Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số - Trần Minh Hùng

 và chỉ khi hệ phương trình 
 có nghiệm
 Nghiệm của hệ trên là hoành độ tiếp điểm.
 3/ Tiếp tuyến.
Dạng 1 : Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) tại điểm M0(x0 ; y0) thuộc (C).
 Phương trình là : y = y’(x0)(x – x0) + y0
Dạng 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k.
 Gọi M0(x0 ; y0) là tọa độ tiếp điểm.Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0 là :
y = y’(x0)(x – x0) + y0
 Giải phương trình y’(x0) = k để tìm x0 và y0 .
Dạng 3 : Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) , biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA ; yA).
 Phương trình của (d) đi qua A có hệ số góc k là : y = k(x – xA) + yA
 (d) tiếp xúc (C) có nghiệm.
Nghiêm của hệ là hoành độ tiếp điểm.
BÀI TẬP
1.Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị :
 a) y = x3 + 4x2 + 4x + 1 và y = x + 1 	b) y = x3 + 3x2 + 1 và y = 2x + 5
 c) y = x3 – 3x và y = x2 + x – 4	d) y = x4 + 4x2 – 3 và y = x2 + 1
2. Tìm m để đồ thị hàm số :
 a) y = (x – 1)(x2 + mx + m) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
 b) y = x4 – 2(m + 1)x2 + 2m + 1 không cắt trục hoành.
 c) y = x4 – 2x2 – (m + 3) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
3. Tìm m để đường thẳng y = mx + 2m + 2 cắt đồ thị hàm số y = .
 a) Tại hai điểm phân biệt.
 b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị.
4. Tìm m để đường thẳng y = mx + m + 3 cắt đồ thị hàm số y = .
 a) Tại hai điểm phân biệt.
 b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị.
5. Tìm m để đường thẳng đi qua A(- 1 ; - 1) và có hệ số góc là m cắt đồ thị hàm số y = .
 a) Tại hai điểm phân biệt.
 b) Tại hai điểm thuộc cùng một nhánh.
6. CMR: (P): y = x2 – 3x – 1 tiếp xúc với (C) : y = .
7. Tìm m để đồ thị hàm số :
 a) y = tiếp xúc với đường thẳng y = - x + 7
 b) y = x3 – 3mx + m + 1 tiếp xúc với trục hoành.
 c) y = x4 – 2x2 + 1 tiếp xúc với đồ thị hàm số y = mx2 – 3.
BÀI TẬP.
1. Cho (C) : y = x3 – 6x2 + 9x – 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
Tại điểm uốn của (C) (Là điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f”(x) = 0)
Tại điểm có tung độ bằng -1
Song song với đường thẳng d1 : y = 9x – 5.
Vuông góc với đường thẳng d2 : x + 24y = 0.
2. Cho (C) : y = .Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
Tại giao điểm của (C ) với trục Ox.
Song song với đường thẳng d1 : y = 4x – 5.
Vuông góc với đường thẳng d2: y = -x. 
Tại giao điểm của hai tiệm cận.
3.Cho (C ) : y = .Viết phương trình tiếp tuyến của (C ):
Tại điểm có hòanh độ x = 2.
Song song với đường thẳng d : -3x + 4y + 1 = 0.
Vuông góc với tiệm cận xiên.
4. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C).
 a) y = x3 – 3x + 2 đi qua điểm A(1 ; 0)
 b) y = đi qua điểm A(0 ; .
 c) y = đi qua điểm A(-6 ; 5)
 d) y = đi qua điểm A(2 ; 1).
TỔNG HỢP VỀ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
1) Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M0(-1; -2)
c) Chứng minh rằng điểm uốn của (C) là tâm đối xứng của nó.
2) Cho hàm số y = -x3 + 3x + 1.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
 x3 – 3x + m = 0.
c)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hòanh độ x0 = 1.
3) Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = 
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số
4) Cho hàm số y = - x3 + 3x2 – 2.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = - 9x + 1
c) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
5) Cho hàm số y = 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1 ; 0)
6) Cho hàm số y = 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hòanh.
7) Cho hàm số y = x3 + x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
1)Cho hàm số y = x4 – 2x2 + 1
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
 b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x4 – 2x2 + 1 – m = 0.
 c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hòanh độ x =
2) Cho hàm số y = - x4 + 2x2 + 2.
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
 b) Tìm m để phương trình x4 – 2x2 + m = 0 có bốn nghiệm phân biệt.
 c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
3) Cho hàm số y = 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x4 – 6x2 + 3 – m = 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ; 
4) Cho hàm số y = -x4 + 6x2 – 5
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0(1 ; 0).
