Bài giảng luyện thi Tổ hợp

đi từ Vinh về HT?
Tổng quát ta có quy tắc:
Nếu một phép chọn được thực hiện n bước liên tiếp. Trong đó:
	Bước 1 có m1 cách chọn
	Bước 2 có m2 cách chọn
	..
	..
	Bước n có mn cách chọn
Thì phép chọn được thực hiện m1.m2 mn cách khác nhau.
Ví dụ. Với 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt và là
Số lẽ
Số chẵn.
Ví dụ. Với 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt và là
Số lẽ
Số chẵn.
III. Hoán vị. 
1. Định nghĩa. Cho tập A gồm n phần tử . Mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần tử của A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Ví dụ. 
Ví dụ. 1) Hỏi có mấy cách sắp xếp 5 học sinh ngồi vào một bàn? Có P5 = 5! cách.
	2) Hỏi có mấy cách sắp xếp 6 người ngồi vào một bàn tròn?
	Hai cách ngồi được xem là như nhau nếu cách này có thể nhận đươc từ cách kia bằng cách quay bàn đi một góc nào đó. Vậy có cách. ( vẽ hình minh họa)
IV. Chỉnh hợp. 
1. Định nghĩa. Cho một tập A có n phần . Một bộ gồm k phần tử sắp thứ tự của tập A được gọi một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A.
Ví dụ. 
2. Định lí. Kí hiệu chỉnh hợp chập k của n phần tử là , thì ta có
	 .
C/M: 
1
2
3
.
k
n
n-1
n-2
.
?
 Ví dụ. Có mấy cách chọn và sắp thứ tự 5 cầu thủ đá luân lưu 11m. Biết rằng khả năng đá 11m của 11 cầu thủ là như nhau. 
Ví dụ. Từ các chữ số 1, 3, 5, 7, 8 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau.
V. Tổ hợp.
1. Định nghĩa. Cho tập A gồm n phần tử. Một tập con k phần tử của A được gọi là tổ hợp chập k của n phần tử của A.
2. Định lí. Kí hiệu là tổ hợp chập k của n phần tử thì ta có. 
C/M: Các chỉnh hợp chập k nếu khác nhau về thứ tự thì được coi như cùng một tổ hợp chập k của n phần tử. Vậy nếu đem một tổ hợp chập k này hoán vị theo một cách nào đó thì được k! chỉnh hợp, tức là 
Ví dụ. Một hộp có 10 viên bi. Lấy ngẫu nhiên 4 viên. Hỏi có mấy cách lấy?
3. Tính chất. 
Bài 2. Các dạng bài tập về tổ hợp
Dạng 1. Rút gọn biểu thức.
Kiến thức. 0! = 1
	1! = 1
	n! = n(n-1)(n-2)3.2.1
Ví dụ. Rút gọn các biểu thức sau:
Dạng 2. Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình.
Ví dụ. Giải các phương trình sau:
Ví dụ. Giải các bất phương trình sau:
Ví dụ. Giải các hệ phương trình và hệ bất phương trình sau:
Dạng 3. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức.
Kiến thức. 
Bài tập.
VD1. 
Dạng 4. Bài toán đếm.
* Bài toán 1. Đếm số các chữ số thỏa mãn tính chất K hình thành từ một tập số.
Ví dụ 1. Cho . Tìm tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ E sao cho
	a) Các chữ số đều khác nhau? 
	b) Chữ số đầu tiên là chữ số 3? ( QT nhân)
	c) Chữ số tận cùng không là số 4? (QT nhân)
	d) Các chữ số khác nhau và là số chẵn?
	HD: Số cuối có 3 cách chọn. 4 số còn lại là chỉnh hợp chập 4 của 6. Áp dụng quy tắc nhân.
	e) Các chữ số khác nhau trong đó phải có chữ số 7?
