Giáo án Đại số 11 ban cơ bản tiết 49: Bài tập phương pháp qui nạp toán học

NSoạn:
NDạy:
Tiết 49
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
I.Mục tiêu : 
 1/Kiến thức :Phương pháp chứng minh quy nạp toán học 
 2/Kỹ năng: Nắm vững nội dung của phương pháp quy nạp toán học bao gồm hai bước 
 (bắt buộc ) theo một trình tự quy định.
 Rèn kỹ năng chứng minh các bài toán bằng phương pháp quy nạp toán học 
 3/Tư duy : Biết cách lựa chọn và sử dụng phương pháp quy nạp toán học để giải các bài toán
 một cách hợp lý .
 4/Thái độ :Tích cực tham gia xây dựng bài học, tự giác chuẩn bị tốt các bài tập được giao.
II/Trọng tâm :Bài tập 1-4/103, chủ yếu là cm quy nạp, vận dụng tốt giả thiết qui nạp.
III/Phương pháp :Mở thông qua các h/đ, trực quan, liên hệ kiến thức cũ, giải quyết vấn đề.
IV/Chuẩn bị :
 1/Thực tiễn : hs đã học và chuẩn bị bt về pp qui nạp
 2/Phương tiện :Các hoạt động của SGK, tình huống giáo viên chuẩn bị.
V. Tiến trình lên lớp :
 1/Bài cũ : Yêu cầu học sinh nhắc lại phương pháp chứng minh quy nạp, làm bt 1b/103
 2/Bài mới :
HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH
HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN
Bài 1/103 
2+5+8+.+3n-1=
HG Giải:
Với n=1 a) 2=2 Vậy hệ thức a) đúng 
Đặt vế trái= Sn
Giả sử ĐT a) đúng với n=k 1 tức là :
Sk=2+3+5+.+3k-1=
Ta phải chứng minh a) cũng đúng với n=k+1 nghĩa là 
Sk+1=Sk+[3(k+1)-1]=
Thật vậy, từ giả thiế quy nạp ta có :
Sk+1=Sk+3k+2=+3k+2
=
==
Vậy hệ thức a) đúng với mọi n N*
b), c) Học sinh làm tương tự 
Bài 2/103
Học sinh giải 
Đặt Sn=4n+15n-1
Với n=1 , S1=18 9
Giả sử với k1 thì Sk=4k+15k-1 9
Ta phải chứng minh Sk+1 9
Thật vậy ta có :
Sk+1=4k+1+15(k+1)-1=4(4k+15k-1)-45k-18 = 4Sk-9(5k-2)
Theo giả thiết quy nạp thì 4Sk9. Mặt khác ,9(5k-2) 9 nên Sk+19
Vậy Sn9 n N*
Bài 3/103 chứng minh :
x1+x2+x3++xn n
Với n=1 BĐT a) 11 Vậy BĐT a) đúng với n=1
Giả sử BĐT đúng với n=k1 .Ta phải chúng minh BĐT đúng với n=k+1
Thật vậ, Giả sử có các số x1>0, x2>0,xk>0, xk+1>0 và x1.x2,xk.xk+1=1 
Nếu k+1 số nói trên đều bằng 1 thì x1+x2+xk +xk+1=k+1
Vậy x1+x2+xk +xk+11 là đúng 
Nếu k+1 số nói trên khác 1, ắt tồn tại 2 số sao cho có một số lớn hơn 1 còn số kia nhỏ hơn 1. Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng xk>1 và xk+1<1
Ta viết x1.x2,xk-1(xk.xk+1)=1 và áp dụng giả thiết quy nạp cho k số dương để có 
x1+x2+xk-1+(xk.xk+1)k
Hay x1+x2+xk-1k-(xk.xk+1)
Từ đó x1+x2+xk-1+xk +xk+1
 k-(xk.xk+1)+xk+xk+1=k+1+(xk-1)(1-xk+1) 
 >k+1
 Vì +(xk-1)(1-xk+1)>0
 Vậy BĐT đã được chứng minh .
c) 
Đặt VT=Sn
Với n=2 c) 
Giả sử với k2, ta có :
Ta phải chứng minh Sk+1>.Thật vậy
Sk+1=
=Sk-
=Sk+
Từ đây sử dụng giả thiết quy nạp và chú ý rằng >0, ta có Sk+1>.
