30 Đề thi Học sinh giỏi môn Toán Lớp 6

Bài 3.
Nếu a dương thì số liền sau cũng dương.
Ta có: Nếu a dương thì a>0 số liền sau a lớn hơn a nên cũng lớn hơn 0 nên là số dương
b)Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm.
Ta có: Nếu a âm thì a<0 số liền trước a nhỏ hơn a nên cũng nhỏ hơn 0 nên là số âm.
Bài 4 (2đ). Trong các số đã cho ít nhất có 1 số dương vì nếu trái lại tất cả đều là số âm thì tổng của 5 số bất kỳ trong chúng sẽ là số âm trái với giả thiết.
Tách riêng số dương đó còn 30 số chi làm 6 nhóm. Theo đề bài tổng các số của mỗi nhóm đều là số dương nên tổng của 6 nhóm đều là số dương và do đó tổng của 31 số đã cho đều là số dương.
Bài 5 (2đ): Vì có 11 tổng mà chỉ có thể có 10 chữ số tận cùng đều là các số từ 0 , 1 ,2, ., 9 nên luôn tìm được hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau nên hiệu của chúng là một số nguyên có tận cùng là 0 và là số chia hết cho 10.
Bài 6 (1,5đ).Ta có: và tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz nên vậy 
Do tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz và nên Ox’ là tia phân giác của góc hợp bởi hai tia Oy, Oz.
Tương tự tia Oy’ (tia đối của Oy) và tia Oz’ (tia đối của tia Oz) là phân giác của góc xOz và xOy.
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ IV
Câu 1. a). 2A = 8 + 2 3 + 2 4 + . . . + 2 21. 
=> 2A – A = 2 21 +8 – ( 4 + 2 2 ) + (2 3 – 2 3) +. . . + (2 20 – 2 20). = 2 21.
 b). (x + 1) + ( x + 2 ) + . . . . . . . . + (x + 100) = 5750
=> x + 1 + x + 2 + x + 3 + . . . . . . .. . .. . . . + x + 100 = 5750
=> ( 1 + 2 + 3 + . . . + 100) + ( x + x + x . . . . . . . + x ) = 5750
 101 x 50 + 100 x = 5750
 100 x + 5050 = 5750
	100 x = 5750 – 5050 
	100 x = 700
 	x = 7
Câu 2. a) = 9999 +∶ 11.
 b). 10 28 + 8 ∶ 9.8 ta có 10 28 + 8 ∶ 8 (vì có số tận cùng là 008) 
nên 10 28 + 8 ∶ 9.8 vậy 10 28 + 8 ∶ 72
Câu 3. Gọi số giấy mỗi lớp thu được là x (Kg) thì ( x-26) ∶ 11 và ( x-25) ∶10.
Do đó (x-15) Î BC(10;11) và 200 x 300 => x-15 = 220 => x = 235.
Số học sinh lớp 6A là: (235 – 26) : 11 + 1 = 20. hs
Số học sinh lớp 6B là: (235 – 25) : 10 + 1 = 22 hs.
Câu 4. Số thứ nhất bằng: : = (số thứ hai) 
	Số thứ ba bằng: : = (số thứ hai)
Tổng của 3 số bằng (số thứ hai) = (số thứ hai)
Số thứ hai là : 210 : = 66 ; số thứ nhất là: . 66 = 63 ; số thứ 3 là:.66 = 81
Câu5: Đường thẳng a chia mặt phẳng ra hai nửa mặt phẳng
 Xét 3 trường hợp
a). Nếu cả 4 điểm A, B, CD thuộc cùng một nửa mặt phẳng thì a không cắt đoạn thẳng nào.
