Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình

xảy ra 1
3
x y z   
Vậy minT = 1
2
 tại 1
3
x y z   .
Bài 8: Cho ba số dương , ,a b c thỏa mãn: 1a b c   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức 2 2 2
1 1 1 1P
a b c ab bc ca
    
Giải:
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang20
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta đ ược:
 
     
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
1 1 1 1100 3 3 3
1 1 1 1 9 9 9
P 7 P 1 7
a b c ab bc ca
ab bc caa b c
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca ab bc ca
          
            
              
Mà ta lại có:
 21
3
a b c ab bc ca    
Thật vậy, từ trên ta có:
   2 3a b c ab bc ca    
2 2 2a b c ab bc ca      (suy ra từ bất đẳng thức Cosi)
Do đó:
 27 10100 P 1 P
3 3
P 30
a b c       
 
Dấu “=” xảy ra 1
3
a b c   
Vậy minP = 30 tại 1
3
a b c  
Bài toán tổng quát:
Cho n số dương  1 2 1 2, ,..., 2 và ... 1n na a a n a a a     .
Đặt
1 2 1 2 2 3 1 1
1 1 1 1 1P = ...
... n n n na a a a a a a a a a a
      
Thì
 3 2 2
min P
2
n n n  khi 1 2 1... na a a
n
   
2.3. Sử dụng bất đẳng thức vectơ
Lưu ý: Để sử dụng bất đẳng thức vectơ thì biểu thức giả thiết hoặc biểu thức
cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất có dạng tổng bình phương của các số hạng hoặc
căn bậc hai của tổng bình phương hoặc là tổng của các tích của các thừa số .
Bài 1: Cho hai số thực yx, thỏa mãn 132  yx . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng
22 23S yx 
Giải:
Ta có    2222 2323S yxyx 
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang21
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn
6
35
2
9
3
4
2
3
,
3
2 

 uu
 
35
62323.
6
35
.132.
232,3
2222
22


yxyxvuyxvu
yxvyxv
Dấu “=” xảy ra xy
yx
94
2
3
3
2 
Kết hợp với điều kiện ban đầu ta đ ược:
35
9
,
35
4  yx
Vậy minS =
35
6
 tại
35
9
,
35
4  yx
Bài 2: Cho 1x y z   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2P x y z  
Giải:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn:
  222,, zyxuzyxu 
  222,, zyxvyxzv 
Ta có: 222.. zyxyzxyxzvuvu 
 
 
   
3
1
13
2223
2222
222
2222
222222
222




zyx
zyxzyx
yzxyxzzyxzyx
yzxyxzzyx
Dấu “=” xảy ra
3
1 zyx
y
z
x
y
z
x
Vậy minP =
3
1
 khi
3
1 zyx
Bài 3: Cho 122  ba . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức abba  11A
Giải:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn:
 
  21,1
1, 22


bavabv
baubau
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:   22.1.1 22  baba
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang22
Do đó: 22 v
222.11.A  yxvuabbavu
Dấu “=” xảy ra
a
b
b
a
 11
Kết hợp với điều kiện ban đầu 122  ba
Suy ra:
2
2 ba
Vậy 22A
max  khi 2
2 ba
Bài 4: Cho ba số dương zyx ,, và 1 zyx .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau 2
2
2
2
2
2 111P
z
z
y
y
x
x 
Giải:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta chọn:
2
2 11
,
x
xu
x
xu 


2
2 11
,
y
yv
y
yv 



2
2 11
,
z
zw
x
zw 





 
zyx
zyxwvu 111,
Áp dụng bất đẳng thức wvuwvu  ta có:
 
2
2
2
2
2
2
2
2 111111 


 
zyx
zyx
z
z
y
y
x
x (1)
Nhận thấy:       


  22
2
2 8081111 zyxzyx
zyx
zyx
2
111 


 
zyx
 (2)
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta được:
    


 


 
zyx
zyx
zyx
zyx 1119.211181
2
2
81.213.3.9.2 33 
xyz
xyz (3)
Từ (2) và (3) ta có:
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang23
  828081.2111
2
2 


 
zyx
zyx
Và do (1) nên:
82111P 2
2
2
2
2
2 
z
z
y
y
x
x
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
3
1 zyx
Vậy 82P
min  khi 3
1 zyx .
Bài 5: Cho 2 cba và 6 czbyax . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
     222222 161616P czcbybaxa 
Giải:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta chọn:
   
   
   
     106,8,4
16,4
16,4
16,4
22
22
22




wvuczbyaxcbawvu
czcwczcw
bybvbybv
axauaxau
Ta có: wvuwvu 
      10161616aP 222222  czcbybax
Giá trị nhỏ nhất của P: Pmin = 10
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
a. Có hai trong ba vectơ bằng vectơ 0
b. Có một trong ba vectơ bằng vectơ 0
Giả sử 0u thì vkw   0k
c. Không có vectơ nào bằng vectơ 0


























