cách bầu loại 1.
+ Loại 2: bầu 4 người toàn nam.
- Bước 1: bầu chủ tịch và phó chủ tịch có cách.
- Bước 2: bầu 2 ủy viên có cách.
Suy ra có cách bầu loại 2.
Vậy có cách.
.Vd : Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 em khối 12, 6 em khối 11 và 5 em khối 10. Tính số cách chọn 6 em trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 em được chọn.
Giai
+ Chọn tùy ý 6 em trong đội có cách.
+ Chọn 6 em trong đội thuộc khối 12 hoặc khối 11 có cách.
+ Chọn 6 em trong đội thuộc khối 12 và khối 10 có cách.
+ Chọn 6 em trong đội thuộc khối 11 và khối 10 có cách.
Vậy có 18564 – 1716 – 917 – 461 = 15454 cách chọn.
Vd:Từ một nhóm 30 học sinh gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B và 5 học sinh khối C chọn ra 15 học sinh sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A và có đúng 2 học sinh khối C. Tính số cách chọn.
Giải
+ Loại 1: Chọn 2 học sinh khối C, 13 học sinh khối B hoặc khối A có cách.
+ Loại 2: Chọn 2 học sinh khối C, 13 học sinh khối B và khối A không thỏa yêu cầu.
- Trường hợp 1: Chọn 2 học sinh khối C, 10 học sinh khối B và 3 học sinh khối A có cách.
- Trường hợp 2: Chọn 2 học sinh khối C, 9 học sinh khối B và 4 học sinh khối A có cách.
Vậy có cách.
Bài tập tự luyện:
1. Một học sinh có 4 quyển sách toán khác nhau và 3 quyển sách văn khác nhau . Cần sắp xếp 7 quyển sách trên thành một dãy theo hàng ngang trên một tủ sách .
a, Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp ?
b, Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp hai quyển sách kề nhau phải khác thể loại ?
2. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 cần lập ra các số tự nhiên gồm 4 chữ số .
a, Hỏi có bao nhiêu số chia hết cho 5?
b, Hỏi có bao nhiêu số mà trong đó các chữ số đều khác nhau và nhất thiết phải có chữ số 1 ?
3.Cho tập: E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Hỏi:
a) Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số khác nhau?	c) Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau?
b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số và 3 số đó đều lẻ và khác nhau?
4.Một hộp bi có 7 viên bi có màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra:
a) 3 viên bi	b) 4 viên bi	c) 5 viên bi	d) 6 viên bi.
5.Một lớp học có 14 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra:
a) Sáu học sinh trong lớp	b) 4 Nam, 2 Nữ	c) 5 học sinh và ít nhất phải có 1 học sinh Nam
6.Một câu lạc bộ có 25 thành viên. 
a) Có bao nhiêu cách chọn 4 thành viên vào uỷ ban thường trực?
b) Có bao nhiêu cách chọn chủ tich, phó chủ tịch , thư kí và thủ quỹ?
7.Từ các chữ số 1, 2, 5, 7, 8 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 276?
8.Một lớp có 45 học sinh trong đó có 30 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm chọn 3 người đi lao động. 
.Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra:
a) Ba học sinh bất kỳ	b) 1 nam, 2 nữ	c) Ba học sinh và ít nhất phải có 1 học sinh nam
9.Người ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 như sau: Trong mỗi số được viết có một chữ số được xuất hiện 2 lần, còn các số còn lại được xuất hiện 1 lần. Hỏi có bao nhiêu số như vậy?
10.Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong đó hai chữ số kề nhau phải khác nhau? ĐS: 59049 số
11.Từ các chữ số1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ta lập tất cả các số gồm 9 chữ số khác nhau
a) Có bao nhiêu số được thành lập?	b) có bao nhiêu số chia hết cho 5?	C) Có bao nhiêu số chẵn
12.Từ các chữ số 1, 3, 4, 7 người ta thành lập số n. Hỏi có bao nhiêu số n:
a) n gồm 3 chữ số? 	b) n gồm 3 chữ số khác nhau	c) n là một số thuộc khoảng (100, 400)
13.Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau, người ta chọn ra 3 tem thư và 3 bì thư để dán 3 tem thư đó lên 3 bì thư đã chọn. Biết rằng mỗi bì thư chỉ dán một tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách? C35.C63.3!
14. Hỏi từ 9 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau trong đó có mặt chữ số 1?
15.Một đội văn nghệ gồm 10 học sinh nữ và 10 học sinh nam. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho: 
a) Có đúng 2 nam trong 5 người đó?	b) Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ?
c) có ít nhất 2 nam và ít nhất 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
16.Một lớp học có 40 học sinh, cần cử ra một ban cán sự lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 3 uỷ viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban cán sự lớp?
17.Người ta muốn tổ chức một thí nghiệm nông nghiệp trên ba yếu tố: giống lúa (có 3 loại giống), phân bón (có 2 loại phân bón) và chế độ tưới nước (có 3 chế độ). Có bao nhiêu cách bố trí thí nghiệm?
18.Một tổ sinh viên có 20 em, trong đó có 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7 em chỉ biết tiếng Pháp, 5 em chỉ biết tiếng Đức. Cần lập một nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp, 2 em biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm?
19.Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, ta có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số và trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, còn mỗi số khác nhau có mặt đúng một lần.	ĐS: 5880 số
20.
a) Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1?
b) Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số, trong đó chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần?