Bài tập Cấp số và dãy số

yên với mọi i thuộc S thì ta nói {ai} là dãy số nguyên. Ví dụ dãy an = (-1)nn, dãy Fibonacci là các dãy số nguyên. 
Các xác định một dãy số 
Dãy số có thể được xác định (cho) bằng các cách dưới đây
1) Liệt kê các phần tử (dùng cho các dãy số hữu hạn). Ví dụ xét dãy các chữ số trong hệ thập phân 0, 1, 2, , 9.
2) Cho bởi công thức tường minh dạng ai = f(i). Ví dụ, cho dãy số {ai} i = 1, , n xác định bởi ai = 1/(1+i2). 
3) Cho bởi công thức truy hồi. Ví dụ
	+ Cho dãy số {an} xác định bởi a0 = a1 = 1, an+1 = an + an-1 với mọi n = 1, 2, 
	+ Cho dãy số {an} xác định bởi a1 = 2009, an+1 bằng tổng bình phương các chữ số của an với mọi n=1, 2, 
4) Mô tả bằng tính chất. Ví dụ: cho dãy các số nguyên tố, cho dãy các hợp số nguyên dương. Một ví dụ khác: Gọi an là số các xâu nhị phân độ dài n không có hai bít 1 kề nhau à dãy số {an} xác định.
Trong số các cách xác định dãy số thì cách thứ 2 và cách thứ 3 là quan trọng nhất và thường được sử dụng nhất.
Các dạng toán liên quan đến dãy số 
1) Tìm công thức tính số hạng tổng quát của dãy số: Từ một dãy số được cho bởi các cách khác (liệt kê, truy hồi, mô tả tính chất) tìm ra công thức tường minh dưới dạng hàm số. 
Ví dụ: Tìm công thức tổng quát cho số hạng thứ n của dãy Fibonacci, tìm công thức tính an – số các xâu nhị phân độ dài n không có 2 bit 1 kề nhau.
2) Tính tổng n số hạng đầu tiên của một dãy số. 
Ví dụ: Tính các tổng sau
	Sn = 12 + 22 +  + n2;
	Sn = 1/2 + 2/4 + 3/8 +  + n/2n;
	Sn = 1/1.2 + 1/2.3 +  + 1/(n-1).n. 
3) Chứng minh các tính chất liên quan đến dãy số, trong đó có thể là các tính chất đại số (đẳng thức, bất đẳng thức), số học (sự chia hết, chữ số tận cùng, nguyên tố cùng nhau ), giải tích (bị chặn, có giới hạn )
Ví dụ: + Chứng minh rằng với dãy số Fibonacci {Fn} xác định bởi F0 = F1 = 1, Fn+1 = Fn+Fn-1 với mọi n ³ 1 ta có Fn+1Fn-1 – Fn2 = (-1)n-1.
	+ Chứng minh rằng 
	+ Tìm tất cả các số chính phương trong dãy số Fibonacci. 
4) Các bài toán về bất đẳng thức liên quan đến dãy số
5) Các bài toán về giới hạn dãy số
Trong bài này, ta tập trung chủ yếu vào hai bài toán đầu tiên. 
2. Cấp số
Cấp số là những dãy số có quy luật đặc biệt. Có hai cấp số thường gặp và quan trọng nhất là cấp số cộng và cấp số nhân. 
Cấp số cộng. Cấp số cộng {a1, a2, , an} là dãy số xác định bởi 
a1 = a ;
ak+1 = ak + d với mọi k=1, , n-1.
a1 được gọi là số hạng đầu tiên, an là số hạng cuối, ak là số hạng thứ k của cấp số cộng; n được gọi là số số hạng của cấp số cộng ; d được gọi là công sai của cấp số cộng. Sở dĩ có thuật ngữ công sai này là vì
	a2 – a1 = a3 – a2 =  = an – an-1 = d.
Cấp số cộng còn có thể được đặc trưng bởi đẳng thức ak+1 – 2ak + ak-1 = 0 với mọi k=2, , n-1. 
Ngoài các cấp số cộng có hữu hạn phần tử, người ta còn xét những cấp số cộng có vô hạn phần tử. Ví dụ dãy các bội số dương của 3 là một cấp số cộng có vô hạn phần tử với số hạng đầu là 3 và công sai là 3.
Hai bài toán cơ bản liên quan đến dãy số có thể giải khá dễ dàng đối với cấp số cộng. Cụ thể
Công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng: ak = a + (k-1)d.
Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng:
Ở đây khi chứng minh công thức thứ nhất, ta đã dùng ý tưởng của Gauss (khi ông còn là 1 cậu bé) khi ông tính tổng 1 + 2 +  + 99 + 100 rằng 1 + 100 = 2 + 99 =  = 50 + 51 gồm 50 cặp số, mỗi cặp có tổng bằng 101.
