Ứng dụng đạo hàm để giải toán THPT

ng trình tiếp tuyến của (C): y = x4 – 2x2 biết tiếp tuyến ñi qua tâm ñường tròn nội tiếp 
tam giác có ba ñỉnh là ba ñiểm cực trị của (C). 
HD. Dễ thấy (C) có ba ñiểm cực trị là A(–1;–1), B(1;–1), O(0;0). Gọi I là tâm ñường tròn nội tiếp tam 
giác OAB thì I(0; m) với –1 < m < 0. Các ñường thẳng OA, OB, AB lần lượt có phương trình x – y = 0, 
x + y = 0, y + 1 = 0. Có d(I, OA) = d(I, OB) = d(I, AB) m m 1 m 2 2 (do 1 m 0).
2
⇔ = + ⇔ = − − < < 
Vậy I(0;2 2).− ðường thẳng ñi qua I có hệ số góc a có phương trình y ax 2 2= + − (d) (tiếp tuyến 
của ñồ thị hàm số là ñường thẳng có hệ số góc). ðường thẳng (d) là tiếp tuyến của ñồ thị (C) khi hệ 
phương trình 
4 2
3
x 2x ax 2 2 (1)
4x 4x a (2)

− = + −

− =
 có nghiệm. Thế (2) vào (1) ta ñược 4 23x 6x 2 2 0− + − = 
3 3 2
x .
3
±
⇔ = ± Tương ứng ta tìm ñược 4 giá trị của a là 4 3 3 2 3 3 3 2a .
3 3
+ ± +
= ± Do ñó 
Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 
xa.nguyenvan@gmail.com 
5 
5 
tìm ñược 4 tiếp tiếp thoả mãn yêu cầu bài toán 4 3 3 2 3 3 3 2y .x 2 2.
3 3
+ ± +
= ± + − 
Bài tập. 
15. Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số y = 
2x 2x + 4
x 2
−
−
 biết tiếp tuyến vuông góc với 
ñường thẳng x – 3y + 2 = 0. 
16. Cho x 2y (C).
2x 3
+
=
+
 a) Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến tạo với hai trục toạ ñộ một tam giác cân. 
b) Viết PTTT của (C) tại các ñiểm có toạ ñộ nguyên của (C). 
c) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) ñi qua ñiểm 3I( ; 2).
2
− − 
17. Tìm m biết rằng tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của ñồ thị (C): y = x3 – 3mx2 + 4m3 là một ñường 
thẳng tạo với hai trục toạ ñộ tam giác có diện tích bằng 25 .
6
18. Viết PTTT của ñồ thị (C): 3 21y x x
3
= − 
a) Biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm A(3; 0). 
b) Biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng 9x + 12y – 2 = 0. 
19. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị y = x3 – 3x2 + 3 (C) và tiếp tuyến của ñồ thị (C) tại 
ñiểm M(–1;1). 
20. Gọi A, B là các giao ñiểm của ñường thẳng y = x + m với ñồ thị x 1y (C)
2x 1
− +
=
−
 và k1, k2 lần lượt là 
hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại A, B. Tìm m ñể tổng k1 + k2 ñạt giá trị lớn nhất. 
21. a) Tìm trên trục Oy những ñiểm mà từ ñó kẻ ñược 2 tiếp tuyến tới ñồ thị hàm số y = x4 sao cho 2 
tiếp tuyến ñó vuông góc với nhau. 
b) Tìm trên ñường thẳng y = 6 những ñiểm có thể kẻ ñược 3 tiếp tuyến tới ñồ thị hàm số 
3 2y 2x 9x 12x 1= − + + sao cho 2 trong số 3 tiếp tuyến ñó vuông góc với nhau. 
22. Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = 2x4 – 2(m + 4)x3 + (8m + 7)x2 – 2(3m+2)x+3 tiếp xúc với trục Ox. 
23. Viết PTTT của ñồ thị 3 x 1(C) : y
x 1
−
=
+
 tại giao ñiểm của ñồ thị này với trục tung. 
24. a) Viết PTTT của xy (C)
x 1
=
−
 biết khoảng cách từ tâm ñối xứng của (C) tới tiếp tuyến là lớn nhất. 
b) Viết PTTT của 4x 3y (C)
x 1
−
=
−
 biết tiếp tuyến hợp với trục hoành góc 450. 
25. Tìm a, b ñể hàm số 
3
2
x khi x 1
f (x)
ax b khi x 1
 ≤
= 
+ >
 có ñạo hàm tại x0 = 1, khi ñó hãy viết PTTT của ñồ 
thị hàm số tại ñiểm có hoành ñộ x0 = 1. 
5. Ứng dụng ñạo hàm ñể xét tính ñơn ñiệu của hàm số 

 Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên ñoạn [a; b] và ñồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a; b) thì 
hàm số này ñồng biến (tương ứng nghịch biến) trên ñoạn [a; b]. 

 Nếu hàm số y = f(x) có ñạo hàm trên khoảng K và phương trình f '(x) 0= có hữu hạn nghiệm trên K 
thì: + f(x) ñồng biến trên K f '(x) 0, x K.⇔ ≥ ∀ ∈ 
 + f(x) nghịch biến trên K f '(x) 0, x K.⇔ ≤ ∀ ∈ 
Lưu ý: nếu thay khoảng K bởi một nửa khoảng hoặc một ñoạn thì kết luận trên vẫn ñúng, nhưng nếu 
thay K bởi một tập bất kì thì kết luận ñó không ñúng nữa. 
Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 
xa.nguyenvan@gmail.com 
6 
6 
VD6. Tìm m ñể hàm số 3 2 31y x mx x 2m
3
= − + − 
a. ðồng biến trên .ℝ 
b. ðồng biến trên khoảng (0; ).+∞ 
c. Khoảng nghịch biến của hàm số có ñộ dài lớn hơn 2 3. 
HD. a) Hàm số ñồng biến trên 2 2y ' x 2mx 1 0 ( x ) ' m 1 0 1 m 1.⇔ = − + ≥ ∀ ∈ ⇔ ∆ = − ≤ ⇔ − ≤ ≤ℝ ℝ 
b) Hàm số ñồng biến trên khoảng 
2
2 x 1(0; ) y ' x 2mx 1 0 ( x 0) m ( x 0).
2x
+
+∞ ⇔ = − + ≥ ∀ > ⇔ ≤ ∀ > Xét 
hàm số 
2
x 1f (x)
2x
+
= với x > 0, có 
2
2
2x 2f '(x) , f '(x) 0 x 1,
4x
−
= = ⇔ = ± với x > 0 thì f '(x) 0 x 1.= ⇔ = 
Trên khoảng (0; )+∞ dấu của f '(x) phụ thuộc vào dấu của tam thức 2x2 – 2. Từ ñó ta có bảng biến 
thiên của hàm f(x) như sau 
x 0 1 +∞ 
f '(x) – 0 + 
f(x) 
+∞ +∞ 
 1 
Từ bảng biến thiên suy ra 
2x 1
m ( x 0) m 1.
2x
+≤ ∀ > ⇔ ≤ Vậy hàm số ñã cho ñồng biến trên khoảng 
(0; )+∞ khi m 1.≤ 
c) ðể hàm số có khoảng ñồng biến thì trước hết y’ phải có hai nghiệm phân biệt, tức là ' 0.∆ > Khi ñó 
gọi x1, x2 là 2 nghiệm của y’ (x1< x2) thì hàm số có khoảng nghịch biến là (x1 ; x2). ðộ dài khoảng này 
(khoảng cách giữa 2 nghiệm của một phương trình bậc hai) là 1 2
4 '
x x .
a a
∆ ∆
− = = Vậy ñể khoảng 
