Bài tập Đại số 10 - Chương VI: Góc – Cung lượng giác công thức lượng giác

- - +
 k) x x
x
2
2
2
1 sin 1 tan
1 sin
+
= +
-
Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau: 
 a) a ba b
a b
tan tantan .tan
cot cot
+
=
+
 b) a a a
a a a a a
2
2
sin cos 1 cot
sin cos cos sin 1 cot
+
- =
- - -
 c) a a a a
a a
2 2sin cos1 sin .cos
1 cot 1 tan
- - =
+ +
 d) a a a a a
a a a
2
2
sin sin cos sin cos
sin cos tan 1
+
- = +
- -
 e) a a a
a a
2
2
1 cos (1 cos )1 2 cot
sin sin
é ù+ -
- =ê ú
ë û
 f) a a a
a a a a
2 2 4
2 2 2 2
tan 1 cot 1 tan.
1 tan cot tan cot
+ +
=
+ +
 g) a a a
a a
2
21 sin 1 sin 4 tan
1 sin 1 sin
æ ö+ -
- =ç ÷
- +è ø
 h) a b a b
a b a b
2 2 2 2
2 2 2 2
tan tan sin sin
tan .tan sin .sin
- -
= 
 i) a a a
a a
2 2
6
2 2
sin tan tan
cos cot
-
=
-
 k) a a a a
a aa a
3 3
3 3
2 2
tan 1 cot tan cot
sin .cossin cos
- + = + 
Bài 3. Cho x a vôùi a b
a b a b
4 4sin cos 1 , , 0.+ = >
+
 Chứng minh: x x
a b a b
8 8
3 3 3
sin cos 1
( )
+ =
+
. 
Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau: 
 a) x x x2 2 2(1 sin ) cot 1 cot- + - b) x x x x2 2(tan cot ) (tan cot )+ - - 
 c) x x x
x x x
2 2 2
2 2 2
cos cos .cot
sin sin .tan
+
+
 d) x a y a x a y a2 2( .sin .cos ) ( .cos .sin )- + + 
 e) x x
a x
2 2
2 2
sin tan
cos cot
-
-
 f) x x x
x x x
2 2 4
2 2 4
sin cos cos
cos sin sin
- +
- +
 g) x x x x2 2sin (1 cot ) cos (1 tan )+ + + h) x x x
x x
1 cos 1 cos ; (0, )
1 cos 1 cos
p
+ -
- Î
- +
 i) x x x
x x
1 sin 1 sin ; ;
1 sin 1 sin 2 2
p pæ ö+ -
+ Î -ç ÷
- + è ø
 k) x x x x2 2 3cos tan sin ; ;
2 2
p pæ ö
- - Îç ÷
è ø
Bài 5. Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x: 
 a) x x x x4 4 6 63(sin cos ) 2(sin cos )+ - + ĐS: 1 
 b) x x x x x8 8 6 6 43(sin cos ) 4(cos 2sin ) 6sin- + - + ĐS: 1 
 c) x x x x4 4 2 2(sin cos 1)(tan cot 2)+ - + + ĐS: –2 
 d) x x x x x2 2 2 2 2cos .cot 3cos cot 2sin+ - + ĐS: 2 
 e) x x
x x x
4 4
6 6 4
sin 3cos 1
sin cos 3cos 1
+ -
+ + -
 ĐS: 2
3
Lượng giác Trần Sĩ Tùng 
Trang 64 
 f) x x x x
x x
2 2 2 2
2 2
tan cos cot sin
sin cos
- -
+ ĐS: 2 
 g) x x
x x
6 6
4 4
sin cos 1
sin cos 1
+ -
+ -
 ĐS: 3
2
Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh: 
 a) B A Csin sin( )= + b) A B Ccos( ) cos+ = - 
 c) A B Csin cos
2 2
+
= d) B C A Ccos( ) cos( 2 )- = - + 
 e) A B C Ccos( ) cos2+ - = - f) A B C A3cos sin 2
2
- + +
= - 
 g) A B C C3sin cos
2
+ +
= h) A B C C2 3tan cot
2 2
+ -
= 
Bài 7. 