Vậy BĐT đã được chứng minh .
b) giải tương tự 
Bài 5/103: 
a) 
Khi n=2 ta có 
a) (a-b)(a+b)=a2-b2 Vậy ĐT đúng 
Giả sử đẳng thức đúng với n=k2 tức ak-bk=(a-b)(ak-1+ak-2b++abk-2+bk-1)(1)
Thật vậy ta có :ak+1-bk+1=
=ak+1-akb+akb-bk+1=ak(a-b)+b(ak-bk)
Từ đây, sử dụng giả thiết quy nạp để biến đổi ak-bk, ta sẽ có ĐPCM (1)
Vậy đẳng thức đã được chứng minh .
b),c) học sinh áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp làm tương tự .
Bài 6, Bài7,8 : Học sinh làm
T1: Yêu cầu học sinh nhắc lại phương pháp chứng minh quy nạp
Gồm hai bước:
+ Kiểm tra mện đề đúng với n=1
+ Giả sử mệnh đề đúng với n=k rồi chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1
Kết luận mệnh đề đúng n N*
T2: Gọi học sinh lên sửa bài tập 1
 Hs 2 quan sát và bổ sung hòan thiện
 +gv nhấn mạnh cách viết này có được
 Sk+1=Sk+[3(k+1)-1] bằng cách nào ?
T3 :Tương tự bài tập 1
 + có nhận xét gì về các hạng tử trong
 biểu thức cho ?
+ Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1
+ Bước 2: Giả sử mện đề đúng với n=k tức Sk chia hết cho 9, cần chứng minh Sk+1 chia hế cho 9
 + Gọi học sinh lên bảng chứng minh 
 cho hiểu rõ cách phân tích ?
T4: Giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh
- Với n=1 BĐT đúng
- Giả sử BĐT đúng với n=k tức ta có kết quả nào? Từ đó cần chứng minh điều gì ?
+Nếu k+1 số đều bằng 1 thì hãy cho biết tổng x1+x2+xk +xk+1=?.Kết luận ?
+Nếu k+1 số trên khác 1 ta có thể giả thiết ntn ?
+ Aùp dụng giả thiết bài toán và giả thiết quy nạp cho k số dương suy ra điều phải chứng minh .
T5 : cách giải trên có vẻ phức tạp.
 Gv HD hs một cách cm khác về việc sử dụng BĐT có chứa các số không âm ?
Dùng Bđt cô si cho n số dương ,ad tích =1
T6 :Học sinh áp dụng phương pháp quy nạp và chứng minh
+S1=?
+Sk=?. Giả sử Sk>
+Sk+1=?
Cm Sk+1=Sk+>
+Kết luận ?
T7:Vì đề không cho trước n, hãy dự đóan xem n bắt đầu từ số mấy ?
 +Khi n=2 ta có VT=?,VP=?
 +Giả sử đẳng thức đúng với n=k2 Tức là ta có đẳng thức nào?
+Chứng minh đẳng thức đúng với n=k+1 tức là cần chứng minh đẳng thức nào ?
+ Chứng minh và suy ra kết luận .
T8 : Gv cho hs làm lại vd3/102 rồi gợi ý để Học sinh áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp và làm BT 6,7,8 –giáo viên sửa chữa và củng cố.
T9 : chú ý đôi lúc phải vẽ hình đa giác ?
VI/Củng cố – dặn dò :
Phương pháp chứng minh quy nạp mấy bước
Nhắc nhở học sinh xem lại các bài tập đã sửa để tự củng cố thêm phương pháp 
Xem làm thêm ở sách bài tập. Chuẩn bị bài mới :” Dãy số “
VII/ Rút kinh nghiệm: