Ứng dụng đạo hàm khảo sát, vẽ đồ thị hàm số và một số bài toán liên quan - Diệp Quốc Quang

hàm số (C): y = 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường phân giác phần tư thứ nhất
Hướng dẫn:
a) Đồ thị:
b) HD: Đường phân giác phần tư thứ nhất là: y = x. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x, suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là k = -1.
Do đó f’(x) = -1 	
x = 5 y = 3
x = 1 y = -1
ĐS: y = -x và y = -x + 8
Bài tập tự làm
Cho hàm số (C): y = x4 – 2x2 – 3 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến là 24.
c) Viết pttt của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 2x + 1
d) Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x - 3
4. Dựa vào đồ thị của hàm số y = f(x), biện luận theo m số nghiệm của phương trình dạng f(x) = m. 
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 + 3x2 - 4.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của các phương trình sau:
	1) x3 + 3x2 – 4 = m;	2) x3 + 3x2 – m = 0.
HD: a) BBT:
x
-
-2
0
+
y’
+
-
+
y
+
0
-4
-
 Đồ thị:
b1) Số nghiệm của phương trình x3 + 3x2 – 4 = m chính bằng số giao điểm của đồ thị hai hàm số y = x3 + 3x2 – 4 (C) và đường thẳng y = m (song song với trục Ox)
Dựa vào đồ thị ta thấy:
Với m > 3 hoặc m < 0 thì pt có một nghiệm,
Với m = 4 hoặc m = 0 thì pt có hai nghiệm
Với 0 < m < 4 thì pt có ba nghiệm phân biệt.
b2) Phương trình x3 + 3x2 – m = 0 x3 + 3x2 – 4 = m – 4
Số nghiệm của phương trình x3 + 3x2 – m = 0 chính bằng số giao điểm của đồ thị hai hàm số y = x3 + 3x2 – 4 (C) và đường thẳng y = m - 4 (song song với trục Ox)
(tương tự câu a) HS tự làm tiếp)
Bài tập tự làm
Bài 1: Cho hàm số có đồ thị (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b. Dùng đồ thị (C), xác định k để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt .
Bài 2: Cho hàm số có đồ thị (C)
a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b.Dùng đồ thị (C ) , hãy biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
Bài 3:Cho hàm số có đồ thị (C)
a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b.Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) : y = mx + 1 cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt .
Bài 4: Cho hàm số có đồ thị (C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A(3;1).
c. Dùng đồ thị (C) định k để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt .
Bài 5: Cho haøm soá y = coù ñoà thò (C). 
1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá khi m = 3.
2) Döïa vaøo ñoà thò (C), haõy tìm k ñeå phöông trình = 0 coù 4 nghieäm phaân bieät.
Bài 6: C ho hàm sè 
a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C) hàm số 
b. Tìm m để đường thẳng d : y = - x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt .
Bài 7: Cho haøm soá y = (2 – x2)2 coù ñoà thò (C). 
1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá.
2) Döïa vaøo ñoà thò (C), bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình x4 – 4x2 – 2m + 4 = 0
5. Tìm GTLN và GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn. 
Phương pháp: Sử dụng quy tắc tìm GTLN, GTNN
Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số:
Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = cos2x – cosx + 2
Hướng dẫn: 
a) y’ = 1 - =	
y’ = 0 
Trên [3;5] ta có y’ = 0 khi x = 4
y(3) = 8; y(4) = 7; y(5) = 
Vậy GTLN của hàm số trên [3;5] là 8 đạt được khi x = 3
GTNN của hàm số trên [3;5] là 7 đạt được khi x = 4.
b) Đặt t = cosx với t 	 [-1; 1].
Khi đó bài toán đưa về tìm GTLN và GTNN của hàm số y = f(t) = t2 – t +2 trên [-1; 1]
f'(t) = 2t -1
f’(t) = 0 t = ½
f(-1) = 4; f(1/2) = 7/4; f(1) = 2
Vậy GTLN của hàm số là 7/4 đạt được khi t = ½ tức cosx = ½ x =.
