Bài giảng Hình học Lớp 8 - Chương III - Bài 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Chương III 
TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 
Bài 8 
Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông 
Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác đã học 
Cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c) 
Cạnh – góc – cạnh (c.g.c ) 
Góc – góc (g.g) 
Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng. 
Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, thì hai tam giác đó đồng dạng. 
Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau. 
 A’B’C’ và  ABC có: 
 A’B’C’ và  ABC có: và 
 A’B’C’ và  ABC có: và 
 A’B’C’  ABC (c.c.c) 
 A’B’C’  ABC (c.g.c) 
 A’B’C’  ABC (g.g) 
Khi hai tam giác là hai tam giác vuông 
Cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c) 
Cạnh – góc – cạnh (c.g.c ) 
Góc – góc (g.g) 
Khi hai tam giác là hai tam giác vuông 
Cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c) 
Cạnh – góc – cạnh (c.g.c ) 
Góc – góc (g.g) 
Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau. 
 A’B’C’ và  ABC có: hoặc 
 A’B’C’  ABC (g.g) 
Khi hai tam giác là hai tam giác vuông 
Cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c) 
Cạnh – góc – cạnh (c.g.c ) 
Góc – góc (g.g) 
Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng. 
 A’B’C’ và  ABC có: 
Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau. 
 A’B’C’ và  ABC có: hoặc 
 A’B’C’  ABC (g.g) 
 A’B’C’  ABC (c.g.c) 
Khi hai tam giác là hai tam giác vuông 
Cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c) 
Cạnh – góc – cạnh (c.g.c ) 
Góc – góc (g.g) 
Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng. 
 A’B’C’ và  ABC có: 
Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau. 
 A’B’C’ và  ABC có: hoặc 
 A’B’C’  ABC (g.g) 
 A’B’C’  ABC (c.g.c) 
? 
? 
Khi hai tam giác là hai tam giác vuông 
Cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c) 
Chứng minh:  A’B’C’  ABC 
Cụ thể , với , ta suy ra: 
? 
 A’B’C’ và  ABC có: 
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 
Ta lại có: 
và (suy ra từ Định lí Py-ta-go). 
Do đó: 
Vậy  A’B’C’  ABC (c.c.c). 
Khi hai tam giác là hai tam giác vuông 
Cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c) 
Cạnh – góc – cạnh (c.g.c ) 
Góc – góc (g.g) 
Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng. 
 A’B’C’ và  ABC có: 
Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau. 
 A’B’C’ và  ABC có: hoặc 
 A’B’C’  ABC (g.g) 
 A’B’C’  ABC (c.g.c) 
Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng. 
 A’B’C’ và  ABC có: 
 A’B’C’  ABC (c.c.c) 
1. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông 
Góc – góc (g.g ) 
Cạnh – góc – cạnh (c.g.c) 
Cạnh huyền – cạnh góc vuông ( ch-cgv) 
Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau. 
Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng. 
Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng. 
 A’B’C’ vuông tại A’ và  ABC vuông tại A có : 
 A’B’C’  ABC ( ch-cgv) 
 A’B’C’  ABC (g.g) 
 A’B’C’  ABC (c.g.c) 
 A’B’C’ vuông tại A’ và  ABC vuông tại A có : 
 A’B’C’ vuông tại A’ và  ABC vuông tại A có: hoặc 
Áp dụng. Tìm các cặp tam giác đồng dạng trong các hình vẽ sau: 
a) 
  ABC  DEF (g.g) 
a) 
Áp dụng. Tìm các cặp tam giác đồng dạng trong các hình vẽ sau: 
;  DEF  HIK (g.g) 
;  HIK  ABC (g.g). 
b) 
Áp dụng. Tìm các cặp tam giác đồng dạng trong các hình vẽ sau: 
b) 
Áp dụng. Tìm các cặp tam giác đồng dạng trong các hình vẽ sau: 
b) 
 XYZ  IJK (c.g.c 
hoặc ch-cgv ). 
Áp dụng. Tìm các cặp tam giác đồng dạng trong các hình vẽ sau: 
Cho hai tam giác A’B’C’ và ABC đồng dạng theo tỉ số k và hai đường cao tương ứng A’H’ , AH . Tính các tỉ số: 
a) b) 
a) A’B’C’  ABC theo tỉ số k . 
Lời giải 
(Cặp góc tương ứng). 
b) Ta có: 
Xét  A’B’H’ và  ABH có: 
 
 (CMT) 
 A’B’H’  ABH (g.g). 
(Cặp cạnh t.ư) 
và (Cặp cạnh t.ư). 
