150 đề thi môn toán

pi
pi−
nxdxcos.mxsinnxdxsin.mxcos 
Câu4: (3,5 điểm) 
1) Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng: 
 a) AB ⊥ CD khi và chỉ khi AC2 + BD2 = AD2 + BC2; 
 b) Nếu AB ⊥ CD và AD ⊥ BC , thì AC ⊥ BD 
 2) Cho 4 điểm A(0; 0; 0), B(3; 0; 0), C(1; 2; 1), D(2; -1; 2) trong hệ toạ độ 
Đềcác trực truẩn Oxyz. Viết ph−ơng trình mặt phẳng đi qua 3 điểm: C, D và tâm mặt 
cầu nội tiếp hình chóp A.BCD. 
 3) Tìm tập hợp các điểm M(x, y) trong hệ toạ độ Đềcác trực truẩn Oxy, sao cho 
khoảng cách từ M đến điểm F(0; 4) bằng hai lần khoảng cách từ M đến đ−ờng thẳng y 
= 1. Tập hợp đ−ờng đó là gì? 
Đề số 71 
Câu1: (2 điểm) 
Cho hàm số: y = f(x) = x3 + ax + 2, (a là tham số) 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = -3. 
 2) Tìm tất cả giá trị của a để đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại một và chỉ 
một điểm. 
Câu2: (2 điểm) 
1) Giải bất ph−ơng trình: 431 +−>+ xx 
 2) Giải ph−ơng trình: ( ) ( )210010 3264 xlgxlgxlg .=− 
 Trang:70 
Câu3: (1 điểm) 
Với n là số tự nhiên bất kỳ lớn hơn 2, tìm x ∈ 




 pi
2
0; thoả mãn ph−ơng trình: 
 2
2
2
n
nn xcosxsin
−
=+ 
Câu4: (2 điểm) 
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác trực truẩn Oxyz cho đ−ờng thẳng 
(d): 
2
3
2
1
1
1
−
−
=
−
=
+ zyx
 và mặt phẳng (P): 2x - 2y + z - 3 = 0 
 1) Tìm toạ độ giao điểm A của đ−ờng thẳng (d) với mặt phẳng (P) . Tính góc 
giữa đ−ờng thẳng (d) và mặt phẳng (P). 
 2) Viết ph−ơng trình hình chiếu vuông góc (d') của đ−ờng thẳng (d) trên mặt 
phẳng (P). 
Câu5: (3 điểm) 
 1) Tìm 2 số A, B để hàm số: h(x) = ( )22
2
xsin
xsin
+
 có thể biểu diễn đ−ợc d−ới 
dạng: h(x) = ( ) xsin
xcos.B
xsin
xcos.A
+
+
+ 22 2
, từ đó tính tích phân J = ( )∫
pi
−
0
2
dxxh 
 2) Tìm họ nguyên hàm của hàm số g(x) = sinx.sin2x.cos5x 
 3) Tính tổng: S = ( ) nnnnnnn C.n....CCCC 14321 1432 −−++−+− 
 (n là số tự nhiên bất kỳ lớn hơn 2, knC là số tổ hợp chập k của n phần tử) 
Đề số 72 
Câu1: (2 điểm) 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = 
3
2
−
+
x
x
 2) Tìm trên đồ thị của hàm số điểm M sao cho khoảng cách từ điểm M đến 
đ−ờng tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến đ−ờng tiệm cận ngang. 
Câu2: (3 điểm) 
1) Với những giá trị nào của m thì hệ bất ph−ơng trình: 




≤−+−
≤++
012
0910
2
2
mxx
xx
 có nghiệm 
 2) Giải ph−ơng trình: 1444 7325623
222
+=+ +++++− xxxxxx 
 Trang:71 
 3) Cho các số x, y thoả mãn: x ≥ 0, y ≥ 0 và x + y = 1. Hãy tìm giá trị lớn nhất 
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 
11 +
+
+ x
y
y
x
Câu3: (2 điểm) 
1) Giải ph−ơng trình l−ợng giác: cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0 
 2) Hãy tính các góc của ∆ABC nếu trong tam giác đó ta có: 
 sin2A + sin2B + 2sinAsinB = 
4
9
 + 3cosC + cos2C. 
Câu4: (2 điểm) 
Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. 
 1) Giả sử I là một điểm thay đổi ở trên cạnh CD. Hãy xác định vị trí của I để 
diện tích ∆IAB là nhỏ nhất. 
 2) Giả sử M là một điểm thuộc cạnh AB. Qua điểm M dựng mặt phẳng song 
song với AC và BD. Mặt phẳng này cắt các cạnh AD, DC, CB lần l−ợt tại N, P, Q. Tứ 
giác MNPQ là hình gì? Hãy xác định vị trí của M để diện tích tứ giác MNPQ là lớn 
nhất. 
Câu5: (1 điểm) 
 Với những giá trị nào của m thì hệ ph−ơng trình: 