GTNN của hàm số là 4 đạt được khi t = -1 tức cosx = -1 x = 
Bài tập tự làm
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
	a) trên [-2;-1/2] ; [1,3).
	b) .
	c)        trên đoạn [0,π]	(TN-THPT 03-04/1đ)
	d) 	xÎ[0,π/2]	(TN-THPT 01-02/1đ)
	e) trên đoạn [-10,10].
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốtrên đoạn[-1,3].
Bài 3: Chứng minh rằng	 với mọi giá trị x.
6. Một số bài toán khác.
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + (2m-1)x – 2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1;
b) Tìm m để hàm số có một cực đại và một cực tiểu.
Hướng dẫn:
a) m = 1 => y = x3 + 3x2 + x – 2 có đồ thị như sau:
b) Hướng dẫn
y’ = 3x2 + 6x + 2m -1
Hàm số có một cực đại và một cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và dấu của y’ thay đổi khi đi qua các giá trị đó.
Do đó ’ = 9 -3(2m-1) > 0 m < 2
Vậy với m < 2 thì hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu.
Bài tập tự làm
Bài 1: Cho hàm số (Cm): y = 2x3 + 3(m – 1)x2 + 6(m – 2)x – 1 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 2
b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (Cm) đi qua điểm A(1; 4). ĐS: m = 2
c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C) đi qua điểm B(0; -1).
Bài 2: Cho hàm số y = x3 – 2x2 – (m - 1)x + m = 0
a) Xác định m để hàm số có cực trị.
b) Khảo sát hàm số trên. Gọi đồ thị là (C).
c) Tiếp tuyến của (C) tại O cắt lại (C) tại một điểm A. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đoạn OA.
Bài 3: Cho hàm số y = (x +1)2(x –1)2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm của phương trình : (x2 – 1)2 – 2n + 1 = 0
Bài 4: Cho hàm số (m khác 0) và có đồ thị là (Cm)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C2).
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C2), tiệm cận ngang của nó và các đường thẳng x = 3, x = 4.
Chủ đề 2
HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT
I TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC
1. Hàm số mũ, hàm số lôgarit.
Hàm số
y = ax (a > 0, a 1)
y = logax (a > 0, a 1)
TXĐ
R
(0, +)
Tập giá trị
(0, +)
R
Đạo hàm
y’ = axlna
y’ = 
Chiều biến thiên
a > 1: Hàm số luôn đồng biến.
0<a<1 : Hàm số luôn nghịch biến.
Tiệm cận
Ox là tiệm cận ngang
Oy là tiệm cận đứng.
Đồ thị
Đi qua các điểm
 (0; 1), (1; a)
Nằm phía trên trục hoành.
Đi qua các điểm
 (1; 0), (a; 1)
Nằm bên phải trục tung.
2. Phương trình mũ, phương trình lôgarit.
Phương trình ax = b (a > 0, a 1) có nghiệm duy nhất x = logab khi b > 0, vô nghiệm khi b 0.
Phương trình logax = b (a > 0, a 1) luôn có nghiệm x = ab với mọi b.
3. Bất phương trình mũ.
Bất phương trình
Điều kiện
Tập nghiệm
a > 1
0< a < 1
ax > b
b 0
R
R
b > 0
(logab; +)
(-; logab)
ax > b
b 0
b > 0
(-; logab)
(logab; +)
4. Bất phương trình lôgarit.
Bất phương trình
Tập nghiệm
a > 1
0< a < 1
logax > b
(ab; +)
(0; ab)
logax < b
(0; ab)
(ab; +)
5. Một số điều kiện tương đương.
a) a > 0, a1	: 	af(x) = ag(x) f(x) = g(x);
	logaf(x) = logag(x) 
b) a > 1	:	af(x) < ag(x) f(x) < g(x);
	logaf(x) < logag(x) 0 < f(x) < g(x).
c) a > 1	:	af(x) g(x);
	logaf(x) g(x) > 0.
II. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN
1. So sánh hai biểu thức chứa mũ và lôgarit.
Phương pháp chung: Đưa về cùng cơ số và áp dụng tính đơn điệu của hàm số mũ và hàm số lôgarit.
Không dùng máy tính hãy so sánh các cặp số sau đây:
2. Tính đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit.
Phương pháp chung: Sử dụng các quy tắc và công thức tính đạo hàm đã học.
