Bài giảng Đại số & Giải tích 11: Phương pháp quy nạp toán học

 Dãy sốCấp số cộng Cấp số nhân§2.§3.§4. CHƯƠNG III Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân §1. Phương pháp quy nạp Toán học§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌCHoạt động 1: Với n = 1,2,3,4,5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai b) nN* thì P(n) , Q (n) đúng hay sai P(n): “ n ” n = 1 : 2 > 1 (Đ) n = 2 : 4 > 2 (Đ) n = 3 : 8 > 3 (Đ) n = 4 : 16 > 4 (Đ) n = 5 : 32 > 5 (Đ)b) Q(n) có đúng với nN* không vẫn chưa kết luận được, vì ta không thể thử trực tiếp với mọi n .§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Bước 1:Bước 2:Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k  1 (gọi là giả thiết quy nạp). I. Phương pháp quy nạp Toán học:Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1.II. Ví dụ áp dụngVí dụ 1. Chứng minh rằng với n  N* thì 1 + 3 + 5 +  + (2n -1) = n2 (1)GiảiBước 1. Khi n = 1, VT chỉ có một số hạng bằng 1, VP = 12. Vậy hệ thức (1) đúng.Bước 2. Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = k  1, nghĩa là 1 + 3 + 5 +  + (2k -1) = k2 (giả thiết qui nạp). Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với n = k + 1, tức là 1 + 3 + 5 +  +(2k – 1)+[2(k + 1)-1]=(k + 1)2.Thật vậy, từ giả thiết qui nạp ta có 1 + 3 + 5 +  + (2k – 1) + [2(k + 1) -1] = k2 + [2(k + 1) -1] = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2.Vậy hệ thức (1) đúng với mọi n  N*.Ví dụ 2. Chứng minh rằng với n  N* thì n3 – n chia hết cho 3.Giải	Đặt An = n3 – n.Bước 1. Với n = 1, ta có A1 = 0 nên A1 chia hết cho 3.Bước 2. Giả sử với n = k ta có Ak = k3 – k chia hết cho 3 (giả thiết qui nạp). Ta phải chứng minh Ak+1 chia hết cho 3. Thật vậy, ta có Ak+1 = (k + 1)3 – (k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 – k – 1 = (k3 - k) + (3k2 + 3k) = Ak + 3(k2 + k).Theo giả thiết qui nạp ta có Ak chia hết cho 3, hơn nữa, 3(k2 + k) chia hết cho 3 nên Ak+1 chia hết cho 3.Vậy An = n3 – n chia hết cho 3. Chú ý Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n  p ( p là một số tự nhiên ) thì : Ở bước 1. Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p. Ở bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ n = k  p, chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1.Ví dụ 3CMR với số tự nhiên n ≥ 4. Ta có : 	 2n+1 > n2 + 3n (*)1) Khi n = 4 : VT = 32; VP = 28. Nên (*) đúng.Giải : 2) Giả thiết (*) đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ 4. Tức là : 2k+1 > k2 + 3k (**) Ta sẽ chứng minh (*) đúng với n = k + 1.Tức là : 2(k+1) + 1 > (k+1)2 + 3(k+1)Nhân 2 vế (**)cho 2 ta sẽ được: 2.2k+1 > 2(k2 + 3k) 2k+2 > 2k2 + 6k = 	(k + 1)2 + 3(k + 1) + k2 + k - 4 Vì k ≥ 4 nên k2 + k – 4 > 0 Do đó :2k+2 > (k + 1)2 + 3(k + 1) (đpcm). §1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Ví dụ 3. Cho hai số 3n và 8n với n N* a) So sánh 3n và 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5.b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng qui nạp. n3n?8n13829163272448132524340 Ví dụ 3. Cho hai số 3n và 8n với n N* a) So sánh 3n và 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5.b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng qui nạp. n3n?8n1324481>325243>40 Chứng minh rằng 3n > 8n với mọi n  3.GiảiBước 1. Khi n = 3 ta có 33 = 27 > 24 = 8.3Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k  3, nghĩa là 3k > 8k. Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là 3k+1 > 8(k+1). Thật vậy, ta có 3k+1 = 3.3k. Mà theo giả thiết qui nạp ta có 3k > 8k nên 3k+1 > 3.8k = 24k = 8k + 16k. Vì k  3 nên 16k  48. Do đó 3k+1 > 8k + 16k > 8k + 48 > 8k + 8 = 8(k + 1). Vậy 3n > 8n với mọi n  3. Nêu phương pháp qui nạp toán họcChú ý khi chứng minh mệnh đề đúng với số tự nhiên n ≥ pH­íng dÉn häc ë nhµCñng cèHọc thuộc và nắm chắc qui trình chứng minh bài toán bằng phương pháp qui nạpCác bài tập 1,2,3,4,5 tự luyện tậpBài 5: Đa giác lồi ít nhất mấy cạnh thì có đường chéo?Đọc bài : Bạn có biết Suy luận qui nạp§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌCBài 1 Chứng minh rằng với mọi nN*, ta có: Lời giải:+) Với n = 1, ta có đẳng thức (1) đúng.+) Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là (GTQN) Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:Thật vậy:Vậy với mọi nN*, ta có: Với n = 1 ta có: (Mệnh đề (2) đúng)Giả sử mệnh đề (2) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là:Ta phải chứng minh (2) đúng với n = k+ 1, tức là :Thật vậy:Vậy với mọi nN*, ta có: Bài 2Với n = 2, ta có VT(1) = 9 > 7 = VP(1), bất đẳng thức (3) đúngGiả sử bất đẳng thức (3) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là:Ta phải chứng minh bđt đúng với n = k+ 1, tức là :Thật vậy: theo giả thiết qui nạp có:Vậy:Bài 3Dặn dò:1/ Nhớ học bài.2/ BT 1, 2, 3, 4, 5 trang 82, 83 SGK.3/ Xem bài : “ BẠN CÓ BIẾT ? ”.Bài học đến đây kết thúc