=+
=+
222
4
myx
yx
 có nghiệm? 
Đề số 73 
Câu1: (2 điểm) 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = 
1
12
−
+−
x
xx
 2) Tìm trên đồ thị của hàm số hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau của đồ 
thị để khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất. 
Câu2: (1,5 điểm) 
Giải ph−ơng trình l−ợng giác: sin3x.cos3x + cos3x.sin3x = sin34x 
Câu3: (3 điểm) 
1) Giải ph−ơng trình: 123 22 =−+−+− xxxx 
 Trang:72 
2) Giải hệ ph−ơng trình: 
( )
( )







=







++
=





++
4911
511
22
22
yx
yx
xy
yx
 3) Cho các số x, y thay đổi thoả mãn điều kiện x ≥ 0, y ≥ 0 và x + y = 1. Hãy 
tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 3x + 9y. 
Câu4: (2 điểm) 
Cho họ đ−ờng tròn: x2 + y2 - 2mx - 2(m + 1)y + 2m - 1 = 0 
 1) Chứng minh rằng khi m thay đổi, họ đ−ờng tròn luôn luôn đi qua hai điểm cố 
định. 
 2 Chứng minh rằng với mọi m, họ đ−ờng tròn luôn cắt trục tung tại hai điểm 
phân biệt. 
Câu5: (1,5 điểm) 
Tính tích phân: ( )∫ ++
1
0
22 23xx
dx
Đề số 74 
Câu1: (2 điểm) 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = 
1
2 2
+
+
x
xx
 (H) 
 2) Tìm những điểm M trên đ−ờng thẳng y = 1 sao cho từ M có thể kẻ đ−ợc 
đúng một tiếp tuyến đến đồ thị (H). 
Câu2: (2 điểm) 
Cho f(x) = cos22x + 2(sinx + cosx)3 - 3sin2x + m. 
 1) Giải ph−ơng trình f(x) = 0 khi m = -3. 
 2) Tính theo m giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x). Từ đó tìm m sao cho 
(f(x))2 ≤ 36 với mọi x. 
Câu3: (2 điểm) 
 Trang:73 
Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 
 1) Có bao nhiêu tập con X của A thoả mãn điều kiện X chứa 1 và không chứa 2? 
 2) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập A 
và không bắt đầu bởi 123? 
Câu4: (2 điểm) 
Cho hai đ−ờng tròn: (C1): x
2 + y2 - 4x + 2y - 4 = 0 
(C2): x
2 + y2 - 10x - 6y + 30 = 0 có tâm lần l−ợt là I và J 
 1) Chứng minh (C1) tiếp xúc ngoài với (C2) và tìm toạ độ tiếp điểm H. 
 2) Gọi (D) là một tiếp tuyến chung không đi qua H của (C1) và (C2). Tìm toạ độ 
giao điểm K của (D) và đ−ờng thẳng IJ. Viết ph−ơng trình đ−ờng tròn (C) đi qua K và 
tiếp xúc với hai đ−ờng tròn (C1) và (C2) tại H. 
Câu5: (2 điểm) 
Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, 
SA ⊥ (ABC) và SA = a. M là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Đặt góc ACM = α, hạ 
SH vuông góc với đ−ờng thẳng CM. 
 1) Tìm quỹ tích điểm H khi điểm M chạy trên đoạn AB. Góc α bằng bao nhiêu để 
thể tích tứ diện SAHC đạt giá trị lớn nhất. 
 2) Hạ AI ⊥ SC, AK ⊥ SH. Tính độ dài SK, AK và thể tích tứ diện SAKL theo a và α. 
Đề số 75 
Câu1: (2 điểm) 
Cho hàm số: y = 
1
1
−
+
x
x
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 
 2) Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm ấy chỉ kẻ đ−ợc đúng một tiếp 
tuyến tới đồ thị hàm số (ở phần 1). 
Câu2: (3 điểm) 
 1) Giải ph−ơng trình: 2tgx + cotg2x = 2sin2x + 
xsin2
1
2) Giải ph−ơng trình: ( ) ( ) 3312723 22222 logxxlogxxlog +=+++++ 
3) Giải và biện luận ph−ơng trình theo tham số a: axx =−++ 11 
 Trang:74 
Câu3: (1 điểm) 
Tính giới hạn: 
1
233
1 −
−−
→ x
xx
lim
x
Câu4: (2 điểm) 
Trong không gian cho hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz; và cho các điểm 
A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) (a, b, c > 0). Dựng hình hộp chữ nhật nhận O, A, B, C 
làm bốn đỉnh và gọi D là đỉnh đối diện với đỉnh O của hình hộp đó. 
 1) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABD). 
 2) Tính toạ độ hình chiếu vuông góc của C xuống mặt phẳng (ABD). Tìm điều 
kiện đối với a, b, c để hình chiếu đó nằm trên mặt phẳng (xOy) 
Câu5: (2 điểm) 
 1) Tính tích phân: ∫
+
1
0 1
xe
dx
2) Tính họ nguyên hàm của: f(x) = x(1 - x)20 
Đề số 76 
Câu1: (2 điểm) 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = x3 - x2 - x + 1 
 2) Biện luận theo tham số m số nghiệm của ph−ơng trình: ( ) mxx =+− 11 2 
Câu2: (2 điểm) 
Giải các ph−ơng trình: 
 1) sin4x + cos2x + 4cos6x = 0 
 2) xlog
x
log
x
logxlogxlog xx 2442
44
2
2
2
22 =+++ 
Câu3: (1 điểm) 
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để ph−ơng trình sau có nghiệm: 
 ( )( ) mxxxx =+−−++− 2222 
Câu4: (1,5 điểm) 
 Trang:75 
Cho tứ diện SABC với góc tam diện đỉnh S là vuông. Gọi H là trực tâm của 
∆ABC. Chứng minh rằng: 
 1) SH ⊥ (ABC). 
 2) 2222
1111
SCSBSASH
++= 
Câu5: (2 điểm) 
Cho n ∈ N 
 1) Tính tích phân: ( )∫ +1
0
21 dxxx
n
 2) Chứng minh rằng: 
1
12
1
1
4
1
3
1
2
11
1
321
+
−
=
+
+++++
+
n
C
n
...CCC
n
n
nnnn 
Câu6: (1,5 điểm) 
 1) Tính tích phân: I = ( )∫ +1
0
32 1 dxxx
n
 (n ∈ N) 
 2) Lập ph−ơng trình đ−ờng thẳng đi qua điểm M(1; 0) sao cho đ−ờng thẳng đó 
cùng với hai đ−ờng thẳng: (d1): 2x - y + 1 = 0 (d2): x + 2y - 2 = 0 tạo ra một tam giác 
cân có đỉnh là giao điểm của hai đ−ờng thẳng d1, d2. 
Đề số 77 
Câu1: (2 điểm) 
Cho hàm số: y = x3 + 3mx2 + 3(m2 - 1)x + m3 - 3m 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 0. 
 2) Chứng minh rằng với mọi m hàm số đã cho luôn luôn có cực đại và cực tiểu; 
đồng thời chứng minh rằng khi m thay đổi các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị 
hàm số luôn luôn chạy trên hai đ−ờng thẳng cố định. 
Câu2: (2 điểm) 
1) Giải ph−ơng trình l−ợng giác: 
sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x 
 2) Chứng minh rằng trong ∀ ∆ABC ta có: 
 