b). Nếu có 1 điểm ( Chẳng hạn điểm A thuộc nửa mặt phẳng) ba điểm B, C, D thuộc nửa mặt phẳng đối thì đường thẳng a cắt ba đoạn thẳng AB, AC, AD
c). Nếu có 2 điểm chẳng hạn (A và B) thuộc một nửa mặt phẳng hai điểm kia (C và D) thuộc mỗi mặt phẳng đối thì a cắt bốn đoạn thẳng AC, AD, BC, BD 
HƯỚNG DẪN ĐỀ SỐ V
Bài 1 (3đ): 
	a) Ta có 222333 = (2.111)3.111 = 8111.(111111)2.111111	(0,5đ)
	333222 = (3.111)2.111 = 9111.(111111)2 (0,5đ)
Suy ra: 222333 > 333222
	b) Để số 36 ( 0 x, y 9 , x, y N ) 
	(0,5đ)
	(x+y+2) 9 => x+y = 7 hoặc x+y = 16 => x = 	(0,25đ)
Vậy ta có các số: 16812; 14832; 12852; 10872; 19872; 17892	(0,25đ)
	c) Ta có a > 28 => ( 2002 - 1960 ) a => 42 a	(0,5đ) 
	=> a = 42	 (0,5đ)
Bài 2 (2đ):
	a) Ta có 32S = 32 + 34 + ... + 32002 + 32004 (0,5đ)
Suy ra: 8S = 32004 - 1 => S = 	(0,5đ)
	b) S = (30 + 32 + 34 ) + 36(30 + 32 + 34 ) + ... + 31998(30 + 32 + 34 ) =
	= (30 + 32 + 34 )( 1 + 36 + ... + 31998 ) 
	= 91( 1 + 36 + ... + 31998 ) (0,75đ) suy ra: S 7 (0,25đ)
Bài 3 (2đ): Gọi số cần tìm là: a 
	Ta có a = 29q + 5 = 31p +28 (0,5đ) 29(q - p) = 2p + 23
	Vì 2p + 23 lẻ nên( q - p) lẻ => q - p 1. (0,75đ)
	Vì a nhỏ nhất hay q - p = 1 => p = 3; => a = 121 (0,5đ)
	Vậy số cần tìm là 121 (0,25đ)
Bài 4 (3đ): 
	a) theo giả thiết C nằm trong góc AOB nên
tia OC nằm giữa hai tia OB và OA
=> góc AOC + góc BOC = góc AOB
=> góc AOC = góc AOB - góc BOC
=> góc AOC = 1350 - 900 = 450
	b) vì OD là tia đối của tia OC nên C, O, D thẳng hàng. Do đó góc DOA + góc AOC = 1800 (hai góc kề bù)
=> góc AOD = 1800 - góc AOC = 1800 - 450 => góc AOD = 1350
góc BOD = 1800 - 900 = 900
	Vậy góc AOD > góc BOD
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ VI
 Bài 1: 
1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: ( 1 điểm )
Để tìm chữ số tận cùng của các số chỉ cần xét chữ số tận cùng của từng số :
a) 571999 ta xét 71999
Ta có: 71999 = (74)499.73 = 2041499. 343 Suy ra chữ số tận cùng bằng 3 ( 0,25 điểm )
ỵVậy số 571999 có chữ số tận cùng là : 3
b) 931999 ta xét 31999
Ta có: 31999 = (34)499. 33 = 81499.27
Suy ra chữ số tận cùng bằng 7 (0,25 điểm )
2. Cho A = 9999931999 - 5555571997 . chứng minh rằng A chia hết cho 5 
Để chứng minh A chia hết cho 5 , ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của từng số hạng.
Theo câu 1b ta có: 9999931999 có chữ số tận cùng là 7
Tương tự câu 1a ta có: (74)499.7 =2041499.7 có chữ số tận cùng là 7 ( 0,25 điểm )
Vậy A có chữ số tận cùng là 0, do đó A chia hết cho 5.	 ( 0,25 điểm )
3 (1 điểm )Theo bài toán cho a <b nên am < bm ( nhân cả hai vế với m) ( 0,25 điểm )
 Þ ab +am < ab+bm ( cộng hai vế với ab) ( 0,25 điểm )
Þ a(b+m) < b( a+m) 
Þ 
4.(1 điểm )
Ta nhận thấy , vị trí của các chữ số thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở hàng chẵn và vì ba chữ số đó đôi một khác nhau, lấy từ tập hợp nên tổng của chúng luôn bằng 1+2+3=6.