	HD: + Số có 5 chữ số khác nhau lấy từ E là 
	 + Số có 5 chữ số khác nhau lấy từ E không có chữ số 7 là 
	Suy ra: Số các số có 5 chữ số khác nhau và có mặt chữ số 7 là số.
	f) Các chữ số khác nhau trong đó có chữ số 7 và chữ số hàng ngàn là 1?
Ví dụ 2. Cho . Có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số phân biệt thỏa mãn
	a) Không bắt đầu bằng chữ số 1?
	b) Không bắt đầu bằng chữ số 123?
HD: + Số các số có 5 chữ số phân biệt lấy từ E là 
	+ Số các số có 5 chữ số khác nhau lấy từ E và bắt đầu bằng chữ số 1 là 1. 
	+ Số các số có 5 chữ số khác nhau lấy từ E và bắt đầu bằng chữ số 123 là 1. 
Kết luận
Ví dụ 3. Cho . Có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số thỏa mãn
Phân biệt?
Trong đó hai chữ số kề nhau phải khác nhau?
Ví dụ 4. Cho . Có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau vàthỏa mãn
Là số chẵn?
Một trong 3 số đầu tiên phải là số 1?
Số đó phải chia hết cho 5?
* Bài toán 2. Đếm số phương án.
Ví dụ 1. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có mấy cách phân công đội về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và một nữ.
Ví dụ 2. Một bộ bài Túlơkhơ 52 con. Rút ra 5 con, có bao nhiêu cách chọn mà có ít nhất 2 con át?
Ví dụ 3. Một nhóm học sinh 12 em, gồm 5 hs lớp A, 4 hs lớp B và 3 hs lớp C. Cần chọn 4 hs đi làm nhiệm vụ sao cho 4 hs này không quá hai lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
GV: Nếu làm xuôi thì có nhiều phương án chọn thỏa mãn...
 + Số cách chọn 4 hs trong 12 hs là 
 + Số cách chọn 4 hs trong 12 hs mà mỗi lớp có ít nhất 1 hs được tính như sau:
	* 2 hs lớp A + 1 hs lớp B + 1 hs lớp C có 
	* 2 hs lớp B + 1 hs lớp A + 1 hs lớp C có 
	* 2 hs lớp C + 1 hs lớp B + 1 hs lớp A có 
Vậy số cách chọn 4 hs trong 12 hs mà mỗi lớp có ít nhất 1 hs 120+ 90+ 60 = 270 cách
Số cách chọn phải tìm là 495 – 270 = 225 cách.
Ví dụ 4. Trong một môn học GV có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dễ. Có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra từ 30 câu hỏi đó sao cho mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, có đủ 3 loại ( khó, tb, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2 ?
	 Hướng dẫn.
Ví dụ 5. Một người có 12 cuốn sách đôi một khác nhau gồm 5 sách Truyện, 4 sách Nhạc và 3 sách Ngoại ngữ. Người đó lấy 6 cuốn tặng đều cho 6 người. Hỏi có bao nhiêu cách tặng mà sau khi tặng xong thì mỗi loại sách còn ít nhất một cuốn?
HD: Ta để ý rằng tổng 2 loại sách nào cũng lớn hơn 6 nên sau khi tặng 6 cuốn thì không thể hết tới 2 loại sách.
	- Số cách chọn 6 sách từ 12 sách khác nhau cho 6 người là .
	- Ta loại đi các trường hợp;
	+ Tặng hết sách Truyện có ( Chọn 5 người trong 6 người để tặng 5 sách truyện có , chọn 1 sách trong 9 sách để tặng cho người còn lại có )
	+ Tặng hết sách Nhạc có 
	+ Tặng hết sách NN có 
Vậy số cách tặng cần tìm là 665280 – (5040 + 20160 + 60480)=579600 cách.
Ví dụ 6. Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lí nam. Có bao nhiêu cách lập đoàn công tác 3 người mà có nam có nữ và có Toán có Lí.
Chọn 2 nữ Toán + 1 Lí nam
Chọn 1 nữ Toán + 2 Lí nam
Chọn 1 nữ Toán + 1 nam Toán + 1 Lí nam
Ví dụ 7. Một hộp đựng 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi xanh. Chọn ra 4 viên bi. Có bao nhiêu cách chọn mà không có đủ 3 màu.
