Ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình, hệ phương trình - Lê Văn Hùng

Một số lưu ý chung:
 Để học sinh cĩ kiến thức vững để giải các bài tốn dạng này yêu cầu học sinh nắm vững một số kiến thức cơ bản sau:
phương trình f(x) = m cĩ nghiệm khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm số y = f(x) và số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = m
Xét bất phương trình f(x) m với f(x) liên tục trên [a; b] .
 Khi đĩ: m = minf(x) f(x) maxf(x) = M
*) f(x) m cĩ nghiệm thuộc [a; b] m maxf(x)
*) f(x) m vơ nghiệm thuộc [a; b] m > maxf(x)
*) f(x) m cĩ nghiệm [a; b] m minf(x)
Các ví dụ : 
Phương trình: 
Ví dụ 1:
Xác định m để phương trình sau cĩ nghiệm :
m((1)
Điều kiện: 
Đặt t = - 2 = 2 – t2 
Vậy phương trình (1) cĩ nghiệm f(m 1
Ví dụ 2:
 Tìm m để phương trình: 3 (1) có nghiệm
Điều kiện: x 1
(1) 3 
Đặt: t = = điều kiện: 0 t 1. Khi đó phương trình trở thành:
Ví dụ 3:
 Chứng minh rằng với mọi m > 0 phương trình sau có hai nghiệm phân biệt
	x2 + 2x – 8 = (1) 
Vậy m > 0 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Ví dụ 4: 
 Tìm m để phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm thuộc [1; 3] 
	 - 2m – 1 = 0 (1)
Vậy phương trình (1) có ít nhất một nghiệm thuộc 
[1; 3]2 2m + 2 5 0 m 1,5
Ví dụ 5:
 Tìm m để phương trình sau có nghiệm :
	(m + 1) tg4x – 3m(1 + tg2x)tg2x + = 0 (1)
Điều kiện: x 
Dựa vào bảng biến thiên pt có nghiệm -0,5 < m 0 
 Ví dụ 6: 
 Tìm m để pt sau có nghiệm: 9x – m 33 + 2m + 1 = 0 (1) 
	Dựa vào bảng biến thiên phương trình có nghiệm khi m < - 0,5 hoặc m 
Ví dụ 7: 
 Tìm a để phương trình: + a (1) có nghiệm duy nhất
Dựa vào bảng biến thiên ta có đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số f(x) tại một điểm duy nhất a. Vậya phương trình (1) luôn có nghiệm duy nhất
Ví dụ 8: 
 Giải phương trình: x + = 3x-1+1 (1)
	(1) x – 1 + = 3x – 1
 (*)
Xét f(a) = ln() – aln3
	f ’(a) = - ln3 < 0 , a
Vậy f(a) nghịch biến trên R và f(0) = 0 nên (*) nghiệm duy nhất a = 0 .Do đó phương trình (1) có một nghiệm x = 1
Ví dụ 9
 Giải phương trình : + = 1 (1)
	Do f liên tục và đồng biến trên (0,5; +) , f(0,5) = 1 nên (1) f(x) = f(0,5) x = 0,5
Ví dụ 10:
 Giải phương trình: 3x + 5x = 6x + 2 (*)
	Xét: f(x) = 3x + 5x – 6x – 2 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 , x = 1
III) Các bài tập:
Định m để phương trình có nghiệm thuộc tập hợp cho trước
x3 – 3x = m với 2 x 3
x2- 6lnx – m = 0 với 1 < x < e
4sin6x + cos4x – a = 0
Biện luận số nghiệm phương trình:
3x4 – 10x3 + 6x2 = m
2 + = m
X3 + mx + m = 0
Tìm điều kiện m để phương trình sau có nghiệm: + - = m
 Tìm điều kiện m để phương trình sau có đúng một nghiệm ( đề dự bị ĐH 2007)
a) + x – 1 = 0
b) - = m
5) Tìm m để pt sau có nghiệm: 
 + 3 tg2x + m(tgx + cotgx) = 1
6) Tìm m để phương trình sau có nghiệm 
7) Tìm m để phương trình sau có nghiệm
4(sin4x + cos4x) – 4(sin6x + cos6x) – sin24x = m 
8) biện luận theo k số nghiệm x của phương trình: 4k(sin6x + cos6x – 1) = 3sin6x 
9) Tìm tất cả giá trị m để phương trình có nghiệm duy nhất trên đoạn 
	2cosx .cos2x.cos3x m = 7 cos2x
10) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
a) x +3 = m
 b) x + m = m 
c) + 4m + (m + 3) = 0 