Cuối cùng, cũng cần nhắc đến công thức tính số số hạng của một cấp số cộng khi biết số hạng đầu, số hạng cuối và công sai:
	Số số hạng = [(Số hạng đầu – Số hạng cuối): công sai] + 1
Đây chính là công thức của bài toán trồng cây quen thuộc ở cấp 2!
Cấp số nhân. Cấp số nhân {a1, a2, , an} là dãy số xác định bởi 
a1 = a ;
ak+1 = q.ak với mọi k=1, , n-1.
a1 được gọi là số hạng đầu tiên, an là số hạng cuối, ak là số hạng thứ k của cấp số cộng; n được gọi là số số hạng của cấp số cộng ; q được gọi là công bội của cấp số cộng. Sở dĩ có thuật ngữ công bội này là vì
	a2/a1 = a3/a2 =  = an/an-1 = q.
Cấp số nhân còn có thể được đặc trưng bởi đẳng thức ak+1ak-1 = ak2 với mọi k=2, , n-1. 
Ngoài các cấp số nhân có hữu hạn phần tử, người ta còn xét những cấp số nhân có vô hạn phần tử. Cấp số nhân có vô hạn phần tử và có |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Hai bài toán cơ bản liên quan đến dãy số có thể giải khá dễ dàng đối với cấp số nhân. Cụ thể
Công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân: ak = a.qk-1.
Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân:
Ở đây ta đã dùng hằng đẳng thức quen thuộc 1 – qn = (1-q)(1+q++qn-1).
Công thức này cho thấy số hạt gạo trong câu chuyện về bản cờ cổ Ấn Độ sẽ là 1 + 2 + 4 + + 263 = 264 – 1 = 18446744073709551615 ~ 1.844*1020.
Nếu cấp số nhân a1, a2, , an,  là lùi vô hạn thì ta có công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn như sau
Công thức này sẽ giải thích cho nghịch lý Zenon về câu chuyện Achiles không thể đuổi kịp con rùa. 
Bài toán 1. Cho dãy số {an} xác định bởi a1 = a, ak+1 = qak + d với mọi k=1, 2, (q ¹ 1). Tìm số hạng tổng quát của an.
Lời giải. Ta có a2 = qa1 + d = qa + d, a3 = qa2 + d = q(qa+d) + d = q2a + (1+q)d, a4 = q3a + d = q(q2a + (1+q)d) + d = q3a + (1+q+q2)d. Từ đó dễ dàng dự đoán và chứng minh bằng quy nạp rằng
	an = a.qn-1 + (1+q++qn-2)d.
Áp dụng công thức cho 1 + q +  + qn-2, ta được
3. Phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất và bậc hai
Làm thế nào để tìm công thức tính số hạng tổng quát của dãy số Fibonacci? Làm thế nào để tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi a1 = 2, ak+1 = 2ak + 3k? Điều này hoá ra rất đơn giản: chỉ cần biết công thức cho cấp số nhân và một chút sáng tạo. Chúng ta hãy bắt đầu từ một bài toán, là bài toán tổng quát của bài toán 1.
Bài toán 2. Cho dãy số {an} xác định bởi a1 = a, ak+1 = qak + d.ak (1) với mọi k=1, 2, (q ¹ 1). Tìm số hạng tổng quát của an.
Phân tích và lời giải. Ta có thể giải bài toán bằng cách làm tương tự như ở lời giải bài toán 1. Tuy nhiên ta có thể làm theo một cách khác. Nếu đặt ak = bk + c.ak thì thay vào phương trình (1), ta sẽ được 
	bk+1 + c.ak+1 = q(bk + c.ak) + d.ak
ó	bk+1 = qbk + ak(-ca + cq + d) (2)
Nếu ta chọn c = d/(a-q) thì -ca + cq + d = 0 và (2) trở thành bk+1 = qbk, suy ra bk = qk-1b1 = qk-1(a - ca). Từ đó
	ak = qk-1(a - ca) + cak = qk-1a + da(ak-1-qk-1)/(a-q).
Nhận xét. Nếu chú ý rằng a, d, a, q là các hằng số thì từ công thức trên ta suy ra ak có dạng ak = c1ak + c2qk trong đó c1, c2 là các hằng số. 
Câu hỏi 1. Nếu q = a thì ta làm thế nào?
Bài toán 3. Cho dãy số {an} xác định bởi a1 = 2, a2 = 5, ak+1 = 5ak – 6ak-1 (1) với mọi k = 2, 3,  Tìm công thức tính số hạng tổng quát của dãy số. 
