Ứng dụng đạo hàm trong các bài toán tham số

Ứng dụng ñạo hàm trong các bài toán tham số
CHỨA THAM SỐ
Khi giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương
trình ta thường hay gặp các bài toán liên quan ñến tham số. Có lẽ ñây
là dạng toán mà nhiều học sinh lúng túng nhất. Trong chương này
chúng ta sẽ ñi nghiên cứu một số dạng toán mà chúng ta thương hay
gặp (như xác ñịnh tham số ñể phương trình có nghiệm, có k nghiệm,
nghiệm ñúng với mọi x thuộc tập D nào ñó ) và phương pháp giải
các dạng toán ñó.
Bài toán 1: Tìm ñiều kiện của tham số ñể phương trình
f(x)=g(m) có nghiệm trên D
Phương pháp: Dựa vào tính chất phương trình có nghiệm hai ñồ thị của hai
hàm số và cắt nhau. Do ñó ñể giải bài toán này ta tiến hành
theo các bước sau:
1) Lập bảng biến thiên của hàm số .
2) Dựa vào bảng biến thiên ta xác ñịnh m ñể ñường thẳng cắt ñồ thị
hàm số .
Chú ý : Nếu hàm số liên tục trên D và ,
 thì phương trình : có nghiệm 
Ví dụ 1: Tìm m ñể các phương trình sau có nghiệm
Giải:
1)Xét hàm số có tập xác ñịnh là D=R.
 Ta có: 
 thay vào (1) ta thấy
không thỏa mãn. Vậy phương trình vô nghiệm 
 không ñổi dấu trên R, mà ñồng biến.
Mặt khác: và .
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình ñã cho có nghiệm
 .
2) ðK: 
Xét hàm số với 
Ta có: .
 vô nghiệm
 không ñổi dấu trên D, mà 
Mặt khác: 
 phương trình có nghiệm .
Chú ý : Nếu phương trình chưa có dạng trên thì ta tìm cách cô lập
m ñưa về dạng trên.
Ví dụ 2: Tìm m ñể các phương trình sau có nghiệm:
 .
Giải:
1) Phương trình 
 Xét hàm số với 
Ta có: .
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm
 .
2) ðiều kiện: .
Khi ñó phương trình 
(Vì )
Xét hàm số với .
Ta có: .
Do .
Vậy f(x) là hàm ñồng biến trên [0;4] 
Suy ra phương trình có nghiệm 
Chú ý : Khi gặp hệ phương trình trong ñó một phương trình của hệ
không chứa tham số thì ta sẽ ñi giải quyết phương trình này trước.
Từ phương trình này ta sẽ tìm ñược tập nghiệm (ñối với hệ một ẩn)
hoặc sẽ rút ñược ẩn này qua ẩn kia. Khi ñó nghiệm của hệ phụ thuộc
vào nghiệm của phương trình thứ hai với kết quả ta tìm ñược ở trên.
Ví dụ 3: Tìm m ñể hệ sau có nghiệm: 
Giải:
Ta thấy (1) là bất phương trình một ẩn nên ta sẽ ñi giải bất phương
trình này
Ta có: .
Hệ có nghiệm có nghiệm .
 với 
có .
Vậy hệ có nghiệm .
Ví dụ 4: Tìm m ñể hệ sau có nghiệm:
Giải:
Ta có: .
* Nếu vô nghiệm.
* Nếu ñúng
 có nghiệm 
Suy ra hệ có nghiệm có nghiệm 
Ta có: . Xét hàm số f(x) với , có:
 .
Dựa vào bảng biến thiên hệ có nghiệm .
Ví dụ 5: Tìm m ñể hệ phương trình sau có nghiệm:
 .
Giải:
Ta thấy (2) là phương trình không chứa tham số nên ta sẽ giải quyết
(2) trước
Ta có: . Thay vào (1) ta ñược:
 (3).
Hệ có nghiệm có nghiệm . Xét hàm số f(y) với 
 ñồng biến trên các khoảng và 
Suy ra hệ có nghiệm .
Chú ý : Khi bài toán yêu cầu xác ñịnh số nghiệm của phương trình
thì ta phải lưu ý
 Số nghiệm của phương trình chính là số giao ñiểm của ñồ
thị hai hàm số và . Do ñó phương trình có k nghiệm
 hai ñồ thị trên cắt nhau tại k giao ñiểm.
Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị của m ñể phương trình sau có ñúng
hai nghiệm phân biệt: 
Giải:
ðặt . Ta có phương trình :
 .
Xét hàm số 
 .
