Áp dụng cách tìm hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng vào bài toán khoảng cách trong không gian trong chương trình Hình học 11 - Đinh Đức Thịnh

1
 Người thực hiện : Đinh Đức Thịnh
 Giáo viên : Toán - THPT Ba Vì
 Ba vì , Tháng 05 - 2010
cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Sơ yếu lý lịch
Họ và tên : Đinh Đức Thịnh
Ngày tháng năm sinh : 22/04/1978
Năm vào ngành : 2001
Chức vụ và đơn vị công tác : Giáo viên trường THPT Ba -Hà Nội
Trình độ chuyên môn : ĐHSP Toán – Tin
Hệ đào tạo : Chính qui
Bộ môn giảng dạy : Toán
Ngoại ngữ : Tiếng Anh
Trình độ chính trị : Sơ cấp
Khen thưởng : chiến sĩ thi đua cấp cơ sở 
 năm học 2007-2008, 2008-2009 
Tên đề tài :
áp dụng cách tìm hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng vào bài toán khoảng cách trong không gian trong chương trình hình học 11
 I. Đặt vấn đề:
1. Cơ sở khoa học.
 	Trong chương trình Toán lớp 11 hiện nay, phần hình học không gian làm cho học sinh gặp nhiều khó khăn và lúng túng. Một trong những khó khăn mà học sinh hay gặp phải là sự khác nhau giữa hình phẳng mà học sinh đã quen ở các lớp dới với hình biểu diễn của hình không gian. Khi xét quan hệ vuông góc trong hình học phẳng và các bài toán liên quan học sinh có cái nhìn trực quan kết hợp với giả thiết, kết luận rồi suy ra lời giải. Nhưng đối với các bài toán về quan hệ vuông góc trong không gian, học sinh phải dựa trên các định nghĩa, định lí và hình biểu diễn để tìm lời giải nên học sinh gặp rất nhiều khó khăn. 
 	Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy khi gặp bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, giữa hai đường thẳng chéo nhau, giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song, học sinh thường làm bài theo các ví dụ, bài tập đã chữa chứ chưa thành thạo suy nghĩ xem nên vận dụng kiến thức nào để giải quyết bài toán. 
2. Mục đích:
 	Để tìm lời giải bài toán tính khoảng cách trong không gian thì trước hết phải xác định được các loại khoảng cách. Qua thực tế giảng dạy, tôi rút ra đợc một số kinh nghiệm nhỏ về việc hướng dẫn học sinh xác định các loại khoảng cách. Một thao tác hết sức quan trọng mà học sinh cần có là tìm đúng hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng xác định. Vì vậy, trong bài viết này tôi chủ yếu vận dụng phương pháp tìm hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng vào tìm khoảng cách trong không gian.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
 Để thực hiện đề tài này, tôi đã tiến hành giảng dạy phương pháp này tại lớp 11a3,11a6 của trường THPT Ba Vì năm học 2008 – 2009 và lớp 11a9 của trường THPT Ba Vì năm học 2009-2010.
4. Kế hoạch nghiên cứu :
 	Để so sánh đánh giá ,trong năm học2008-2009 tôi áp dụng phương pháp này cho 2 lớp 11a3, 11a6 vào tiết 44 (tiết thực hành). Không áp dụng cho lớp 11a9 ,11a10 . Năm học 2009-2010 áp dụng cho lớp 11a9 vào tiết 42 (tiết thực hành) không áp dụng cho lớp 11a8
II. nội dung đề tài:
1. Kiến thức cơ bản:
 1.1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
 1.2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
 hoặc 
 Định lí này cho chúng ta cách tìm hình chiếu của một điểm O lên mặt phẳng (Q) như sau:
 Bước 1: Xác định mặt phẳng (P) chứa O mà 
 Bước 2: Trong mặt phẳng (P) kẻ .
 Theo định lí thì 
 H là hình chiếu vuông góc của O trên (Q).