 a) 
VẤN ĐỀ 5: Công thức cộng 
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a+ = + 
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a- = - 
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b+ = - 
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b- = + 
 tan tantan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
+
+ =
-
tan tantan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
-
- =
+
 Hệ quả: 1 tan 1 tantan , tan
4 1 tan 4 1 tan
p a p a
a a
a a
æ ö æ ö+ -
+ = - =ç ÷ ç ÷- +è ø è ø
Bài 1. Tính các giá trị lượng giác của các góc sau: 
 a) 0 0 015 ; 75 ; 105 b) 5 7; ;
12 12 12
p p p 
Bài 2. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết: 
 a) khi 3tan sin ,
3 5 2
p p
a a a p
æ ö
+ = < <ç ÷
è ø
 ĐS: 38 25 3
11
- 
 b) khi 12 3cos sin , 2
3 13 2
p p
a a a p
æ ö
- = - < <ç ÷
è ø
 ĐS: (5 12 3)
26
- 
 c) a b a b khi a b1 1cos( ).cos( ) cos , cos
3 4
+ - = = ĐS: 119
144
- 
 d) a b a b a bsin( ), cos( ), tan( )- + + khi a b8 5sin , tan
17 12
= = và a, b là các góc nhọn. 
 ĐS: 21 140 21; ; .
221 221 220
 e) a b a btan tan , tan , tan+ khi a b a b0 , ,
2 4
p p
< < + = và a btan .tan 3 2 2= - . Từ đó 
Trần Sĩ Tùng Lượng giác 
Trang 65 
suy ra a, b . ĐS: 2 2 2- ; a b a btan tan 2 1,
8
p
= = - = = 
Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau: 
 a) A = o o o2 2 2sin 20 sin 100 sin 140+ + ĐS: 3
2
 b) B = o o o2 2cos 10 cos110 cos 130+ + ĐS: 3
2
 c) C = o o o o o otan 20 .tan80 tan 80 .tan140 tan140 .tan 20+ + ĐS: –3 
 d) D = o o o o o otan10 . tan 70 tan 70 .tan130 tan130 .tan190+ + ĐS: –3 
 e) E = 
o o o
o o
cot 225 cot 79 .cot 71
cot 259 cot 251
-
+
 ĐS: 3 
 f) F = o o2 2cos 75 sin 75- ĐS: 3
2
- 
 g) G = 
o
0
1 tan15
1 tan15
-
+
 ĐS: 3
3
 h) H = 0 0tan15 cot15+ ĐS: 4 
 HD: 0 0 0 0 0 040 60 20 ; 80 60 20= - = + ; 0 0 0 0 0 050 60 10 ; 70 60 10= - = + 
Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau: 
 a) x y x y x y2 2sin( ).sin( ) sin sin+ - = - 
 b) x yx y
x y x y
2sin( )tan tan
cos( ) cos( )
+
+ =
+ + -
 c) x x x x x x2 2tan . tan tan .tan tan .tan 3
3 3 3 3
p p p pæ ö æ ö æ ö æ ö
+ + + + + + = -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø
 d) x x x x 3 2cos .cos cos .cos (1 3)
3 4 6 4 4
p p p pæ ö æ ö æ ö æ ö
- + + + + = -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø
 e) o o o o(cos70 cos50 )(cos230 cos290 )+ + o o o o(cos 40 cos160 )(cos320 cos380 ) 0+ + + = 
 f) x xx x
x x
2 2
2 2
tan 2 tantan .tan3
1 tan 2 .tan
-
=
-
Bài 5. Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước: 
