Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số định lý Lagrange - Đoàn Vương Nguyên

Biên soạn: ThS. Đoàn Vương Nguyên
CHUYÊN ĐỀ
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ
ĐỊNH LÝ LAGRANGE
A. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Định lý 1
Nếu hàm số y = liên tục trên khoảng (a; b) và có (hoặc ) trong khoảng (a; b) thì phương trình có không quá 1 nghiệm trong khoảng đó.
Ví dụ 1. Giải phương trình .
Giải
Điều kiện: x > 0.
Xét hàm số ta có:
Suy ra phương trình f(x) = 0 có không quá 1 nghiệm trong .
Mặt khác f(2) = 0. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
Định lý 2
Nếu hàm số y = liên tục trên khoảng (a; b) và có (hoặc ) trong khoảng (a; b) thì phương trình có không quá 2 nghiệm trong khoảng đó.
Ví dụ 2. Giải phương trình .
Giải
Xét hàm số ta có :
, .
Suy ra phương trình f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm.
Mà f(0) = 0, f(1) = 0. Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 0, x = 1.
Chú ý:
i) Hàm số f(x) liên tục và đồng biến trên khoảng (a; b), g(x) liên tục và nghịch biến trong khoảng (a; b) đồng thời f(c) = g(c) (với c thuộc (a; b)) thì phương trình f(x) = g(x) có nghiệm duy nhất x = c.
ii) Hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trong (a; b) thì .
Ví dụ 3. Phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
Ví dụ 4. Giải phương trình (1).
Giải
Đặt , ta có :
 (2).
Xét hàm số 
Vậy (1) có nghiệm duy nhất x = 1.
Chú ý:
Nếu f(x) đơn điệu trên hai khoảng rời nhau thì không áp dụng được.
Chẳng hạn: và là sai.
B. GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ – ĐỊNH LÝ LAGRANGE
I. GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa
Cho hàm số y = f(x) có MXĐ D và X là tập hợp con của D.
i) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên X nếu , ký hiệu: .
ii) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) trên X nếu , ký hiệu: .
2. Phương pháp giải toán
2.1. Hàm số liên tục trên đoạn [a; b]
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Để tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của f(x) trên đoạn [a; b] ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Giải phương trình (tìm điểm dừng). Giả sử có n nghiệm x1; x2; ; xn thuộc đoạn [a; b] (ta loại các nghiệm nằm ngoài đoạn [a; b]).
Bước 2. Tính f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b).
Bước 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đã tính ở trên là các giá trị tương ứng cần tìm.
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
Giải
Ta có:
 liên tục trên đoạn 
.
Vậy .
Chú ý:
i) Để cho gọn ta dùng ký hiệu thay cho .
ii) Nếu đề bài chưa cho đoạn [a; b] thì ta phải tìm MXĐ của hàm số trước khi làm bước 1.
iii) Có thể đổi biến số và viết . Gọi T là miền giá trị của hàm t(x) (thường gọi là điều kiện của t đối với x) thì , .
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
Giải
Hàm số liên trên đoạn 
Đặt , ta có:
 liên tục trên đoạn [0; 1]
 (loại).
Vậy , .
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số .
Giải
Ta có điều kiện:
Hàm số liên tục trên D
.
.
Vậy , .
Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số .
Giải
Đặt 
.
Vậy 
 .
Ví dụ 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [–3; 2].
Giải
Hàm số liên tục trên đoạn .
Đặt liên tục trên đoạn .
.
.
Vậy .
2.2. Hàm số liên tục trên khoảng (a; b) hoặc trên 
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên hoặc ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Giải phương trình (tìm điểm dừng). Giả sử có n nghiệm x1; x2; ; xn thuộc D (ta loại các nghiệm không thuộc D).
Bước 2. Tính , f(x1), f(x2), , f(xn), .
Bước 3.
+ Nếu thì (1).
+ Nếu thì (2).
+ Nếu không thỏa (1) (hoặc (2)) thì hàm số không đạt min (hoặc max).
Chú ý: 
i) Có thể lập bảng biến thiên của hàm số f(x) thay cho bước 3.
ii) Nếu hàm số không có điểm dừng (điểm dừng khác điểm tới hạn) thì không đạt min, max.
Ví dụ 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số .
Giải
Hàm số f(x) liên tục trên R. Ta có:
Bảng biến thiên
Vậy hàm số không đạt min và .
Nhận xét:
 có nghiệm thực .
Ví dụ 7. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số .
Giải
Hàm số f(x) liên tục trên . Ta có:
 (vô nghiệm).
Vậy hàm số không đạt min và max (vì không có điểm dừng).
Ví dụ 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số .
Giải
Ta có .
,
Giới hạn .
Vậy .
Nhận xét:
 có nghiệm thực .
Ví dụ 9. Tìm m để phương trình có nghiệm.
Giải
Xét hàm số liên tục trên . Ta có:
 .
 .
.
Vậy với thì phương trình có nghiệm.
Chú ý: Có thể dùng bất đẳng thức để tìm min, max của hàm số.
II. ĐỊNH LÝ LAGRANGE
Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] (a < b) và có đạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại số c trong khoảng (a; b) sao cho .
Ví dụ 10. Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm trong khoảng (0; 1).
Giải
Xét hàm số liên tục trên [0; 1] và có đạo hàm trên (0; 1).
Áp dụng định lý Lagrange, ta có :
.
Vậy phương trình có nghiệm x = c trong (0; 1).
Ví dụ 11. Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm trong khoảng (0; 1), trong đó và m > 0.
Giải
a) Khi m = 1 thì ta có bài toán quen thuộc.
Xét hàm số liên tục trên [0; 1] và có đạo hàm trên (0; 1).
Áp dụng định lý Lagrange, ta có :
 có nghiệm x = c.
b) Khi m > 0 thì ta chỉ cần giải tương tự với số mũ tương ứng.
Xét hàm số liên tục trên [0; 1] và có đạo hàm trên (0; 1).
Áp dụng định lý Lagrange, ta có :
 có nghiệm .
Ví dụ 12. Chứng minh rằng với mọi a, b thì .
Giải
Dễ thấy với a = b ta có đẳng thức xảy ra.
Giả sử , áp dụng định lý Lagrange cho hàm số trên [a; b] ta có
Vậy với mọi a, b.
Ví dụ 13. Chứng minh rằng nếu thì .
Giải
Xét hàm số liên tục trên [a; b] và có trên (a; b).
Áp dụng định lý Lagrange, ta có :
 (1).
Mặt khác (2).
Vậy từ (1) và (2) ta có .
Ví dụ 14. Chứng minh rằng với .
Giải
Xét hàm số liên tục trên [x; x + 1] và có trên (x; x + 1).
Áp dụng định lý Lagrange, ta có :
.
Mặt khác .
Vậy .
Ví dụ 15. Chứng minh rằng với .
Giải
Xét hàm số liên tục trên [a; b] và có trên (a; b).
Áp dụng định lý Lagrange, ta có :
.
Mặt khác 
.
Vậy .