0,,
2
3
0
2
0,
0
0
cba
cba
zyx
czbyax
cba
mk
mczby
kbyax
kba
m
cz
by
c
b
k
by
ax
b
a
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang24
Bài 6: Cho các số dương zyx ,, thỏa 4 zxyzxy . Tìm giá trị bé nhất của biểu
thức 444F zyx 
Giải:
Trong không gian Oxyz chọn: 
  31,1,1
,,
444222


vv
zyxuzyxu
Ta có: 222. zyxvu 
Mà:   222 .. vuvu     22224443 zyxzyx 
Mặt khác ta có:
zxxz
yzzy
xyyx
2
2
2
22
22
22



    zxyzxyzyxzxyzxyzyx  222222 22 = 4
Từ đó ta có:  
3
161643 4442444  zyxzyx
Vậy: minF = 16 khi
13
2 zyx
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1064284A 2222  bbbabaaa
Giải:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn:
 
   
 
  255,5
1061,3
42,
842,2
2
2
2




wvuwvu
bbwbw
bavbav
aauau
Ta có: wvuwvu 
251064284 2222  bbbabaaa
Dấu “=” xảy ra 2,0
12
2
3
2








 ba
ba
a
b
a
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang25
Vậy 25A
min  tại 2,0  ba
Bài 8: Cho Ra . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
52134M 22  aaaa
Giải:
Ta có:     4192M 22  aa
Trong mặt phẳng tọ độ Oxy chọn:
   
   
  345,3
412,1
923,2
2
2



vuvu
avav
auau
Mà:     344192 22  aavuvu
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
5
1a
Vậy: 34M
min  khi 5
1a
Bài 9: Cho ba số dương cba ,, thỏa: abccabcab  . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
ca
ca
bc
bc
ab
ab 222222 222B 
Giải:
Ta có: 222222
212121B
accbba

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn:
22
22
22
212
,
1
212
,
1
212
,
1
ac
w
ac
w
cb
v
cb
v
ba
u
ba
u












Và 

 

 
cbacba
wvu
1112,111
Mặt khác: 1111 
cba
abccabcab
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang26
Do đó:   32,1  wvuwvu
Mà: wvuwvu 
3212121B 222222  accbba
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 3 cba
Vậy 3B
min  khi 3 cba
2.4. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức sau:
        
3 3 3
M
1 1 1 1 1 1
a b c
b c a c a b
       
 Với 0, 0, 0 và 1b b c abc   
Bài 2: Tìm GTLN của hàm số 1 1 1( , , ) 2 2 2f x y z
x y z
              
trên miền   D , , : 0, 0, 0 và 1x y z x y z x y z      
Bai 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 2ab bc ca   với , ,a b c là các số thực
thỏa 2 2 2 1a b c  
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P abc
Trong đó , ,a b c là các số thực thỏa 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 3 9a b a c b c a b c    
Bài 5: Cho 122  yx . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
22 525M yxyx 
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
22 2
31 2
1 2 3 4 5
2 3 4 3 4 5 4 5 1
( , , , , ) xx xf x x x x x
x x x x x x x x x
       
22
54
5 3 2 1 2 3
xx
x x x x x x
    
Trên miền   2 2 2 2 21 2 3 4 5 1 2 3 4 5D , , , , : 1x x x x x x x x x x     
Bài 7: Cho R, yx . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
22222222 4499A yxyxyxyx 
Bài 8: Cho biết 2 2 2 27x y z   . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số
( , , )f x y z x y z xy yz zx     
Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 100 10P 10 10a a  
Bài 10: Cho zyx ,, thỏa mãn hệ sau:




16
3
22
22
zyzy
yxyx
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: zxyzxy P
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang27
Bài 11: Cho , , 0
1
a b c
a b c
   
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 21 1 1P a b c
a b c
                    
Bài 12: Cho 1a b c   và , , 0a b c  . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
F a b b c b c     
Bài 13: Cho  1,0, ba . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
     yxyx  1111P
Bài 14: Cho ba1 số thực a, b, c bất kỳ.
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =        2222 11 acbacb 
Hướng dẫn: Trong mặt phẳng Oxy chọn
 acbu  ,1 ,  cabv  ,1
Áp dụng bất đẳng thức vectơ: vuvu 
Bài 15: Cho x > 0, y > 0, z > 0 và x + y + z = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M =
111  z
z
y
y
x
x
Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai d ãy:
zyx  1
1
,
1
1
,
1
1
 và zyx  1,1,1
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang28
Phần 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP
SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
Nói về phương trình thì có rất nhiều loại phương trình như phương rình bậc
hai, bậc ba,phương trình vô tỉ, phương trình mũ, phương trình logarit.Mỗi
phương trình có thể có nhiều phương pháp giải khác nhau mẫu mực hay không mẫu
mực. Trong số các phương pháp giải của các phương trình thì phương pháp sử dụng
bất đẳng thức có thể coi là phương pháp độc đáo và sáng tạo đòi hỏi người giải toán
phải linh hoạt. Sử dụng phương pháp này ta có thể sử dụng nhiều bất đẳng thức
khác nhau, có thể vận dụng riêng lẻ hoặc kết hợp nhiều bất đẳng thức. Sau đây là
một số bài toán giải phương trình bằng phương pháp vận dụng bất đẳng thức mà bất
đẳng thức được sử dụng chủ yếu là bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski v à bất đẳng
thức vectơ.
3.1. Vận dụng bất đẳ