Bài tập Đại số 10 - Chương IV: Bất đẳng thức và bất phương trình

b bc caa b c2 2 2
1 1 1 7æ ö
+ + +ç ÷+ + + + + ++ +è ø
 ³ 
ab bc caa b c 2
9 7 9 7 30
11( )
3
+ ³ + =
+ ++ +
 Chú ý: ab bc ca a b c 21 1( )
3 3
+ + £ + + = . 
 e) Áp dụng (1): 
A B C A B C
1 1 1 9
2 cos2 2 cos2 2 cos2 6 cos2 cos2 cos2
+ + ³
+ + - + + -
Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng 
Trang 38 
 ³ 9 6
3 56
2
=
+
. 
 Chú ý: A B C 3cos2 cos2 cos2
2
+ - £ . 
Bài 5. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau: 
 a) xy x
x
18 ; 0
2
= + > . b) xy x
x
2 ; 1
2 1
= + >
-
. 
 c) xy x
x
3 1 ; 1
2 1
= + > -
+
. d) xy x
x
5 1;
3 2 1 2
= + >
-
 e) xy x
x x
5 ; 0 1
1
= + < <
-
 f) xy x
x
3
2
1; 0+= > 
 g) x xy x
x
2 4 4 ; 0+ += > h) y x x
x
2
3
2 ; 0= + > 
 HD: a) Miny = 6 khi x = 6 b) Miny = 3
2
 khi x = 3 
 c) Miny = 36
2
- khi x = 6 1
3
- d) Miny = 30 1
3
+ khi x = 30 1
2
+ 
 e) Miny = 2 5 5+ khi x 5 5
4
-
= f) Miny = 
3
3
4
 khi x = 3 2 
 g) Miny = 8 khi x = 2 h) Miny = 
5
5
27
 khi x = 5 3 
Bài 6. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN của các biểu thức sau: 
 a) y x x x( 3)(5 ); 3 5= + - - £ £ b) y x x x(6 ); 0 6= - £ £ 
 c) y x x x 5( 3)(5 2 ); 3
2
= + - - £ £ d) y x x x5(2 5)(5 ); 5
2
= + - - £ £ 
 e) y x x x1 5(6 3)(5 2 );
2 2
= + - - £ £ f) xy x
x2
; 0
2
= >
+
 g) 
( )
x
y
x
2
32 2
=
+
 HD: a) Maxy = 16 khi x = 1 b) Maxy = 9 khi x = 3 
 c) Maxy = 121
8
 khi x = 1
4
- d) Maxy = 625
8
 khi x = 5
4
 e) Maxy = 9 khi x = 1 f) Maxy = 1
2 2
 khi x = 2 ( x x22 2 2+ ³ ) 
 g) Ta có: x x x32 2 22 1 1 3+ = + + ³ Û x x2 3 2( 2) 27+ ³ Û x
x
2
2 3
1
27( 2)
£
+
 Þ Maxy = 1
27
 khi x = ±1. 
Bài 7. 
 a) 
Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình 
Trang 39 
 VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bu–nhia–cốp–xki 
1. Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki: (B) 
 · Với a, b, x, y Î R, ta có: ax by a b x y2 2 2 2 2( ) ( )( )+ £ + + . Dấu "=" xảy ra Û ay = bx. 
 · Với a, b, c, x, y, z Î R, ta có: ax by cz a b c x y z2 2 2 2 2 2 2( ) ( )( )+ + £ + + + + 
Hệ quả: 
 · a b a b2 2 2( ) 2( )+ £ + · a b c a b c2 2 2 2( ) 3( )+ + £ + + 
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
 a) a b2 23 4 7+ ³ , với a b3 4 7+ = b) a b2 2
7353 5
47
+ ³ , với a b2 3 7- = 
 c) a b2 2 24647 11
137
+ ³ , với a b3 5 8- = d) a b2 2
4
5
+ ³ , với a b2 2+ = 
 e) a b2 22 3 5+ ³ , với a b2 3 5+ = f) x y x y2 2
9( 2 1) (2 4 5)
5
- + + - + ³ 
 HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b3, 4, 3 , 4 . 
 b) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b2 3, , 3 , 5
3 5
- . 
 c) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b3 5, , 7 , 11
7 11
- . 
 d) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b1,2, , . 
 e) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số a b2, 3, 2 , 3 . 
 f) Đặt a = x – 2y + 1, b = 2x – 4y + 5, ta có: 2a – b = –3 và BĐT Û a b2 2 9
5
+ ³ . 
 Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 2; –1; a; b ta được đpcm. 
Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
 a) a b2 2 1
2
+ ³ , với a b 1+ ³ . b) a b3 3
1
4
+ ³ , với a b 1+ ³ . 
 c) a b4 4 1
8
+ ³ , với a b 1+ ³ . d) a b4 4 2+ ³ , với a b 2+ = . 
 HD: a) a b a b2 2 2 2 21 (1 1 ) (1 1 )( )£ + £ + + Þ đpcm. 
 b) a b b a b a a a a3 3 2 31 1 (1 ) 1 3 3+ ³ Þ ³ - Þ ³ - = - + - 
 Þ b a a
2
3 3 1 1 13
2 4 4
æ ö
+ ³ - + ³ç ÷
è ø
. 
 c) a b a b2 2 4 4 2 2 2 1(1 1 )( ) ( )
4
+ + ³ + ³ Þ đpcm. 
 d) a b a b2 2 2 2 2(1 1 )( ) ( ) 4+ + ³ + = Þ a b2 2 2+ ³ . 
 a b a b2 2 4 4 2 2 2(1 1 )( ) ( ) 4+ + ³ + ³ Þ a b4 4 2+ ³ 
Bài 3. Cho x, y, z là ba số dương và x y z 1+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
 P x y z1 1 1= - + - + - . 
 HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: P £ x y z1 1 1. (1 ) (1 ) (1 )+ + - + - + - £ 6 
Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng 
Trang 40 
 Dấu "=" xảy ra Û x y z1 1 1- = - = - Û x y z 1
3
= = = . 
 Vậy Max P = 6 khi x y z 1
3
= = = . 
Bài 4. Cho x, y, z là ba số dương và x y z 1+ + £ . Chứng minh rằng: 
 x y z
x y z
2 2 2
2 2 2
1 1 1 82+ + + + + ³ 
 HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: 
 x x
xx
2
2 2 2
2
1 9(1 9 )
æ ö æ ö
+ + ³ +ç ÷ç ÷ è øè ø
 Þ x x
xx
2
2
1 1 9
82
æ ö
+ ³ +ç ÷è ø
 (1) 
 Tương tự ta có: y y
yy
2
2
1 1 9
82
æ ö
+ ³ +ç ÷
è ø
 (2), z z
zz
2
2
1 1 9
82
æ ö
+ ³ +ç ÷
è ø
 (3) 
 Từ (1), (2), (3) suy ra: 
 P ³ x y z
x y z
1 1 1 1
( ) 9
82
é ùæ ö
+ + + + +ê úç ÷
è øë û
 = x y z
x y z x y z
1 1 1 1 1 80 1 1 1
( )
9 982
é ùæ ö æ ö
+ + + + + + + +ê úç ÷ ç ÷
è ø è øë û
 ³ x y z
x y z x y z
1 2 1 1 1 80 9( ) .
3 982
é ùæ ö
ê ú+ + + + +ç ÷ + +ê úè øë û
 ³ 82 . 
 Dấu "=" xảy ra Û x y z 1
3
= = = . 
Bài 5. Cho a, b, c ³ 1
4
- thoả a b c 1+ + = . Chứng minh: 
 a b c
(1) (2)
7 4 1 4 1 4 1 21< + + + + + £ . 
 HD: Áp dụng BĐT (B) cho 6 số: a b c1;1;1; 4 1; 4 1; 4 1+ + + Þ (2). 
 Chú ý: x y z x y z+ + £ + + . Dấu "=" xảy ra Û x = y = z = 0. Từ đó Þ (1) 
Bài 6. Cho x, y > 0. Tìm GTNN của các biểu thức sau: 
 a) A
x y
4 1
4
= + , với x + y = 1 b) B x y= + , với 
x y
2 3 6+ = 
 HD: a) Chú ý: A = 
x y
2 2
2 1
2
æ ö æ ö
+ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è ø
. 