1.3. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P):
 Định nghĩa: Nếu H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (P) thì độ dài đoạn thẳng OH là khoảng cách từ O đến (P).
1.4. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song:
 Khi a // (P) thì khoảng cách giữa a và (P) là khoảng cách từ một điểm A bất kỳ trên a đến mặt phẳng (P).
1.5. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
 Nếu (Q) // (P) thì khoảng cách giữa (P) và (Q) là khoảng cách từ một điểm A bất kỳ trên (P) đến mặt phẳng (Q).
1.6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b:
 Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là độ dài đoạn vuông góc chung của a và b.
 Ngoài ra khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b còn được tính bằng:
 +) Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng và mặt phẳng song song với đường thẳng đó, chứa đường thẳng còn lại.
+) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
2. Một số bài toán điển hình
Bài toán 1: Tìm khoảng cách từ 1 điểm A tới một mặt phẳng (P) ( A(P))
Ví dụ 1: 
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA= a. Tính khoảng cách:
a, Từ A đến mp (SBD). 
b, Từ O đến mp (SCD).
 A
B
S
D
C
I
K
O
J
H
Nhận xét: 
 Từ hình vẽ và giả thiết của bài toán, học sinh rất khó phát hiện hình chiếu của A lên (SBD) và hình chiếu của O lên ( SCD). Nhưng nếu thực hiện theo các bước tìm hình chiếu đã nêu trên thì bài giải sẽ không còn mấy khó khăn.
 Chẳng hạn:
 a, Tìm hình chiếu của A lên (SBD):
 Bước 1: Theo giả thiết: 
 Lại có: (SAC) (SBD) = SO. (2) 
 Bước 2: Trong mp (SAC) kẻ AH SO. (3)
 Từ (1), (2) và (3) ta có: AH (SBD)
 H là hình chiếu vuông góc của A lên (SBD).
 Vậy AH là khoảng cách từ A đến (SBD).
áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAO.
Ta có: 
AH= 
b, Tính khoảng cách từ O đến (SCD) 
 Chọn mặt phẳng chứa O và vuông góc với (SCD) là (OIJ) trong đó I, J là trung điểm CD, SC. 
Ta có:
 K là hình chiếu của O lên (SCD) 
 OK là khoảng cách từ O đến (SCD).
áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OIJ ta có:
 = + = 
Ví dụ 2: 
 Cho hình lăng trụ có AA’ vuông góc với mp(ABC) và AA’= a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = a. 
Tính khoảng cách từ A đến (A’BC).
B’
 A’
C’
C
A
B
H
O
Nhận xét : ở đây có nhiều mặt phẳng chứa A nhưng để chọn mặt phẳng chứa A và vuông góc với mp (A’BC) ta phải chú ý tới giả thiết.
Từ giả thiết ACC’A’ là hình vuông.
hay mặt phẳng chứa A và vuông góc với (A’BC) là (ABC’)
Giải: 
 Ta có: 
Độ dài AH là khoảng cách từ A đến (A’BC)
áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABO
Ta có: ==
Bài toán 2: Tính khoảng cách giữa 1 đường thẳng và 1 mặt phẳng song song.
 Ví dụ 1: 
 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và tất cả các cạnh bên bằng a . Tính khoảng cách giữa AB và mp(SCD). 
A
B
S
D
C
J
O
H
I
Nhận xét: 
 Nên khoảng cách giữa AB và (SCD) là khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ trên AB đến (SCD).Gọi I là trung điểm AB
 Ta chứng minh được: (SOI) ^ CD (SOI) (SCD)
Vậy mặt phẳng chứa I và vuông góc với (SCD) là (SOI).
 Gọi J là trung điểm của CD. Ta có:
 IH là khoảng cách từ I đến (SCD).
Trong DSIJ ta có: 2dtDSIJ = SO. IJ = IH. SJ
 IH = = 
Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a và có cạnh SA vuông góc với đáy (ABCD), SA = a. Tính khoảng cách từ AD tới mặt phẳng (SBC).
