Bài tập Đại số 10 - Chương 1: Nhóm, nhóm con

DoLoc Pham 
CHƯƠNG 1. NHÓM, NHÓM CON 
A. LÝ THUYẾT. 
1. Định nghĩa 1. Nhóm là một tập hợp X ≠ ∅ trên đó xác định được một phép toán hai ngôi thỏa 
các điều kiện sau: ( Công thức sau là đối với phép nhân, phép cộng cho công thức tương tự thay 
dấu nhân bằng dấu cộng ). 
 Điều kiện kết hợp : , ,x y z X∀ ∈ thì ( ) ( )xy z x yz= . 
 Điều kiện đơn vị : x X∀ ∈ , e X∃ ∈ sao cho : ex x
xe x
=
 =
 Điều kiện khả nghịch : x X∀ ∈ , 1x X− ∈ sao cho : 
1
1
x x e
xx e
−
−
 =

=
2. Tiêu chuẩn của nhóm con ( Tiêu chuẩn 1 ) : Một tập A ≠ ∅ trong nhóm X là nhóm con của 
nhóm X nếu : 
 ,x y A∀ ∈ thì xy A∈ 
 e A∃ ∈ 
 x A∀ ∈ thì 1x A− ∈ 
Trong một số trường hợp ta chỉ cần sử dụng tiêu chuẩn 3 : Một tập A ≠ ∅ trong nhóm X là nhóm con 
của nhóm X nếu ,x y A∀ ∈ thì 1xy A− ∈ . 
3. Điều kiện chuẩn tắc : Nhóm con A của X được gọi là nhóm con chuẩn tắc nếu : ,x X a A∀ ∈ ∀ ∈ 
thì 1xax A− ∈ 
4. Nhóm thương : Nếu A là nhóm con chuẩn tắc của nhóm X thì { }|X xA x AA = ∈ cùng với phép 
toán xA.yA = xyA là một nhóm, gọi là nhóm thương. 
B. BÀI TẬP. 
2.10\69 Tập hợp các số hữu tỉ có dạng 2 ,n n Z∈ với phép nhân là nhóm. 
 { }2 |nZ n Z= ∈ 
 Z ≠ ∅ ( hiển nhiên ) 
 , ,m n p Z∀ ∈ thì ( ) ( )(2 2 )2 (2 )2 2 2 2 2 (2 2 )m n p m n p m n p m n p m n p+ + + += = = = . 
 Đơn vị là 02 1= vì n Z∀ ∈ ta có : 
0
0
2 2 2
2 2 2
n n
n n
 =

=
DoLoc Pham 
 , ( )n Z n Z∀ ∈ ∃ − ∈ sao cho : 
0
0
2 2 2 1
2 2 2 1
n n
n n
−
−
 = =

= =
Vậy Z là nhóm. 
2.14\69 Tập hợp các số thực có dạng 3a b+ với ,a b Z∈ với phép cộng là nhóm. 
 ( 3) { 3 | , }a b a b Z= + ∈Z 
 ( 3)Z ≠ ∅ ( hiển nhiên ) 
 ( 3),( 3),( 3) ( 3)a b c d e f∀ + + + ∈Z thì : 
[( 3) ( 3)] ( 3)a b c d e f+ + + + + = [( ) ( ) 3] ( 3) ( ) ( ) 3a c b d e f a c e b d f+ + + + + = + + + + + 
= ( 3) [( ) ( ) 3]a b c e d f+ + + + + = ( 3) [( 3) ( 3)]a b c d e f+ + + + + 
 ( 3) ( 3), (0 0 3) ( 3)a b∀ + ∈ ∃ + ∈Z Z sao cho : ( 3)(0 0 3) ( 3)
(0 0 3)( 3) ( 3)
a b a b
a b a b
 + + = +

+ + = +
 ( 3) ( 3), ( 3) ( 3)a b a b∀ + ∈ ∃ − − ∈Z Z sao cho : ( 3) ( 3) (0 0 3)
( 3) ( 3) (0 0 3)
a b a b
a b a b
 + + − − = +