 Áp dụng BĐT (B) với 4 số: x y
x y
2 1; ; ;
2
 ta được: 
 x y x y
x yx y
2
25 2 1 4 1. . ( )
4 42
æ ö æ ö
£ + £ + +ç ÷ ç ÷ç ÷ è øè ø
 Dấu "=" xảy ra Û x y4 1;
5 5
= = . Vậy minA = 25
4
 khi x y4 1;
5 5
= = . 
 b) Chú ý: 
x y x y
2 2
2 3 2 3æ ö æ ö
+ = +ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è ø
. 
 Áp dụng BĐT (B) với 4 số: x y
x y
2 3; ; ; ta được: 
Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình 
Trang 41 
 ( )x y x y
x y x y
2
22 3 2 3( ) . . 2 3
æ öæ ö
+ + ³ + = +ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø
 Þ 
( )
x y
2
2 3
6
+
+ ³ . 
 Dấu "=" xảy ra Û x y2 3 3 2 2 3 3 2;
6 3 6 2
+ +
= = . Vậy minB = 
( )22 3
6
+ . 
Bài 7. Tìm GTLN của các biểu thức sau: 
 a) A x y y x1 1= + + + , với mọi x, y thoả x y2 2 1+ = . 
 HD: a) Chú ý: x y x y2 22( ) 2+ £ + = . 
 A £ x y y x x y2 2( )(1 1 ) 2+ + + + = + + £ 2 2+ . 
 Dấu "=" xảy ra Û x y 2
2
= = . 
Bài 8. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau: 
 a) A x x7 2= - + + , với –2 £ x £ 7 b) B x x6 1 8 3= - + - , với 1 £ x £ 3 
 c) C y x2 5= - + , với x y2 236 16 9+ = d) D x y2 2= - - , với x y
2 2
1
4 9
+ = . 
 HD: a) · A £ x x2 2(1 1 )(7 2) 3 2+ - + + = . Dấu "=" xảy ra Û x 5
2
= . 
 · A ³ x x(7 ) ( 2) 3- + + = . Dấu "=" xảy ra Û x = –2 hoặc x = 7. 
 Þ maxA = 3 2 khi x 5
2
= ; minA = 3 khi x = –2 hoặc x = 7. 
 b)· B £ x x2 2(6 8 )( 1 3 ) 10 2+ - + - = . Dấu "=" xảy ra Û x = 43
25
. 
 · B ³ x x x6 ( 1) (3 ) 2 3- + - + - ³ 6 2 . Dấu "=" xảy ra Û x = 3. 
 Þ maxB = 10 2 khi x = 43
25
; minB = 6 2 khi x = 3. 
 c) Chú ý: x y x y2 2 2 236 16 (6 ) (4 )+ = + . Từ đó: y x y x1 12 .4 .6
4 3
- = - . 
 Þ ( )y x y x y x2 21 1 1 1 52 .4 .6 16 36
4 3 16 9 4
æ ö
- = - £ + + =ç ÷
è ø
 Þ y x5 52
4 4
- £ - £ Þ C y x15 252 5
4 4
£ = - + £ . 
 Þ minC = 15
4
 khi x y2 9,
5 20
= = - ; maxC = 25
4
 khi x y2 9,
5 20
= - = . 
 d) Chú ý: ( )x y x y
2 2
2 21 (3 ) (2 )
4 9 36
+ = + . Từ đó: x y x y2 12 .3 .2
3 2
- = - . 
 Þ ( )x y x y x y2 22 1 4 12 .3 .2 9 4 5
3 2 9 4
æ ö
- = - £ + + =ç ÷
è ø
 Þ x y5 2 5- £ - £ Þ D x y7 2 2 3- £ = - - £ . 
 Þ minD = –7 khi x y8 9,
5 5
= - = ; maxD = 3 khi x y8 9,
5 5
= = - . 