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) 
3. Biến đổi các biểu thức chứa mũ và lôgarit.
Rút gọn các biểu thức sau:
4. Phương trình mũ.
Phương pháp chung: Để giải phương trình mũ ta có thể áp dụng một trong các phương pháp sau:
Đưa về cùng cơ;
Đặt ẩn phụ;
Lôgarit hóa;
Ví dụ Giải các phương trình sau:
Hướng dẫn :
a) Nhận xét 
Do đó phương trình trở thành 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0
b) Đặt t = e2x > 0
Phương trình trở thành t2 + t – 6 = 0 t = 2 và t = -3 < 0 (loại)
t =2 e2x = 2 x= ½.
c) Lôgarit hóa hai vế phương trình theo cơ số 3 ta có phương trình 
log34x + x2 = 0 x(log34 + x) = 0 x = 0 và x = - log34
Bài tập tự làm
Giải các phương trình sau:
a) 64x – 8x – 56 = 0 (ĐS: 1)	b) 3.4x – 2.6x = 9x (ĐS: 0)
c) 52x – 2.5x – 15 = 0 (ĐS: 1)	d) 2.16x – 17.4x + 8 = 0
e) 4.9x + 12x – 3.16x = 0 (ĐS: 1)
5. Phương trình lôgarit.
Phương pháp chung: Để giải phương trình lôgarit có thể áp dụng một trong các phương pháp sau:
Đưa về cùng cơ;
Đặt ẩn phụ;
Mũ hóa;
Ví dụ : Giải các phương trình logarit sau:
a) ; 	b) ln3x – ln2x = 4lnx -4;
Hướng dẫn:
a) ĐK: x > -1
phương trình trở thành log2(x+1) + log2(x+3) = log2(x+7)
 log2(x+1)(x+3) = log2(x+7) x2 + 4x + 3 = x + 7
x2 + 3x – 4 = 0 x = 1 hoặc x = -4 < - 1 (loại)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 
b) Đặt t = lnx ta có phương trình sau
t3 – t2 – 4t + 4 = 0 (t – 1)(t – 2)(t + 2) = 0
 t = 1; t = 2; t = -2
Với t = 1 lnx = 1 x = e
Với t = 2 lnx = 2 x =e2
Với x = -2 lnx = -2 x = e-2.
Bài tập tự làm
Giải các phương trình logarit sau:
a) log3(5x + 3) = log3(7x + 5) (VN)	b) log(x – 1) – log(2x – 11) = log2 (7)
c) log4(x + 2) = logx (2) d) log4x + log24x = 5(4)
e) (2) g) (4; )
6. Bất phương trình mũ và lôgarit
Phương pháp chung: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ, hàm số logarit và các tính chất, công thức biến đổi của lũy thừa và logarit.
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:
a) (x 2)	b) 3x + 2 + 3x – 1 28 (x 1)	
c) (-2 < x < 3)	
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau:
a) (x > 2)	b) log8(4 – 2x) 2 (x - 30)
c) (
BÀI TẬP LÀM THÊM
Bài 
Bài .
Bài 3/ 
Bài 4/ Biểu diễn log308 qua log305 và log303.
Bài 5/ So sánh các số : a./ log35 và log74 ; b/ log0,32 và log53 .
Bài 6/ Tính đạo hàm các hàm số sau: 
Bài 7/ Giải các pt sau:
Bài 8/Giải các pt sau:
Bài 9: Giải các bất phương trình sau:
a) ()	b) 22x – 1 + 22x – 2 + 22x – 3 448 (x )
c) ()
Bài 10: Giải các bất phương trình sau:
a) 4x – 3.2x + 2 > 0 (x 1) b) (0,4)x – (2,5)x + 1 > 1,5 (x < -1)
c) 9x – 5.3x + 6 < 0 (log32 < x < 1) d) 16x – 4x – 6 0 (x log43)
Bài 11: Giải các bất phương trình sau:
a) (x > 2)	b) log8(4 – 2x) 2 (x - 30)
c) ( d) log0,2x – log5(x – 2) 3)
e) (9 x 27)	f) log3(x + 2) > log9(x + 2) (x > -1)
MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP
NĂM 2009 – 2010
ĐỀ SỐ 1
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
Câu I ( 3,