− − + + = +
Vậy ( 3)Z là nhóm. 
2.15\69 Tập hợp các số thực có dạng 3a b+ với ,a b Q∈ và 2 2 0a b+ ≠ với phép nhân là nhóm. 
 { }2 2( 3) 3 | , , 0Q a b a b Q a b= + ∈ + ≠ 
 ( 3)Q ≠ ∅ ( hiển nhiên ) 
 ( 3),( 3),( 3) ( 3)a b c d e f Q∀ + + + ∈ thì : 
= [( 3)( 3)]( 3) [( 3 ) ( ) 3]( 3)a b c d e f ac bd ad bc e f+ + + = + + + + 
= [( 3 3 3 ) ( 3 ) 3]ace bde adf bcf acf bdf ade bce+ + + + + + + 
= ( 3)[( 3 ) ( ) 3]a b be df cf de+ + + + = ( 3)[( 3)( 3)]a b c d e f+ + + 
 ( 3) ( 3), (1 0 3) ( 3)a b Q Q∀ + ∈ ∃ + ∈ sao cho : ( 3)(1 0 3) ( 3)
(1 0 3)( 3) ( 3)
a b a b
a b a b
 + + = +

+ + = +
DoLoc Pham 
 1( 3) ( 3), ( 3) ( 3)a b Q a b Q−∀ + ∈ ∃ + ∈ và 1 1( 3)
3
a b
a b
−+ =
+
 sao cho : 
1( 3) 1 0 3
3
1 ( 3) 1 0 3
3
a b
a b
a b
a b
 + = + +

 + = +
 +
Vậy ( 3)Q là nhóm. 
2.20\69 Tập hợp các ma trận vuông cấp n có định thức bằng 1 với phép nhân ma trận là nhóm . 
 { }1 * | det 1n nM x M M= ∈ = 
 1nM ≠ ∅ ( hiển nhiên ) 
 Tập hợp các ma trận vuông cấp n với phép nhân ma trận có tính kết hợp ( ĐSTT ) ( Phép 
nhân 2 ma trân kết quả là ma trận, phép nhân trên ma trận là phép toán 2 ngôi ) 
 Phần tử đơn vị là 1 1nM∈ 
 1 1 1,n nx M x M−∀ ∈ ∃ ∈ và x-1 = x. 
Vậy 1nM là nhóm. 
5\70 Cho X là nhóm với đơn vị là e. Chứng minh rằng với mọi a X∈ ta có 2a e= thì X là nhóm aben. 
 Ta có 2a e= .a a e⇔ = hay 1a a−= 
 1,a X a X−∀ ∈ ∃ ∈ sao cho : 2( )ab abab e= = 
 1bab a−= 1 1ab b a− −⇔ = ab ba⇔ = 
10\70 Chứng minh rằng trong nhóm cộng các số nguyên Z, một bộ phận A của Z là nhóm con của Z 
nếu A có dạng mZ, m Z∈ . 
 { }|A mZ m Z= ∈ dùng tiêu chuẩn 3. 
 A ≠ ∅ ( hiển nhiên ) 
 1 2,mz mz mZ∀ ∈ thì 1 2 1 2( )mz mz m z z mZ− = − ∈ 
Vậy mZ là nhóm con của (Z, +) 
13\71 Cho A và B là hai bộ phận của nhóm X. Ta định nghĩa : 
DoLoc Pham 
1 1
{ | , }
{ | }
AB ab a A b B
A a a A− −
= ∈ ∈