Lời giải. Hai số 5 và 6 gợi cho chúng ta đến một phép biến đổi thú vị, cụ thể là viết (1) lại dưới dạng
	ak+1 – 2ak = 3(ak-2ak-1)	(2)
Như vậy nếu đặt bk = ak-2ak-1 thì ta có bk+1 = 3bk, suy ra bn là cấp số nhân với công bội 3. Như vậy bk = 3k-2b2 = 3k-2(a2-2a1) = 3k-2. Từ đây ta suy ra 
	ak-2ak-1 = 3k-2 với mọi k=2, 3, 
Đây là dạng dãy số đã được xét ở bài toán 2. Áp dụng các công thức ta tìm được 
	ak = 2k-1 + 3k-1.
Bây giờ ta đã có thể tấn công vào dãy số Fibonacci. Nhắc lại là dãy số Fibonacci là dãy xác định bởi F0 = F1 = 1, Fn+1 = Fn + Fn-1 (1). Học tập lời giải bài toán 3, ta tìm 2 số “2” và “3” của dãy Fibonacci, cụ thể là tìm hai số a và b sao cho 
ó Fn+1 - aFn = b(Fn - aFn-1)
Điều này xảy ra khi và chỉ khi a + b = 1 và ab = -1, tức là a và b là hai nghiệm của phương trình x2 – x – 1 = 0. Giải ra ta được 
Khi đó thì Un = Fn - aFn-1 sẽ là cấp số nhân với công bội b và ta tìm được Un = bn-1U1 = bn-1(1-a) = bn. Từ đó dẫn đến phương trình Fn - aFn-1 = bn-1. Dùng phương pháp của bài toán 2, ta tìm được công thức
	.
Công thức này được gọi là công thức Binet.
Chú ý rằng qua lời giải trên, ta có công thức tổng quát của dãy số sẽ có dạng Fn = c1an + c2bn trong đó c1, c2 là các hằng số. Dựa vào tính chất này, ta có thể tìm được công thức tổng quát cho dãy số mà không cần thực hiện các phép biến đổi như trong các lời giải trên, mà chỉ cần tìm c1, c2 từ hệ phương trình
	F0 = c1 + c2 và F1 = c1a + c2b
Từ các lý luận trên, ta có thể tổng quát hoá thành một định lý.
Định lý (về nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính bậc 2). Xét dãy số xn xác định bởi x1 = x1, x2 = x2 (tức là các số hạng này được cho trước) và 
	xn+1 = axn + bxn-1 	(1)
Giả sử phương trình x2 – ax – b = 0 (2) có hai nghiệm phân biệt a, b. Khi đó công thức tổng quát của dãy số xn sẽ có dạng xn = c1an + c2bn trong đó c1, c2 là các hằng số xác định bởi các điều kiện ban đầu, cụ thể là từ hệ phương trình
Ghi chú: Phương trình (2) được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình sai phân (1). Ý nghĩa của thuật ngữ sai phân và phương trình sai phân chúng ta sẽ đề cập tới trong bài sau.
Câu hỏi 2. Nếu phương trình (2) có nghiệm kép a = b thì sao?
4. Thuật ngữ tiếng Anh
Dãy số: Sequence
Dãy số hữu hạn: Finite sequence
Dãy số vô hạn: Infinite sequence
Cấp số: Progression
Số hạng: term (first term, last term, kth-term)
Công sai: Common difference
Công bội: Common ratio
Cấp số cộng: Arithmetic progression
Cấp số nhân: Geometric progression 
Nghịch lý Zenon: Zenon’s paradox
Công thức tường minh: explicit formula
Công thức truy hồi: Recurrent formula (or relation)
5. Chỉ dẫn lịch sử
Phương pháp của Gauss: Đó là cách mà cậu bé Gauss khi còn nhỏ đã dùng để tính nhanh tổng 1 + 2 +  + 99 + 100.
Bài toán bàn cờ cổ Ấn Độ: Nhà hiền triết sau khi dạy Vua chơi cờ, được vua ban thưởng đã yêu cầu “Tôi chỉ cần ở ô thứ nhất lấy 1 hạt gạo, ô thứ hai lấy 2 hạt gạo, ô thứ ba lấy 4 hạt gạo, cứ thế cho đến ô cuối cùng”. Nhà vua hào hứng nhận lời và kết quả là nhà vua đã phải mở tất cả các kho gạo ra mà cũng không đủ. Bạn có thể hình dung con số đó lớn thế nào không?
Nghịch lý Zenon: Thời cổ đại người ta đưa ra lý luận là nếu Achiles chấp con rùa 1 đoạn s thì anh ta sẽ không thể đuổi kịp rùa, cho dù anh ta chạy nhanh gấp đôi rùa. Lý luận đó dựa trên “cơ sở” là t + t/2 + t/4 + t/8 +  à ¥. 
Định lý Dirichlet (1837). Nếu một cấp số cộng gồm các số nguyên dương có số hạng đầu vào công sai nguyên tố cùng nhau thì cấp số đó chứa vô số số nguyên tố.
Định l