 A
E
B
C
H
S
D
Nhận xét: 
 Ta có: AD // BC AD // (SBC)
 Vậy khoảng cách giữa AD và (SBC) bằng khoảng cách từ A đến (SBC).
Để tính khoảng cách từ A đến (SBC) ta đi tìm hình chiếu của A trên (SBC).
Giải:
 Mà BC (SBC) (2)
Vậy H là hình chiếu của A lên (SBC).
AH là khoảng cách từ A đến (SBC)
áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAE
 Vì éABC = 120o éABE = 60o
Trong tam giác vuông AEB có: AE = AB.sin60o = 
Vậy =+= 
Bài toán 3: 
 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.
Ví dụ:
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a; SA vuông góc với đáy và SA = a. Tính khoảng cách giữa AC và SD.
 D
A
S
B
C
I
E
O
Nhận xét:
 Hai đường thẳng AC và SD chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau nên ta dùng cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.
Giải:
 Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ Dt // AC (S, Dt) // AC
 Vậy khoảng cách giữa AC và SD bằng khoảng cách giữa AC và (S, Dt)
bằng khoảng cách giữa A và (S, Dt).
Trong mp (ABCD) kẻ AI Dt
 SI Dt (Định lí ba đường vuông góc).
 (S, Dt) (SAC) (1)
 Lại có: (S, Dt) (2)
trong mp(SAI): kẻ AESI (3)
 Từ (1), (2) và (3) ta có: AE(S, Dt)
Nên E là hình chiếu của A trên (S, Dt)
 Vậy AE là khoảng cách từ A đến (S, Dt).
áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAI
Theo giả thiết và cách xác định Dt ta có: AI = DO = 
Do đó: 
AE = 
 Ví dụ tổng hợp:
 Ví dụ 1:
 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D với AB = 2a; AD = DC = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Tính khoảng cách:
Từ A đến (SCD).
Từ D đến (SCD).
Giữa AB và (SCD).
Giữa SD và AB.
Giữa SD và BC.
Giữa SC và AB.
Giữa SC và AB.
Ví dụ 2: (Đề thi Học viện Hành chính quốc gia năm 2001-2002)
 Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA(ABC).
 Đặt SA= h. Tính khoảng cách từ A đến (SBC) theo a và h.
 3. Kết quả thực hiện :
 	Sau khi thực hiện đề tài, tôi đã kiểm tra đối với 2 lớp đươc áp dụng phương pháp này trong năm học 2008-2009 : lớp 11a3 có 31 em làm bài đạt yêu cầu, 11a6 có 28 em làm bài đat yêu cầu.
Còn 2 lớp không được áp dụng phương pháp này : lớp 11a9 chỉ có 7 em , lớp 11a10 có 11 em làm bài đạt yêu cầu. Trong năm học 2009-2010 : lơp 11a9 có 35 em làm bài đạt yêu cầu, lớp 11a8 không áp dụng phương pháp này chỉ có 13 em làm bài đạt yêu cầu.
III. Kết luận và khuyến nghị: 
 Trong bài viết này tôi chỉ áp dụng các bước tìm hình chiếu của 1 điểm trên mặt phẳng và xác định khoảng cách sau đó áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách. Đây không phải là cách duy nhất để giải dạng toán này. Từ định nghĩa các loại khoảng cách trong không gian kết hợp giả thiết của bài toán mà người học linh hoạt vận dụng phương pháp giải cho phù hợp. Tôi rất mong đợc sự góp ý của các thầy cô giáo. 
 Tôi xin chân thành cảm ơn!
 	Ba Vì , ngày 15 tháng 05 năm 2010
 	 Tác giả
 Đinh Đức Thịnh
V. Tài liệu tham khảo
Sách bài tập hình học 11.
Bộ đề thi tuyển sinh đại học chuyên đề hình học không gian.
Đánh giá xếp loại của hội đồng khoa học ngành giáo dục 
......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................