Tổng số 15 bi chọn ra 4 bi có cách
Ta loại đi các trường hợp chọn 4 bi mà đủ 3 màu.
+ 2 đỏ + 1 trắng + 1 xanh
+ 1 đỏ + 2 trắng + 1 xanh
+ 1 đỏ + 1 trắng + 2 xanh.
Ví dụ 8. Cho tập A gồm n phần tử . Biết rằng số tập con 4 phần tử bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử. Tìm số nguyên dương k sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất?
Số tập con k phần tử của A là 
Theo (gt) ta có 
Do nên 
Vậy k = 9 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 9. Cho đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp trong đường tròn (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n đỉnh đã cho nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh đã cho. Tìm n.
Số tam giác có 3 đỉnh chon từ 2n đỉnh là .
2n đỉnh cách đều nhau nội tiếp trong (O) có n đường chéo là n đường kính, 2 đường kính bất kì nào cũng tạo 1 hình chữ nhật. Vậy số hình chữ nhật có 4 đỉnh trong 2n đỉnh là 
Theo (gt) ta có 
Ví dụ 10. Cho đa giác đều H có 20 cạnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác nội tiếp H mà không có cạnh nào là cạnh của H?
GV: Vẽ hình minh họa.
Tổng số tam giác có đỉnh là đỉnh của H là 
Số tam giác có 2 cạnh là cạnh của H là 20
Số tam giác có 1 cạnh là cạnh của H là 20. 
§. NHỊ THỨC NEWTON
I. Kiến thức:
Bài tập về giá trị của hệ số trong khai triển nhị thức Newton.
 § XÁC SUẤT.
 I. Kiến thức:
 - Không gian mẫu : 
- Biến cố A liên quan đến phép thử T. 
- Biến cố chắc chắn là tập 
- Biến cố không xảy ra là tập .
- Xác suất của biến cố A, 
 Tính chất: 
- 
- 
- Biến cố đối của biến cố A là biến cố không A, kí hiệu là .
 + 
 + Hai biến cố đối nhau thì xung khắc, điều ngược lại không đúng.
- Hai biến cố A, B đgl độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra A không liên quan đến B.
 - .
II. Bài tập:
Ví dụ 1. Một hộp đựng 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Chọn ra 4 bi từ hộp đó. Tính xác suất để trong 4 bi lấy ra không có đủ cả ba màu?
HD: - Số cách lấy 4 bi trong 15 bi là: 
 - Các trường hợp chọn được 4 bi có đủ 3 màu
 + 2 đỏ + 1 trắng + 1 vàng : 
 + 1 đỏ + 2 trắng + 1 vàng : 
 + 1 đỏ + 1 trắng + 2 vàng : 
 - Số cách chọn không có đủ 3 màu là 
 - Xác suất cần tìm là
 Ví dụ 2. Một tổ có 9 hs nam và 3 hs nữ. Chia tổ thành 3 nhóm mỗi nhóm 4 người. Tính xác suất để sau khi chia nhóm nào cũng có nữ.
Tổng số cách chia? 
Tổng số cách chia mà tổ nào cũng có nữ ? 
Xác suất cần tìm là
Ví dụ 3. Hai máy bay ném bom một mục tiêu, một máy ném một quả với xác suất trúng mục tiêu tương ứng là 0,7 và 0,8. Tìm xác suất để mục tiêu bị trúng bom.
A= “ máy bay thứ nhất ném trúng mục tiêu”
B= “máy bay thứ hai ném trúng mục tiêu”
 Lúc đó .
Vì A, B độc lập nhau nên P(AB)= P(A).P(B) và 
Ví dụ 4. Trong 12 cái quạt giống nhau có 4 cái hỏng. Lấy ngẫu nhiên ra 3 cái. Tính xác suất để được ít nhất m