Mặt khác 396 = 4.9.11 trong đó 4;9;11 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta cần chứng minh 
A = chia hết cho 4 ; 9 và 11.
Thật vậy :
+A 4 vì số tạo bởi hai chữ số tận cùng của A là 16 chia hết cho 4 ( 0,25 điểm )
+ A 9 vì tổng các chữ số chia hết cho 9 :
1+5+5+7+1+4+1+6+(*+*+*)=30+6=36 chia hết cho 9 ( 0,25 điểm )
+ A 11 vì hiệu số giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ là 0, chia hết cho 11.
{1+5+7+4+1)-(5+1+6+(*+*+*)}= 18-12-6=0 ( 0,25 điểm )
Vậy A 396
5(4 điểm )
a) (2 điểm ) Đặt A= (0,25 điểm )
Þ 2A= (0,5 điểm )
Þ 2A+A =3A = 1- (0,75 điểm )
Þ 3A < 1 Þ A < (0,5 điểm )
b) Đặt A= Þ3A= 
1-
 (0,5 điểm )
Þ 4A = 1- Þ 4A< 1- (1) (0,5 điểm )
Đặt B= 1- Þ 3B= 2+ (0,5 điểm )
4B = B+3B= 3- < 3 Þ B < (2)
Từ (1)và (2) Þ 4A < B < Þ A < (0,5 điểm )
Bài 2 ( 2 điểm )
a) (1 điểm )Vì OB <OA ( do b<a) nên trên tia Ox thì điểm B nằm giữa điểm O và điểm A. Do đó: OB +OA= OA
Từ đó suy ra: AB=a-b.
O
B
A
x
b)(1 điểm )Vì M nằm trên tia Ox và OM = 
 = OB + 
Þ M chính là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AM = BM
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ VII
A. PHẦN SỐ HỌC
Câu 1: a, Ta thấy; 
Vậy; 
b, Ta phải chứng minh , 2. x + 3 . y chia hết cho 17, thì 9 . x + 5 . y chia hết cho 17
 Ta có 4 (2x + 3y ) + ( 9x + 5y ) = 17x + 17y chia hết cho 17
Do vậy ; 2x + 3y chia hết cho 17 4 ( 2x +3y ) chia hết cho 17 9x + 5y chia hết cho 17
Ngược lại ; Ta có 4 ( 2x + 3y ) chia hết cho 17 mà ( 4 ; 17 ) = 1 
 2x + 3y chia hết cho 17
Câu 2 ; Ta viết lại A như sau :
A= + 
 = + = 1
Câu 3; a, ( ) . x = 
 . x = x = 2
b, = 
=> a =1 ; b = 2 ; c = 3 ; d = 4
Câu 4; Ta có (q1, q2 N ) 
Từ ( 2 ) , ta có 9 . a = 1080 . q2 + 704 + a ( 3 )
Kết hợp ( 1 ) với ( 2 ) , ta được a = 1080 . q – 180
Vì a nhỏ nhất, cho nên, q phải nhỏ nhất y t
 => q = 1 => a = 898
B- PHẦN HÌNH HỌC
Câu 1; Gọi Ot , Ot, là 2tia phân giác của 2 t,
kề bù góc xOy và yOz
Giả sử , xOy = a ; => yOz = 180 – a
Khi đó ; tOy = a t,Oy = ( 180 – a) z x
=> tOt, = = 900 O 
Câu 2; Giả sử trong 20 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Khi đó, số đường thẳng vẽ được là; 19 . 20:2 = 190
Trong a điểm, giả sử không có 3 điểm nào thẳng hàng.Số đường thẳng vẽ được là ; (a – 1 ) a : 2 . Thực tế, trong a điểm này ta chi vẽ được 1 đường thẳng. Vậy ta có ; 190 – ( a- 1)a : 2 + 1 = 170
 => a = 7
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ VIII
Bài 1 : Có 9 số có 1 chữ số từ 1 đến 9 ( 0.25đ)
	 Có 90 số có 2 chữ số từ 10 đến 99 (0.5đ)
	 Có 900 số có 3 chữ số từ 100 đến 999 (0.5đ)
Các số có 4 chữ số là từ 1000 đến 2006 có : 
2006 - 1000 + 1 = 1007 số (0.5đ)
Số chữ số của số tự nhiên L là : 
9 + 90.2 + 900.3 + 1007.4 = 6917 (chữ số ) (1.25đ) 
Bài 2 : Có 900 số có 3 chữ số từ 100 đến 999 (0.25đ)
Ta chia 900 sô thành 9 lớp , mỗi lớp có 100 số (0.25đ) có cùng chữ số hàng trăm .