11) xác định m để phương trình sau có nghiệm:
a) = 2m
b) = 6
 12) Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt :
 a) = m
 b) = m
13) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 
 a) tan2x + cot2x +m(tanx + cotx) + 3 = 0 
 b) 
 c) 2x + = m
 14) Tìm m để phương trình : 
sinx + 2 cos = m( cosx + 2sin) có nghiệm 
trong đoạn {0 ; }
B) 	Bất phương trình:
1) Ví dụ 1: 
Tìm m để bất pt m( + 1) + x(2- x) 0 có nghiêm thuộc [0; 1+]
Vậy bất phương trình có nghiệm x [0; 1+] 
m = f(2) m 
Ví dụ 2: 
 Vớùi giá trị nào của m thì bất pt sin3x + cos3x m , x (1)
Đặt t = sinx + cosx = , điều kiện : 
Dựa vào bảng biến thiên ta có : Bất phương trình (1) có nghiệm x 2m -2 m - 1
Ví dụ 3: 
 Tìm m để bất phương trình mx4 – 4x + m 0 , x (1)
	Dựa vào bảng biến thiên ta có bất phương trình có nghiệm x m Maxf(x) m 
Ví dụ 4:
 Cho bất phương trình x3 -2x2 + x – 1 + m < 0 (1)
Định m để bất phương trình (1) có nghiệm thuộc [0; 2]
Định m để bất phương trình (1) thoả x [0; 2]
ĐS:
a/. (1) có nghiệm thuộc [0; 2] Maxf(x) > m m < 1
b/. (1) có nghiệm x [0; 2] Minf(x) > m m < -1
 Ví dụ 5: 
 Tìm điều kiện p, q để bất phương trình sau có nghiệm thoả x [0; 1]	
	px + 1 qx + 1 (1)
 Dựa vào bảng biến thiên ta có: p minf(x) và 
q maxf(x) p 2 và q 2
Ví dụ 6: 
 Cho bất phương trình: (1) với a > b > c 
chứng minh bất phương trình luôn có nghiệm
Giải bất phương trình: (2)
Đs: đTa có f(5) = = 0 VaÄy bất phương trình (2) có nghiệm là ( 5; +)
Ví dụ 7: 
 Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình sau đây nghiệm đúng với x > 0
	(3m +1)12x + (2 – m)6x + 3x < 0 (1) 
Dựa vào bảng biến thiên ta có bất phương trình (1) có nghiệm với x > 0
 bất phương trình (2) có nghiệm với t > 1 m -2
Ví dụ 8:
 Giải bất phương trình : < 181 – 4x 
	Điều kiện: x 
Đặt: f(x) = + 4x
 f ’(x) = + 4 > 0 , x 
 Vậy f(x) đồng biến trên (; +) và f(6) = 181
Khi x < 6 thì f(x) < f(6) f(x) < 181
	Vậy nghiệm bất phương trình là S = [; 6)
Ví dụ 9: 
 Giải bất phương trình: > 
	Điều kiện: - 2 x 4
Xét hàm số f(x) = - 
	f ’(x) = > 0 , x (-2; 4)
Suy ra f đồng biến trong khoảng (-2; 4)
Do đó nếu x > 1 thì f(x) > f(1) = 
	 - > 
	 > + . 
	Vậy khoảng nghiệâm của bất phương trình là : (1; 4)
2) BaØi tập: 
1) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 32x+1 – (m + 3) 3x – 2(m + 3) < 0
2) Xác định m sao cho x đều là nghiệm bất phương trình:
 	22+cos2x + m 
3) Xác định m để bất phương trình sau có nghiệm
	 (1)
Hướng dẫn: Đặt t = điều kiện thì = 
có dạng: t + 
Xét f(t) = với ) 
C. Hệ phương trình
1) Hệ phương trình dạng: 
Hướng dẫn học sinh có thể tìm lời giải theo hai hướng sau:
Hướng 1: (1) f(x) – f(y) = 0 (3)
Tìm cách đưa (3) về một phương trình tích
Ví dụ 1: Giải hệ : 
Ví dụ 2: 
	Giải hệ: với x, y R
	Do đó hệ có nghiệm duy nhât x = y = 1
Ví dụ 3: 
 Chứng minh rằng hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm (x, y) thoả x > 0, y > 0	
	 (*) ( đề dự bị 2007)
Điều kiện: 
	(*)
Xét hàm số: f(t) = , t > 1
f ’(t) = > 0
t > 1
Vậy f(t) đồng biến trên (1; +)
Từ (2) ta có f(x) = f(y) x = y . Thay vào (1) ta có: 
Xét hàm số : g(x) = = 0 (*)
	g’(x) = ex - 
	g”(x) = ex + > 0 , x > 1 
 g’(x) đồng biến và liên tục trên (1; +) và đổi dấu.