= ∈
 Chứng minh các đẳng thức sau : 
a. (AB)C = A(BC). 
b. 1 1( )A A− − = 
c. 1 1 1( )AB B A− − −= 
d. Nếu A là nhóm con của X thì 1A A− = 
Giải : 
a. , ,a A b B c C∀ ∈ ∈ ∈ thì ( ) ( ) ( ) ( )AB C ab c a bc A BC= = = 
b. 1 1( )A A− − = , 1,a A a A−∀ ∈ ∃ ∈ thì 1 1( )a a A− − = ∈ 
c. 1,a A a A−∀ ∈ ∃ ∈ , 1,b B b B−∀ ∈ ∃ ∈ sao cho : 1 1 1 1 1( )ab b a B A− − − − −= ∈ 
d. 1,a A a A−∀ ∈ ∃ ∈ sao cho : 1A A− = 
 1 1 1( )a A− − −∈ và 1 1( )a A− − = vậy 1A A− ⊂ 
 1 1 1( ) ,a A a A− − −∈ ∈ vậy 1A A−⊂ 
Vậy 1A A− = 
45\75 Cho tập hợp 3X = Z với Z là tập hợp các số nguyên, trên đó xác định một phép toán 2 ngội như 
sau : 
3
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , )( , , ) ( ( 1) , , )
kk k k l l l k l k l k l= + − + + . 
a. Chứng minh rằng X với phép toán đó là một nhóm. 
b. Chứng minh rằng nhóm con A sinh bởi phần tử ( 1, 0, 0 ) là chuẩn tác 
Giải : 
a. Chứng minh X là nhóm : 
 X ≠ ∅ ( hiển nhiên ) 
 1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , ), ( , , ), ( , , )k k k l l l t t t X∀ ∈ ta có : 
3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3[( , , )( , , )]( , , ) [( ( 1) , , )]( , , )
kk k k l l l t t t k l k l k l t t t= + − + + 
DoLoc Pham 
= 3 3 31 1 1 2 2 2 3 3 3( ( 1) ( 1) , , )
k k lk l t k l t k l t++ − + − + + + + ( 1 ) 
Mặt khác : 1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , )[( , , )( , , )]k k k l l l t t t = 31 2 3 1 1 2 2 3 3( , , )[( ( 1) , , ]
lk k k l t l t l t+ − + + 
= 3 31 1 1 2 2 2 3 3 3( ( 1) ( ( 1) ), , )
k lk l t k l t k l t+ − + − + + + + 
= 3 3 31 1 1 2 2 2 3 3 3( ( 1) ( 1) , , )
k k lk l t k l t k l t++ − + − + + + + ( 2 ) 
So sánh ( 1 ) và ( 2 ) ta có điều kiện kết hợp. 
 1 2 3( , , )k k k X∀ ∈ , (0,0,0) X∃ ∈ sao cho : 
3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
0
1 2 3 1 2 3 1 2 3
( , , )(0,0,0) ( ( 1) 0, 0, 0) ( , , )
(0,0,0)( , , ) (0 ( 1) ,0 ,0 ) ( , , )
kk k k k k k k k k
k k k k k k k k k
 = + − + + =

= + − + + =
 11 2 3 1 2 3( , , ) ( , , )k k k X k k k X−∀ ∈ ∃ ∈ sao cho : 3 111 2 3 1 2 3( , , ) (( 1) , , )kk k k k k k− +− = − − − 
3 3 3
3 3 3
1 1
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3
1 1
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3
( , , )(( 1) , , ) ( ( 1) ( 1) , , ) (0,0,0)
(( 1) , , )( , , ) (( 1) ( 1) , , ) (0,0,0)
k k k
k k k
k k k k k k k k k k k k
k k k k k k k k k k k k
− + − +
− + − + −
 − − − = + − − − − =