Lớp thứ nhất gồm 100 số từ 100 đến 199 
Lớp thứ hai gồm 100 số từ 200 đến 299 
Lớp thứ 9 gồm 100 số từ 900 đến 999 (05đ)
Xét 9 lớp thì lớp thứ 4 cả 100 số đều có chữ số 4 ở hàng trăm .
8 lớp còn lại hàng trăm khác 4 nên chữ số 4 nếu có thì ở hàng chục và hàng đơn vị (0.25đ) . 
Xét lớp thứ nhất thì các số có chữ số 4 làm hàng đơn vị gồm : 104, 114194 (có 10 số ) (05đ)
các số có 4 chữ số làm hàng chục là 
140,141,142,..149 (có 10 số) (0.5đ)
Nhưng số 144 có mặt ở trong cả 2 trờng hợp vậy ở lớp thứ nhất số lợng số có chữ số 4 là : 
10 + 10 - 1 = 19 (số)	(0.25đ)
Bảy lớp còn lại cũng theo quy luật ấy . Vậy số lợng số có 3 chữ số có chữ số 4 là :
100 + 19.8 = 252 số 	(0.5đ)
Bài 3 : Ta dùng các số 1; 2; 3 .để đánh số cho các ô phần đầu băng ô (0.25đ) .
 1	 2	 3	4	 5	 6	 7	 8 9 10
28
17
19
36
28
17
19
36
28
17
Vì các ô số 4; 5; 6; 7 và 3; 4; 5; 6 nên số ở ô số 3 và ô số 7 bằng nhau ® ô số 3 là 19 (0.5đ)
100 - (17 + 19 + 36) = 28
Vậy ô số 1 là số 28 ( 0.25đ)
100 - (17 + 19 + 36) = 28 . Vậy số điền ô thứ 5 là số 28 ( 0.25đ)
số điền ở ô số 6 cũng là số 17 (0.25đ)
Ta có : 2007 = 501.4 + 3
Vậy ta có 501 nhóm 4 ô , d 3 ô cuối là ô thứ 2005; 2006; 2007 với các số 28; 17; 19 (0.5đ) 
Tổng các số trên băng ô là :
	100.501 + 28 +17 +19 = 50164 	(1đ)
b) Tổng các chữ số ở mỗi nhóm ô là :
	2 + 8 +1 + 7 +1 +9 + 3 + 6 = 37 (0.5đ)
Tổng các chữ số trên băng ô là : 
37.501 + 2 + 8 + 1 + 7 +1 +9 = 18567 
c) 1964 4 . vậy số điền ở ô thứ 1964 là số 36 . 	(0.5đ)
..
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ IX:
Bài 1 (1,5đ) 
a).5x = 125 ó 5x = 53 => x= 3
b) 32x = 81 => 32x = 34 => 2x = 4 => x = 2
c). 52x-3 – 2.52 = 52.3
ó52x: 53 = 52.3 + 2.52
ó52x: 53 = 52.5
ó52x = 52.5.53
ó 52x = 56 => 2x = 6 => x=3
Bài 2. Vì là một số tự nhiên với mọi a Z nên từ < 5 ta 
=> = {0,1,2,3,4}.
Nghĩa là a ={0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4}. Biểu diễn trên trục số cácc số này đều lớn hơn -5 và nhỏ hơn 5 do đó -5<a<5.
Bài 3.
Nếu a dương thì số liền sau cũng dương.
Ta có: Nếu a dương thì a>0 số liền sau a