Bài tập cơ bản về Khảo sát hàm số

I. Hàm bậc 3
 1. a. Khảo sát hàm số: 
b. Tìm m để pt sau có 6 nghiệm phân biệt: 
2. Cho hàm số 
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số đã cho.
b. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;20) và có hệ số góc m. Tìm m để d cắt ( C ) tại 3 điểm phân biệt.
 3. Cho hàm số ( 1 )
 a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( 1 ) khi m=1.
 b. Tìm m để hàm số ( 1 ) có CĐ, CT và các điểm cực trị cách đều gốc tọa độ O.
 4. Gọi ( ) là đồ thị của hàm số ( * )
 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( * ) khi m=2.
 b. Gọi M là điểm thuộc ( ) có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng 5x – y = 0.
 5. Cho hàm số ( 1 ) ( )
 a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( 1 ) khi m=2.
 b. Tìm m để đồ thị hàm số ( 1 ) có CĐ và CT đồng thời hoành độ điểm CT nhỏ hơn 1.
 6. Cho hàm số ( 1 )
 Chứng minh rằng từ điểm A(1;-4) vẽ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số ( 1 ).
 7. Cho hàm số ( 1 )
 Tìm m để hàm số ( 1 ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Cho hàm số 
Chứng minh với mọi m hàm số ( 1 ) luôn có cực đại và cực tiểu. Hãy xác định m để khoảng cách giữa cực đại và cực tiểu nhỏ nhất.
 9. Cho hàm số ( 1 )
 a. Khi m=2, viết phương trình tiếp tuyến qua .
 b. Tìm m để đồ thị hàm số ( 1 ) có 2 cực trị. Gọi M, N là các điểm cực trị, tìm m để M, N và B(0,-1) thẳng hàng .
 10. Cho hàm số ( 1 )
 a. Khảo sát khi m=1.
 b. Tìm k để pt: có 3 nghiệm phân biệt.
 11. Cho hàm số ( 1 )
 Tìm m để ( 1 ) có 2 điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
 12. Tìm m để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1.
 13. Cho hàm số 
 a. Tìm m để hàm số đồng biến trên .
 b. Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng và .
 14. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
 b. Tìm tất cả các giá trị của m để pt có 3 nghiệm phân biệt.
 15.a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
 b. Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số, hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
 16. Tìm những điểm trên trục hoành có hoành độ nguyên mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số .
 17. Cho hàm số 
 a. Tìm a để các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
 b. Tìm a để đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC.
 18. Cho hàm số y = x3 – 3mx2 +9x +1 (1) 
 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.
b. Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x +1.
II. Hàm số trùng phương
 1. Cho hàm số ( 1 )
 a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
 b. Tìm m để hàm số ( 1 ) có 3 điểm cực trị.
 2. Cho hàm số ( 1 )
 a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
 b. Định m để đồ thị hàm số ( 1 ) tiếp xúc với trục hoành tại 2 điểm phân biệt.
 3. Cho hàm số ( C )
 a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
 b. Tìm m sao cho ( C ) chắn trên đường thẳng y = m ba đoạn có độ dài bằng nhau.
 4. Cho hàm số có đồ thị ( ).
 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số khi m = -1.
 b. Tìm điểm cố định của ( ).
 c. Với giá trị nào của k thì đường thẳng (d): y = kx + 2 cắt ( C ) tại 4 điểm phân biệt.
 d. Định m để ( ) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt.
 5. Cho ( ): 
 a. Tìm m để ( ) không cắt Ox.
 b. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m vừa tìm được.
 c. Biện luận số nghiệm của phương trình sau theo k: .
 6. Cho hàm số .
 a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
 b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: .
 7. Cho ( ): 
 a. Tìm m để ( ) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt.
 b. Tìm m để hàm số có đúng 1 cực trị.
III. Hàm số nhất biến
 1. Cho hàm số ( C )
 a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ).
 b. Tìm M thuộc ( C ), biết tiếp tuyến của ( C ) tại M cắt 2 trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng .
 2. Cho hàm số ( C )
 a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ).
 b. Gọi I là giao điểm 2 tiệm cận của ( C ). Tìm M thuộc ( C ) sao cho tiếp tuyến của ( C ) tại M vuông góc với IM.
 c. Gọi N là điểm bất kỳ trên ( C ), tiếp tuyến tại N của ( C ) cắt các tiệm cận tại A, B. Gọi K là giao điểm của các tiệm cận. Chứng minh rằng N là trung điểm của AB và tam giác KAB có diện tích không đổi.
 3.a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số .
 b. Tìm trên ( C ) điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận nhỏ nhất.
 4. Cho hàm số 
 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) khi m = 1. Tìm trên đồ thị ( C ) những điểm có tổng khoảng cách đến 2 đường tiệm cận nhỏ nhất.
 b. Chứng minh rằng một tiếp tuyến bất kỳ của ( C ) luôn tạo với 2 đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi.
 c. Chứng minh rằng với mọi m khác 0, đồ thị ( ) của hàm số luôn tiếp xúc với 1 đường thẳng cố định.
 5. Cho hàm số 
 a. Tìm giá trị của m và n để đồ thị hàm số đi qua điểm A(0, 1) và tiếp xúc với đường thẳng có hệ số góc bằng -3 tại A.
 b. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số khi m=1, n=2.
 c. Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) tại giao điểm của ( C ) với trục tung.
 6. Cho hàm số ( )
 a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số khi m=2. Tìm những điểm trên ( C ) có tọa độ nguyên.
 b. Chứng minh rằng với mọi b đường thẳng ( D ): y = x +b luôn cắt ( C ) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh khác nhau. Gọi giao điểm ấy là A và B, hãy tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB.
 c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn ( C ), đường tiệm cận ngang của nó và các đường thẳng x=3, x=4.
 d. Chứng minh rằng với mọi m khác 0, ( ) luôn tiếp xúc với nhau tại một điểm cố định.
 7. Cho hàm số ( C )
 Tìm M thuộc ( C ) để khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận bằng nhau.
 8. Cho hàm số ( C )
 Tìm M thuộc ( C ) sao cho M cách đều 2 trục tọa độ.
IV. Hàm số bậc 2 trên bậc 1
 1. Cho hàm số ( 1 )
 a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( 1 ) khi m=-1.
 b. Tìm m để hàm số ( 1 ) cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông tại O.
 2. Cho hàm số 
 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số đã cho.
 b. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ), biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên.
 3. Cho hàm số 
 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số đã cho.
 b. Tìm các điểm trên ( C ) mà tiếp tuyến tại đó với đồ thị ( C ) vuông góc với đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu.
 4. Cho hàm số ( 1 )
 a. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết rằng tiếp tuyến qua điểm A(1,0). Tính góc giữa các tiếp tuyến.
 b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
 5. Cho hàm số ( 1 )
 Tìm m để hàm số ( 1 ) có cực đại và cực tiểu, đồng thời khoảng cách từ 2 điểm đó đến đường thẳng x + y + 2 = 0 bằng nhau.
 6. Tìm m để hàm số nghịch biến trên .
 7. Cho hàm số 
 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
 b. Tìm m để pt: có 2 nghiệm phân biệt.
 8. Cho hàm số 
 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
 b. Xác định m để phương trình có nghiệm.
 9. Cho hàm số 
 Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. Gọi A và B là 2 điểm cực trị, chứng minh rằng khi đó AB song song với đường thẳng 2x-y-10=0.
 10. Cho hàm số ( C )
 Tìm M ( C ) để khoảng cách từ M đến đường thẳng (d): y+3x+6=0 nhỏ nhất.
 11. Cho hàm số 
 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
 b. Biện luận theo m số nghiệm của pt: 
 12. Cho hàm số 
 a. Tìm trên đường thẳng y=2 những điểm sao cho từ mỗi điểm ấy vẽ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và 2 tiếp tuyến này vuông góc với nhau.
 b. Cho đường thẳng (d): y = mx - m + 1. Hãy tìm m để (d) cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt và 2 điểm này thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị. 
 13. Cho hàm số ( C )
 a. Tìm những điểm trên trục tung sao cho từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến đến ( C ) và 2 tiếp tuyến này vuông góc với nhau
 b. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: 
* Học không đi đôi với sự lười biếng, nhưng là sự nổ lực của cả một quá trình dài.*