5) Cho hàm số y = 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm m để phương trình : x4 – 8x2 – 4 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
1)Cho hàm số y = .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm M0(2 ; 3).
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -2x + 1
2) Cho hàm số y = .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm có hòanh độ x = -2
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
y = -x + 2
3) Cho hàm số y = .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
b) Tìm trên (H) những điểm có tọa độ là các số nguyên.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại giao điểm của (H) với trục tung.
4) Cho hàm số y = .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại giao điểm của (H) với trục hòanh.
c) Tìm m để đường thẳng y = x + m cắt (H) tại hai điểm phân biệt.
5) Cho hàm số y = 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
b) Một đường thẳng (d) đi qua A(-4 ; 0) có hệ số góc là m. Tìm m để (d) cắt (H) tại hai điểm phân biệt.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(4 ; 4).
1.Cho hàm số y = 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Biện luận theo m só nghiệm của phương trình: x2 + (3 – m)x + 3 – m = 0.
c) Tìm điểm trên (C) cách đều hai trục tọa độ.
2. Cho hàm số y = 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0(0, -1).
c) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) song song với tiệm cận xiên của (C)
3. Cho hàm số y = 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Gọi (d) là đường thẳng điqua A(-1 ; 0) có hệ số góc là m . Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt. 
c) Chứng minh rằng tích các khỏang cách từ một điểm M trên (C) đến hai tiệm cận của (C) là một số không đổi.
4. Cho hàm số y = x - có đồ thị là (Cm).
a) Tìm m để (Cm) tiếp xúc với đường thẳng (d): y = 3
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ.
5) Cho hàm số y = x + .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) có hệ số góc bằng – 3.
c) Tìm hai điểm thuộc hai nhánh của (C) để khỏang cách giữa chúng là nhỏ nhất.
6. Cho hàm số y = 
a) Tìm những điểm trên (C) có tọa độ là các số nguyên.
b) Chứng minh rằng (C) nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
c) Tìm m để (C) tiếp xúc với (P): y = - x2 + m.
7. Cho hàm số y = có đồ thị là (Cm).
a) Xác định m sao cho tiệm cận xiên của (Cm) định trên hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3
c) Xác định k để cho đường thẳng y = k cắt (C) tại hai điểm phân biệt E, F sao cho đọan EF là ngắn nhất.
8. Cho hàm số y = 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
 x2 – mx + 3 – m = 0 và suy ra các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương.
c) Định k để đường thẳng (d): y = k(x – 3) + 2 cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
9) Cho hàm số y = .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua giao điểm của hai tiệm cận.
c) Tìm điểm trên (C) có tổng các khỏang cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất.
HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
1.ĐỊNH NGHĨA LŨY THỪA VÀ CĂN.
Số mũ 
Cơ số a
Lũy thừa 
 thừa số )
* Một số tính chất của căn bậc n.
1) 
2) 
3) (a > 0)
4) 
5) 
2. TÍNH CHÁT CỦA LŨY THỪA.
* với a > 0, b > 0, ta có
 a > 1 : 
 0 < a < 1 : 
3. ĐỊNH NGHĨA LÔGARIT.
* Với số .
4. TÍNH CHẤT CỦA LÔGARIT. 
*	 
* 	 
	Đặc biệt: 
	*	
	Đặc biệt : 
5. GIỚI HẠN. 
6. BẢNG ĐẠO HÀM.
I. LŨY THỪA
* Đơn giản biểu thức.
1) 	2) 	3) 
4) 
* Tính giá trị của biểu thức.
1) 	2) 
3) 	4) 
* Biến đổi đưa về dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
1) 	2) 	3) 	4) 
* Tính .
1) 	2) 	3) 	4) 
* Đơn giản các biểu thức.
1) 	2) 
3) 
II. LÔGARIT.
* Biết log52 = a và log53 = b . Tính các lôgarit sau theo a và b.
1) log527	2) log515	3) log512	4) log530
* Lôgarit theo cơ số 3 của mỗi biểu thức sau , rồi viết dưới dạng tổng hoặc hiệu các lôgarit.
1) 	2) 	3) 	4) 
* Tính giá trị các biểu thức.
1) log915 + log918 – log910	2) 
3) 	4) 
* Tính giá trị các biểu thức.
1) 	2) 
3) 	
* Tìm x biết.
1) log6x = 3log62 + 0,5 log625 – 2 log63. 	2) log4x = 
* Tính.
1) 	2) 
3) 	4) 	
* Tìm x biết
1) logx18 = 4	2) 	3) 	
* Biết log126 = a , log127 = b. Tính log27 theo a và b.
* Biết log214 = a. Tính log4932 theo a
III. HÀM SỐ MŨ – LÔGARIT – LŨY THỪA.
* T