− − − = − + − − + − + =
Vậy X là nhóm. 
b. Ta có : |nA a n Z= ∈ và a = ( 1, 0, 0 ) 
Ta chứng minh ( ,0,0)na n= 
• Khi n = 1 thì 1 (1,0,0)a = 
• Khi n = k thì ( ,0,0)ka k= 
• Ta cần chúng minh nó cũng đúng với n = k + 1. Nghĩa là : 
1 1 0( ,0,0)(1,0,0) ( ( 1) 1,0,0) ( 1,0,0)k ka a a k k k+ = = = + − = + 
Vậy ( ,0,0)na n= với mọi n > 0. 
Trường hợp n 0 Nên ta cũng có : ( ,0,0)na n= 
Vậy ( ,0,0) |A n n Z= ∈ . 
Điều kiện chuẩn tắc : 1 2 3( , , ) , ( ,0,0)k k k X n A∀ ∈ ∀ ∈ ta có : 
3 3 31 1
1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3( , , )( ,0,0)(( 1) , , ) ( ( 1) , , )(( 1) , , )
k k kk k k n k k k k n k k k k− + − +− − − = + − − − − 
DoLoc Pham 
= 3 3 3 11 1 2 2 3 3( ( 1) ( 1) ( 1) , , )
k k kk n k k k k k− ++ − + − − − − = 3(( 1) ,0,0)k n A− ∈ . 
BÀI TẬP LÀM THÊM. 
1. Trên tập số thực { }\ 1R xác định phép toán như sau : { }\ 1 : *R x y x y xy= + − với mọi x, y 
{ }\ 1R∈ 
Chứng minh rằng { }( \ 1 ,*)R là nhóm và { }\ 1Q là nhóm con của { }\ 1R 
Giải : 
a. Chứng minh { }( \ 1 ,*)R là nhóm : 
 { }\ 1R ≠ ∅ ( hiển nhiên ). 
 { }, , \ 1x y z R∀ ∈ ta có : ( ) ( )xy z x y xy z= + − 
= ( )x y xy z x y xy z+ − + − + − = x y z xy xz yz xyz+ + − − − + 
= ( )x y z yz x y z yz+ + − − + − = ( )x y z yz+ − = ( )x yz . 
 { } { }\ 1 , 0 \ 1x R R∀ ∈ ∃ ∈ sao cho : 
0 0 0
0 0
x x x x
x x ox x
= + − =
 = + − =
Vậy đơn vị là 0. 
 { } { }1\ 1 , \ 1x R x R−∀ ∈ ∃ ∈ sao cho : 1
1
xx
x
− =
−
Thật vậy : 
2
2
0 0
1 1 1 1
0 0
1 1 1 1
x x xx x
x x x x
x x xx x
x x x x

= + − = = − − − −

 = + − = = − − − −
Vậy { }( \ 1 ,*)R là nhóm. 
b. { }\ 1Q là nhóm con của { }\ 1R dùng tiêu chuẩn 3. 
 { }\ 1Q ≠ ∅ ( hiển nhiên ). 
 { }, \ 1a b Q∀ ∈ ta có : { }\ 1
1 1 1 1
b b ab b aa a Q
b b b b
−
= + − = ∈
− − − −
Vậy { }\ 1Q là nhóm con của { }\ 1R . 
DoLoc Pham 
2. Cho nhóm | 0
0
a b
X ac
c
  
= ≠  
  
 và 
1
| 0
0
b
A c
c
  
= ≠  
  
 Chứng minh rằng A X 
Giải : 
a. Chứng minh A là nhóm con của X. 
 A ≠ ∅ ( hiển nhiên ). 
 1 2
1 2
1 1
,
0 0
b b
A
c c
   
∀ ∈   
   
 thì : 1 2 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1
0 0 0
b b b b c
A
c c c b c c
+    
= ∈    +    
 
11 1
,
0 0
b b
A A
c c
−
   
∀ ∈ ∃ ∈   
   
 sao cho : 
1 11
0 10
bb c
c
c
−  −   =      
 A∈ vì 
11 1 0
0 0 110
bb c
c
c
 −     =        
 Vậy A là nhóm con của X. 
b. Chứng minh A X 
 
1 1
,
0 0 10
ba b a b a acX X
c c
c
− −      ∀ ∈ ∃ = ∈          
, 
1
0
d
A
e
 
∀ ∈ 
 
 ta có : 
11
0 0 10
ba b d a ac
c e
c
−          
 = 
1
0 10
ba ad bc a ac
ce
c
− +      
 = 1
0
b ad bc
Ac c
e
− + + ∈
  
 
Vậy A X .