Vì và g’(2) = e2 – > 0 
Nên g’(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) cắt trục hoành tối đa 2 lần 
phương trình (*) có tối đa 2 nghiệm
hệ phương trình có đúng 2 nghiệm (x, y) thoả x > 0, y > 0
Ví dụ4: 
 Giải hệ : 
 Vậy hệ có hai nghiệm ( (0; 0) và ( 1; 1)	
Ví dụ 5: 
Giải hệ phương trình: (*) ( Đề dự bị khối D 2006)
Nếu xy < 0 thì vế trái của (1) luôn dương, phương trình không thoả mãn
Nếu x = y thay vào (1) ta được nghiệm của hệ là x = y = 0
Ví dụ 6: 
 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
	 (I) 
 Dựa vào bảng biến thiên phương trình (*) có nghiệm 2 m 2
Do đó hệâ có nghiệm khi 2 m 2
Ví dụ 7:
 Chứng minh rằng m hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
 (I)
Dựa vào bảng biến thiên phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất x > 0 m > 0. Do đó hệ có nghiệm duy nhất khi m > 0
Ví dụ 8:
 Tìm m để hệ sau có nghiệm: 
vậy hệ có nghiệm phương trình (*) có nghiệm - m 
 Bài tập luyện tập:
Giải hệ phương trình: 
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm: 
Giải hệ : 
Giải hệ 
2) Hệ phương trình có ẩn không thay đổi khi hoán vị vòng quanh
 Khi giải hệ này cần chú ý:
Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết x = max (x, y, z) x y, x z
Ví dụ1:
 Giải hệ phương trình: 
Xét hàm số f(t) = t3 - 3t2 + 5t + 1 
	f ’(t) = 3t2 – 6t + 5 > 0 , t. Do đó f(t) đồng biến 
	Hệ phương trình có dạng 
Vì hệ không đổi khi hoán vị vòng quanh đối với x, y,z nên ta có thể giả thiết x y, x z
	Nếu x > y f(x) > f(y) 4y > 4z y > z f(y) > f(z) z > x mâu thuẫn
	Nếu x > z f(x) > f(z) y > x mâu thuẫn 
	Vậy x = y = z
Từ một phương trính trong hệ ta có: x3 – 3x2 + x + 1 = 0 
(x – 1)( x2 – 2x – 1) = 0 
Do đó nghiệm của hệ là: 
Nhận xét : Xét hệ có dạng: 
Nếu hàm số f(t), g(t) cùng đồng biến (hoặc cùng nghịch biến) thì lý luận như trên ta có x = y =z
Ví dụ 2: 
Giải hệ : (I)
 	(I) 
Từ phương trình (1) ta có y3 = 6(x2 – 2x +) = 6(x – 1)2 + 2 y 
Tương tự ta có: x , z 
Xét hàm số f(t) = 6t2 – 12t + 8
	f ’(t) = 12x – 12 > 0 , t 
Vậy f(t) đồng biến trên [; +)
Vì hệ không thay đổi khi hoán vị vòng quanh đối với x, y,z do đó có thể giả thiết x y, x z
 Nếu x > y f(x) > f(y) y3 > z3 y > z f(y) > f(z) z3 > x3 z > x mâu thuẫn
	Nếu x > z f(x) > f(z) y3 > x3 y > x mâu thuẫn 
Suy ra x = y = z 
Từ một phương trình trong hệ ta có: x3 – 6x2 + 12 x - 8 = 0 
	 (x – 2)3 = 0 x = 2 
 	Vậy hệ có nghiệm x = y = z = 2
Bài tập luyện tập:
Giải hệ : 
Giảøi hệ: 
Giải hệ: 
Chứng minh a hệ sau có nghiệm duy nhất :
Tìm a để hệ: chỉ có nghiệm dạng x = y =z
Chứng minh rằng a > 0 hệ phương trình: 
có nghiệm duy nhất .
Tìm m đệ hệ phương trình sau có nghiệm thực: 
Giải hệ: 
Giải hệ: 
 Giải hệ: 
 Hướng dẫn: 
Nếu một trong ba số x, y, z bằng 1
Giả sử x = 1 thì y – 1 = ylny
Xét f(y) = y – 1 – ylny
f ’(y) = - lny; f ’(y) = 0 y = 1 và f(1) = 0
0 0 suy ra f(y) > 0
y > 1 thì f’(y)