2. Tỉ số hai đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng 
Định lí 2 
Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng. 
Định lí 3 
Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng. 
3. Nhận xét 
Cho hai tam giác A’B’C’ và ABC đồng dạng theo tỉ số k có hai đường cao A’H’ , AH ; hai đường phân giác A’D’ , AD và hai đường trung tuyến A’M’ , AM . 
Ta có các tỉ số sau: 
4. Luyện tập 
Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H . 
a) Chứng minh: E HB  DHC . 
b) Chứng minh: 
a) Xét  EHB và  DHC có: 
Lời giải 
 (vì 
và 
 (Hai góc đối đỉnh). 
E HB  DHC (g.g). 
b) Sơ đồ phân tích 
 ADB  AEC 
 ADE  ABC 
c) Chứng minh: 
4. Luyện tập 
Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H . 
a) Chứng minh: E HB  DHC . 
b) Chứng minh: 
a) Xét  EHB và  DHC có: 
Lời giải 
 (vì 
và 
 (Hai góc đối đỉnh). 
E HB  DHC (g.g). 
c) Chứng minh: 
b) Sơ đồ phân tích 
 ADB  AEC 
4. Luyện tập 
Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H . 
a) Chứng minh: E HB  DHC . 
b) Chứng minh: 
a) Xét  EHB và  DHC có: 
Lời giải 
 (vì 
và 
 (Hai góc đối đỉnh). 
E HB  DHC (g.g). 
c) Chứng minh: 
b) Xét  ADB và  AEC có: 
 
 chung 
 ADB  AEC (g.g). 
(Cặp cạnh t.ư). 
4. Luyện tập 
Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H . 
 ADE  ABC 
Sơ đồ phân tích 
Lời giải 
(câu b đã CM) 
Ta có: (CMT) 
Xét  ADE và  ABC có: 
 (CMT) 
 chung 
 ADE  ABC (c.g.c). 
(Cặp góc t.ư). 
c) Chứng minh: 
4. Luyện tập 
Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H . 
d) Giả sử Kéo dài AH cắt BC tại I , kẻ tại M . 
i) Tính tỉ số 
 AEC vuông tại E có (GT) 
  AEC là tam giác vuông cân tại E . 
Áp dụng Định lí Py-ta-go trong tam giác vuông AEC có: 
Lời giải 
ii) Tính , biết cm 2 . 
i)  ABC có BD , CE là hai đường cao cắt nhau tại H . 
 hay 
ii) 
H là trực tâm  ABC. 
Gọi tỉ số đồng dạng của  ADE và 
 ABC là k 
AM , AI là hai đường cao tương ứng của 2 
 ADE và  ABC 
 ADE  ABC 
4. Luyện tập 
Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H . 
d) Giả sử Kéo dài AH cắt BC tại I , kẻ tại M . 
i) Tính tỉ số 
 AEC vuông tại E có (GT) 
  AEC là tam giác vuông cân tại E . 
Áp dụng Định lí Py-ta-go trong tam giác vuông AEC có: 
Lời giải 
ii) Tính , biết cm 2 . 
i)  ABC có BD , CE là hai đường cao cắt nhau tại H . 
 hay 
cm 2 . 
ii) 
H là trực tâm  ABC. 
Gọi tỉ số đồng dạng của  ADE và 
 ABC là k 
AM , AI là hai đường cao tương ứng của 2 
 ADE và  ABC 
 ADE  ABC 
A’B’C’ và ABC có 
A’B’C’ và ABC có 
A’B’C’ và ABC có 
- Tỉ số chu vi, hai đường cao, hai đường trung tuyến, hai đường phân giác tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng 
- Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng 
Tam giác đồng dạng 
Ứng dụng 
Chứng minh: 2 tam giác đồng dạng, 2 góc bằng nhau, hệ thức về cạnh, tính tỉ số đường cao, tỉ số diện tích và Các bài toán thực tế (Đo chiều cao, đo khoảng cách) 
TỔNG KẾT 
 A’B’C’  ABC (2 cgv) 
 A’B’C’ vuông tại A’ và  ABC 
vuông tại A có : 
 A’B’C’ vuông tại A’ và  ABC 
vuông tại A có : 
 A’B’C’  ABC ( ch-cgv) 
 A’B’C’ vuông tại A’ và  ABC 
vuông tại A có : 
 A’B’C’  ABC (g.g) 
HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ 
Làm các BT từ 44 đến 48 (SBT – trang 95) 
TRÂN TRỌNG CẢM ƠN 
VÀ HẸN GẶP LẠI