 +++=++
2222222
1111 C
gcot
B
gcot
A
gcot
C
tg
B
tg
A
tg
CsinBsinAsin
 Trang:76 
Câu3: (2 điểm) 
1) Giải hệ ph−ơng trình: 




=+−
=+
13
5
4224
22
yyxx
yx
 2) Với những giá trị nào của m thì ph−ơng trình: 1
5
1 2434
2
+−=





+−
mm
xx
có bốn nghiệm phân biệt. 
Câu4: (2 điểm) 
Cho góc tam diện ba mặt vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lần l−ợt lấy các điểm 
A, B, C. 
 1) Tính diện tích ∆ABC theo OA = a 
 2) Giả sử A, B, C thay đổi nh−ng luôn có: OA + OB + AB + BC + CA = k 
không đổi. Hãy xác định giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện OABC. 
Câu5: (2 điểm) 
1) Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f(x) = tg4x 
 2) Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f(x) = 
xx
x
−
−
3
4 2
. 
Đề số 78 
Câu1: (2 điểm) 
Cho hàm số: y = f(x) = x4 + 2mx2 + m (m là tham số) 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = -1. 
 2) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số f(x) > 0 với ∀x. Với những giá trị của 
m tìm đ−ợc ở trên, CMR hàm số: F(x) = f(x) + f'(x) + f"(x) + f"'(x) + f(4)(x) > 0 ∀x 
Câu2: (2 điểm) 
1) Giải ph−ơng trình l−ợng giác: 
( )
1
2
2
1
−
−
=
+ gxcot
xsinxcos
xgcottgx
 2) Hai góc A, B của ∆ABC thoả mãn điều kiện: 1
22
=+
B
tg
A
tg . Chứng minh 
rằng: 1
24
3
<≤ Ctg 
Câu3: (1,5 điểm) 
 Trang:77 
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho đ−ờng thẳng (d): 





=
−=
+=
tz
ty
tx
3
2
21
và mặt phẳng (P): 2x - y - 2z + 1 = 0 
 1) Tìm