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ 7: Tìm m ñể phương trình : có ba nghiệm phân
biệt.
Giải:
Phương trình (do )
Xét hàm số 
 .
Dựa vào bảng biến thiên .
Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị của m ñể phương trình : 
 có ñúng một nghiệm .
Giải:
Ta thấy ñể pt có nghiệm thì . Khi ñó:
Phương trình .
Xét hàm số : với 
Ta có: với nghịch biến.
Mà: và 
Vậy phương trình có ñúng một nghiệm 
 .
Ví dụ 9: Tìm m ñể hệ phương trình : có ba cặp
nghiệm phân biệt .
Giải:
Ta có : (do x=0 không là
nghiệm phương trình ).
Thay vào phương trình thứ nhất ta ñược: 
 (a) .
Hệ có ba cặp nghiệm (a) có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn .
Xét hàm số với .
 .
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (a) có ba nghiệm phân biệt
 .
Vậy là những giá trị cần tìm.
Chú ý : Khi ñặt ẩn phụ ta phải tìm miền xác ñịnh của ẩn phụ và giải
quyết bài toán ẩn phụ trên miền xác ñịnh vừa tìm. Cụ thể:
* Khi ñặt , ta tìm ñược và phương trình 
 (1) trở thành (2). Khi ñó (1) có nghiệm (2) có
nghiệm .
* ðể tìm miền xác ñịnh của t ta có thể sử dụng các phương trình tìm
miền giá trị (vì miền xác ñịnh của t chính là miền giá trị của hàm 
 ).
* Nếu bài toán yêu cầu xác ñịnh số nghiệm thì ta phải tìm sự tương
ứng giữa x và t, tức là mỗi giá trị thì phương trình có
bao nhiêu nghiệm ?.
Ví dụ 10: Tìm m ñể các phương trình sau có nghiệm.
 .
 .
 .
 Giải:
1) ðiều kiện: .
Phương trình 
ðặt 
Ta có phương trình : (1).
Phương trình ñã cho có nghiệm có nghiệm 
Xét hàm số với , có .
Vậy phương trình có nghiệm .
2) ðiều kiện: 
ðặt 
Phương trình ñã cho trở thành: (2).
Xét hàm số 
 .
Dựa vào bảng biến thiên của 
Suy ra (1) có nghiệm có nghiệm .
Xét hàm số với , có 
Suy ra là hàm ñồng biến trên 
Vậy phương trình có nghiệm .
3) ðiều kiện : .
Ta thấy không là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế
phương trình cho , ta ñược: ( * ).
ðặt 
 Khi ñó ( * ) trở thành: (3).
Phương trình ñã cho có nghiệm có nghiệm .
Xét hàm số f(t) với , có: .
 .
Vậy phương trình có nghiệm .
Chú ý : Trong các bài toán trên sau khi ñặt ẩn phụ ta thường gặp
khó khăn khi xác ñịnh miền xác ñịnh của t .Ở trên chúng ta ñã làm
quen với ba cách tìm miền xác ñịnh của t. Tuy nhiên ngoài những
cách trên ta còn có những cách khác ñể tìm miền xác ñịnh của t.
Chẳng hạn:
Ở câu 2) ta có thể áp dụng BðT Côsi ñể tìm xác ñịnh của t :
 .
Ở câu 3 ñể tìm miền xác ñịnh ta có thể làm như sau:
 vì .
Ví dụ 11: Tìm m ñể các phương trình
 có nghiệm .
 có nghiệm trên .
Giải:
1) ðặt và .
Phương trình ñã cho trở thành: (3) ( vì ).
Phương trình ñã cho có nghiệm có nghiệm t thỏa mãn .
Xét hàm số với , ta có: 
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm .
2) ðặt . Với .
Phương trình ñã cho trở thành: 
Phương trình ñã cho có nghiệm trên có nghiệm 
Xét hàm số với , ta thấy f(t) là hàm ñồng biến trên
[1;2]
Suy ra .
Vậy phương trình có nghiệm 
Ví dụ 12: Xác ñịnh mọi giá trị của tham số m ñể hệ sau có 2
nghiệm phân biệt
Giải: ðiều kiện : .
 (Do ).
Vậy hệ ñã cho có hai nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân biệt
.
ðặt và (2) trở thành
Từ cách ñặt ta có: Với mỗi giá trị thì cho ta
ñúng một giá trị . Suy ra (2) có 2 nghiệm phân biệt
 có 2 nghiệm phân biệt .
Xét hàm số với 
Suy ra (3) có 2 nghiệm phân biệt .