 a) a a b khi b a cos a b2 tan tan( ) sin sin . ( )= + = + 
 b) a a b khi b a b2 tan tan( ) 3sin sin(2 )= + = + 
 c) a b khi a b a b1tan .tan cos( ) 2 cos( )
3
= - + = - 
 d) ka b b khi a b k a
k
1tan( ). tan cos( 2 ) cos
1
-
+ = + =
+
 HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a 
 c) Khai triển giả thiết d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b 
Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh: 
 a) C A B B Asin sin .cos sin .cos= + 
 b) C A B A B
A B
0sin tan tan ( , 90 )
cos .cos
= + ¹ 
 c) A B C A B C A B C 0tan tan tan tan .tan . tan ( , , 90 )+ + = ¹ 
 d) A B B C C Acot .cot cot .cot cot .cot 1+ + = 
Lượng giác Trần Sĩ Tùng 
Trang 66 
 e) A B B C C Atan .tan tan .tan tan .tan 1
2 2 2 2 2 2
+ + = 
 f) A B C A B Ccot cot cot cot .cot .cot
2 2 2 2 2 2
+ + = 
 g) oC BB C A
B A C A
cos coscot cot ( 90 )
sin .cos sin .cos
+ = + ¹ 
 h) A B C A B C A B C A B Ccos .cos .cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
= + + 
 i) A B C A B C2 2 2sin sin sin 1 2sin sin sin
2 2 2 2 2 2
+ + = + 
 HD: a, b, c, d) Sử dụng (A + B) + C = 1800 e, f) Sử dụng A B C 090
2 2 2
æ ö
+ + =ç ÷
è ø
 g) VT = VP = tanA h) Khai triển A B Ccos
2 2 2
æ ö
+ +ç ÷
è ø
 i) Khai triển A B Csin
2 2 2
æ ö
+ +ç ÷
è ø
. 
 Chú ý: Từ B C Acos sin
2 2 2
æ ö
+ =ç ÷
è ø
 Þ B C A B Ccos .cos sin sin .sin
2 2 2 2 2
= + 
 Þ A B C A A B C2sin .cos .cos sin sin .sin .sin
2 2 2 2 2 2 2
= + 
Bài 7. Cho tam giác A, B, C. Chứng minh: 
 a) A B C ABC nhoïntan tan tan 3 3, .D+ + ³ " 
 b) A B C ABC nhoïn2 2 2tan tan tan 9, .D+ + ³ " 
 c) A B C ABC nhoïn6 6 6tan tan tan 81, .D+ + ³ " 
 d) A B C2 2 2tan tan tan 1
2 2 2
+ + ³ 
 e) A B Ctan tan tan 3
2 2 2
+ + ³ 
 HD: a, b, c) Sử dụng A B C A B Ctan tan tan tan .tan .tan+ + = và BĐT Cô–si 
 d) Sử dụng a b c ab bc ca2 2 2+ + ³ + + 
 và A B B C C Atan .tan tan .tan tan .tan 1
2 2 2 2 2 2
+ + = 
 e) Khai triển A B C
2
tan tan tan
2 2 2
æ ö
+ +ç ÷
è ø
 và sử dụng câu c) 
Bài 8. 
 a) 
Trần Sĩ Tùng Lượng giác 
Trang 67 
 VẤN ĐỀ 6: Công thức nhân 
 Công thức nhân đôi 
 sin 2 2sin .cosa a a= 
 2 2 2 2cos2 cos sin 2 cos 1 1 2sina a a a a= - = - = - 
2
2
2 tan cot 1tan 2 ; cot 2
2 cot1 tan
a a
a a
aa
-
= =
-
Bài 1. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết: 
 a) khi 5 3cos2 , sin 2 , tan 2 cos ,
13 2
p
a a a a p a= - < < 
 b) khicos2 , sin 2 , tan 2 tan 2a a a a = 
 c) khi 4 3sin , cos sin 2 ,
5 2 2
p p
a a a a= - < < 
 d) khi 7cos2 , sin 2 , tan 2 tan
8
a a a a = 
Bài 2. Tính giá trị của biểu thức sau: 
 a) o o o oA cos20 .cos 40 .cos60 .cos80= ĐS: 1
16
 b) o o oB sin10 .sin 50 .sin 70= ĐS: 1
8
 c) C 4 5cos .cos .cos
7 7 7
p p p
= ĐS: 1
8
 d) D 0 0 0cos10 .cos50 .cos70= ĐS: 3
8
 e) o o o oE sin 6 .sin 42 .sin 66 .sin 78= ĐS: 1
16
 f) G 2 4 8 16 32cos .cos .cos .cos .cos
31 31 31 31 31
p p p p p
= ĐS: 1
32
 h) o o o o oH sin 5 .sin15 .sin 25 .... sin 75 .sin 85= ĐS: 2
512
 i) I 0 0 0 0 0cos10 .cos20 .cos30 ...cos70 .cos80= ĐS: 3
256
 k) K 96 3 sin .cos .cos cos cos
48 48 24 12 6
p p p p p
= ĐS: 9 
 l) L 2 3 4 5 6 7cos .cos .cos .cos .cos .cos .cos
15 15 15 15 15 15 15
p p p p p p p
= ĐS: 1
128
Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*) 
2
2
2
1 cos2sin
2
1 cos2cos
2
1 cos2tan
1 cos2
a
a
a
a
a
a
a
-
=
+
=
-
=
+
3
3
3
2
sin 3 3sin 4sin
cos3 4 cos 3cos
3tan tantan 3
1 3 tan
a a a
a a a
a aa
a
= -
= -
-
=
-
Lượng giác Trần Sĩ Tùng 
Trang 68 
 m) M sin .cos .cos
16 16 8
p p p
= ĐS: 2
8
Bài 3. Chứng minh rằng: 
 a) 
n n
n
a a a a a
P
a2 3
sincos cos cos ... cos
2 2 2 2 2 .sin
2
= = 
 b) 
n
n
Q
n n n
2 1cos .cos ... cos
2 1 2 1 2 1 2
p p p
= =
+ + +
 c) nR
n n n
2 4 2 1cos .cos ... cos
2 1 2 1 2 1 2
p p p
= = -
+ + +
Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau: 
 a) x x4 4 3 1sin cos cos 4
4 4
+ = + b) x x x6 6 5 3sin cos cos 4
8 8
+ = + 
 c) x x x x x3 3 1sin .cos cos .sin sin 4
4
- = d) x x x x6 6 21sin cos cos (sin 4)
2 2 4
- = - 
 e) xx 21 sin 2sin
4 2
pæ ö
- = -ç ÷
è ø
 f) x
x x
2
2
1 sin 1
2 cot .cos
4 4
p p
-
=
æ ö æ ö
+ -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 g) 
xx
x
1 cos
2tan . 1
4 2
sin
2
p
p
p
æ ö
+ +ç ÷æ ö è ø+ =ç ÷
è ø æ ö
+ç ÷
è ø
 h) xx
x
1 sin 2tan
4 cos2
pæ ö +
+ =ç ÷
è ø
 i) x x
x
cos cot
1 sin 4 2
pæ ö
= -ç ÷
- è ø
 k) x xx x
x x
2 2
2 2
tan 2 tantan . tan3
1 tan .tan 2
-
=
-
 l) x x xtan cot 2 cot= - m) x x
x
2cot tan
sin 2
+ = 
 n) xx vôùi x1 1 1 1 1 1 cos cos , 0 .
2 2 2 2 2 2 8 2
p
+ + + = < < 
Bài 5. 
 a) 
 VẤN ĐỀ 7: Công thức biến đổi 
 1. Công thức biến đổi tổng thành tích 
 cos cos 2 cos .cos
2 2
a b a b
a b
+ -
+ = 
 cos cos 2sin .sin
2 2
a b a b
a b
+ -
- = -
sin sin 2sin .cos
2 2
a b a b
a b
+ -
+ =
sin sin 2 cos .sin
2 2
a b a b
a b
+ -
- = 
 sin( )tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
+
+ = 
 sin( )tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
-
- = 
 sin( )cot cot
sin .sin
a b
a b
a b
+
+ = 
 b aa b
a b
sin( )cot cot
sin .sin
-
- = 
Trần Sĩ Tùng Lượng giác 
Trang 69 
 2. Công thức biến đổi tích thành t