Bài 9. 
 a) 
Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng 
Trang 42 
1. Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0 
2. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn 
 Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ rồi 
lấy giao các tập nghiệm thu được. 
3. Dấu của nhị thức bậc nhất 
VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0 
Bài 1. Giải các bất phương trình sau: 
 a) 
( )x
x
3 3 2 72
5 3
-
- + > b) x x2 1 33
5 4
+
- > + 
 c) x x5( 1) 2( 1)1
6 3
- +
- < d) x x3( 1) 12 3
8 4
+ -
+ < - 
Bài 2. Giải và biện luận các bất phương trình sau: 
 a) m x m x( ) 1- £ - b) mx x m6 2 3+ > + 
 c) m x m m( 1) 3 4+ + + 
 e) m x x m x( 2) 1
6 3 2
- - +
+ > f) mx x m m 23 2( ) ( 1)- < - - + 
Bài 3. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm: 
 a) m x m x m2 24 3+ - < + b) m x m m x2 1 (3 2)+ ³ + - 
 c) mx m mx2 4- > - d) mx x m m 23 2( ) ( 1)- < - - + 
Bài 4. 
 a) 
f(x) = ax + b (a ¹ 0) 
x Î b
a
;
æ ö
-¥ -ç ÷
è ø
 a.f(x) < 0 
x Î b
a
;
æ ö
- +¥ç ÷
è ø
 a.f(x) > 0 
II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
BẬC NHẤT MỘT ẨN 
Điều kiện Kết quả tập nghiệm 
a > 0 S = b
a
;
æ ö
-¥ -ç ÷
è ø
a < 0 S = b
a
;
æ ö
- +¥ç ÷
è ø
b ³ 0 S = Æ a = 0 b < 0 S = R 
Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình 
Trang 43 
 VẤN ĐỀ 2: Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn 
Bài 1. Giải các hệ bất phương trình sau: 
 a) 
xx
x x
15 88 5
2
32(2 3) 5
4
ì -
- >ï
í
ï - > -
î
 b) 
x x
x
x
4 5 3
7
3 8 2 5
4
ì -
< +ï
í +ï > -
î
 c) 
x x
x x
4 112
3 2
4 3 2
2 3
ì
- £ +ï
í - -ï <
î
 d) 
x x
x x
4
2 3
2 9 19
3 2
ì
£ +ï
í - +ï <
î
 e) 
( )
x x
x
x
11 2 5
2
82 3 1
2
ì -
³ -ï
í -ï + ³
î
 f) 
( )
x x
x
x
115 2 2
3
3 142 4
2
ì
- > +ï
í -ï - <
î
 g) 
x x
x
x
2 3 3 1
4 5
53 8
2 3
ì - +
<ï
í
ï + < -
î
 h) 
x x x
x x x
3 1 3( 2) 5 31
4 8 2
4 1 1 4 53
18 12 9
ì - - -
- - >ïï
í - - -ï - > -
ïî
 i) x x
x x
3 1 2 7
4 3 2 19
ì + ³ +
í + > +î
Bài 2. Tìm các nghiệm nguyên của các hệ bất phương trình sau: 
 a) 
x x
x
x
56 4 7
7
8 3 2 25
2
ì
+ > +ï
í +ï < +
î
 b) 
x x
x
x
115 2 2
3
3 142( 4)
2
ì
- > +ï
í -ï - <
î
Bài 3. Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: 
 a) 
î
í
ì
>--
>-+
023
01
xm
mx
 b) 
î
í
ì
>-
>-
03
01
mx
x
 c) x m mx
x x
24 2 1
3 2 2 1
ì + £ +í
+ > -î
 d) x x
x m
7 2 4 19
2 3 2 0
ì - ³ - +
í - + <î
 e) mx
m x m
1 0
(3 2) 0
ì - >
í - - >î
Bài 4. 
 a) 
VẤN ĐỀ 3: Bất phương trình qui về bất phương trình bậc nhất một ẩn 
1. Bất phương trình tích 
 · Dạng: P(x).Q(x) > 0 (1) (trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.) 
 · Cách giải: Lập bảng xét dấu của P(x).Q(x). Từ đó suy ra tập