nghịch biến của hàm số ñã cho có ñộ dài lớn hơn 2 3 ta cần ñiều kiện ñối với tam thức 
2y ' x 2mx 1= − + là 
2
2
2
' 0
m 1 0 m 2
m 1 3 .4 ' 2 3 m 22 m 1 2 3a
∆ > 
− > > 
⇔ ⇔ − > ⇔∆  > < − 
− >
VD7. Chứng minh hàm số 1y
x
= nghịch biến trên mỗi khoảng xác ñịnh nhưng trên tập xác ñịnh thì nó 
không ñồng biến và cũng không nghịch biến. 
HD. Hàm số có tập xác ñịnh { }D \ 0 ( ;0) (0; ).= = −∞ ∪ +∞ℝ ðạo hàm 2
1y ' 0, x D.
x
= − < ∀ ∈ Vì 
2
1y ' 0, x ( ;0)
x
= − < ∀ ∈ −∞ nên hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;0)−∞ , vì 2
1y ' 0, x (0; )
x
= − < ∀ ∈ +∞ 
nên hàm số nghịch biến trên khoảng (0; ).+∞ Ta chọn x1 = –1 thì y1 = – 1, x2 = 1 thì y2 = 1, ta thấy 
1 2 1 2x x , y y< < nên hàm số không nghịch biến trên D. Tương tự nếu chọn x1 = 2 thì y1 = 
1
2
, x2 = 3 thì 
y2 = 
1
3
, do 1 2 1 2x x , y y nên hàm số không ñồng biến trên D. Vậy hàm số ñã cho nghịch biến trên 
mỗi khoảng xác ñịnh ( ;0),−∞ (0; ),+∞ nhưng nó không ñồng biến và cũng không nghịch biến trên tập 
xác ñịnh { }D \ 0 ( ;0) (0; ).= = −∞ ∪ +∞ℝ 
Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 
xa.nguyenvan@gmail.com 
7 
7 
Bài tập. 
26. Xác ñịnh các khoảng ñơn ñiệu của hàm số 3 2 4 21 3 x1)y x x ; 2)y ; 3)y x 2x .
4 2 2 x
= − = = − +
−
27. Tìm m ñể hàm số: a) 3 21y x mx (m 6)x 1
3
= + + + − ñồng biến trên .ℝ 
b) 3 2m 1y x (m 1)x 3(m 2)x
3 3
= − − + − + ñồng biến trên nửa khoảng [ )2; .+∞ 
c) 3 2y 3x mx x 2= − − − + nghịch biến trên .ℝ d) my 3x
x 1
= +
−
 ñồng biến trên từng khoảng xác ñịnh 
28. Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = x3 + mx + 2 cắt trục Ox tại ñúng một ñiểm. 
29. Lập bảng biến thiên của hàm số 
2
2 2 2x 3xa)y x sin x; b)y 4x 1 2x; c)y .
x 1
+
= − = + − =
+
6. Ứng dụng ñạo hàm ñể tìm cực trị của hàm số 

 Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b), ñiểm x0 (a;b),∈ và có ñạo hàm trên các khoảng 
(a; x0), (x0; b). Ta có: 
 + Nếu 0 0f '(x) 0, x (a;x ); f '(x) 0, (x ;b)> ∀ ∈ < ∀∈ thì f(x) ñạt cực ñại bằng f(x0) tại ñiểm x = x0. 
 + Nếu 0 0f '(x) 0, x (a; x );f '(x) 0, (x ;b) ∀∈ thì f(x) ñạt cực tiểu bằng f(x0) tại ñiểm x = x0. 
Chú ý: – Nếu hàm số ñạt cực trị tại x0 thì 0f '(x ) 0= hoặc 0f '(x ) không xác ñịnh. 
 – Nếu f '(x) không ñổi dấu trên (a; b) thì f(x) không có cực trị trên (a; b). 
– Nếu x0 là ñiểm cực trị của hàm số y = f(x) (C) thì f(x0) ñược gọi là (giá trị) cực trị của 
hàm số, và M(x0; f(x0)) ñược gọi là ñiểm cực trị của ñồ thị (C). 

 Giả sử hàm số f(x) có ñạo hàm ñến cấp 2 trên khoảng (a; b) và ñiểm x0 (a;b).∈ Ta có: 
 + Nếu 0 0f '(x ) 0;f "(x ) 0= < thì f(x) ñạt cực ñại bằng f(x0) tại ñiểm x = x0. 
+ Nếu 0 0f '(x ) 0;f "(x ) 0= > thì f(x) ñạt cực tiểu bằng f(x0) tại ñiểm x = x0. 
Chú ý: Nếu 0 0f '(x ) f "(x ) 0= = thì chưa thể kết luận ñược hàm số có ñạt cực trị tại x0 hay không 
(chẳng hạn với f(x) = x3 thì 0 0f '(x ) f "(x ) 0= = và hàm số không ñạt cực trị tại x = 0, với f(x) = x4 thì 
0 0f '(x ) f "(x ) 0= = và hàm số ñạt cực tiểu tại x = 0, với f(x) = –x4 thì 0 0f '(x ) f "(x ) 0= = và hàm số 
ñạt cực ñại tại x = 0). 
VD8. Cho hàm số y = x3 – 2x2 + mx +1. 
a) Tìm m ñể hàm số ñại cực tiểu tại x = 1. 
b) Tìm m ñể hàm số có hai ñiểm cực trị dương. 
c) Tìm m ñể hàm số có hai cực trị có tích nhỏ hơn 31
27
. 
HD. a) Ta có 2y ' 3x 4x m, y" 6x 4,= − + = − và y"(1) 2 0= > nên hàm số ñã cho ñạt cực tiểu tại x = 1 
khi y '(1) 0 m 1.= ⇔ = Vậy với m = 1 thì hàm số có ñiểm cực tiểu x = 1. 
b) Hàm số ñã cho có 2 ñiểm cực trị dương khi phương trình 23x 4x m 0− + = có 2 nghiệm dương phân 
biệt, tức là 
' 4 3m 0
4 4S 0 0 m .
3 3
mP 0
3

∆ = − >


= > ⇔ < <


= >
 Vậy với 40 m
3
< < thì hàm số có hai ñiểm cực trị dương. 
c) Hàm số ñã cho có hai cực trị có tích nhỏ hơn 31
27
 khi phương trình 23x 4x m 0 (1)− + = có 2 nghiệm 
Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 
xa.nguyenvan@gmail.com 
8 
8 
phân biệt x1, x2 và y(x1).y(x2) < 3127 . Trước hết, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khi 
4
' 0 m .
3
∆ > ⇔ < Theo ñịnh lí Viet thì 1 2 1 2
4 m
x x , x x .
3 3
+ = = Lúc này ta có 
( ) 3 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 2m 8 11 2m 8 11y x x – 2x mx 1 (3x 4x m)( x ) ( )x ( )x (do 3x 4x m 0).3 9 3 9 9 3 9 9= + + = − + − + − + = − + − + =
Tương tự 2 2
2m 8 11y(x ) ( )x .
3 9 9
= − + Do ñó ( ) ( )1 2 1 231 2m 8 11 2m 8 11 31y x .y x (( )x )(( )x )27 3 9 9 3 9 9 27< ⇔ − + − + < 
2 2
1 2 1 2
2m 8 11 2m 8 121 31 2m 8 m 11 2m 8 4 121 31( ) x x ( )(x x ) ( ) ( )
3 9 9 3 9 81 27 3 9 3 9 3 9 3 81 27
⇔ − + − + + < ⇔ − + − + < 
3 23m 8m 22m 17 0 m 1⇔ − + − < ⇔ < (thoả mãn 4m ).
3
< Vậy m < 1 là các giá trị cần tìm. 
Bài tập. 
30. Tìm m ñể hàm số ñạt cực tiểu tại x = 0: 3 2 4 3a)y x mx (m 1)x; b)y x mx .= − + + = + 
31. Tìm m ñể hàm số y = x3 – (m+2)x +m ñạt cực ñại tại x = 1. 
32. Tìm m ñể hai ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số y = –x3 + 3x2 + 3(m2 – 1)x – 3m2 – 1 cách ñều ñiểm O. 
33. Tìm m ñể ñồ thị (C) 4 21y x (3m 1)x 2(m 1)
4
= − + + + có 3 ñiểm cực trị là 3 ñỉnh một tam giác ñều. 
34. Viết phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị của ñồ thị 3 21 m