Ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Cho hàm số liên tục trên tập 
1. Phương trình có nghiệm 
2. Bất phương trình có nghiệm 
3. Bất phương trình có nghiệm đúng với
4. Bất phương trình có nghiệm 
5. Bất phương trình có nghiệm đúng với
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để giải bài toán tìm giá trị của tham số m sao cho phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm ta làm như sau:
1. Biến đổi phương trình, bất phương trình về dạng: ( hoặc )
2. Tìm TXĐ của hàm số 
3. Lập bảng biến thiên của hàm số ở trên 
4. Tìm 
5. Vận dụng các kiến thức cần nhớ bên trên suy ra giá trị m cần tìm
Lưu ý: Trong trường hợp PT, BPT, HPT chứa các biểu thức phức tạp ta có thể đặt ẩn phụ:
 + Đặt ( là hàm số thích hợp có mặt trong )
 + Từ điều kiện ràng buộc của ta tìm điều kiện 
 + Ta đưa PT, BPT về dạng ( hoặc )
 + Lập bảng biến thiên của hàm số ở trên 
 + Từ bảng biến thiên ta suy ra kết luận của bài toán
III. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1.(B-06). Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt
Giải:
Xét phương trình 
 + , phương trình này vô nghiệm. Nghĩa là không có giá trị nào của m để phương trình có nghiệm 
 +. Ta xét hàm số 
 trên tập 
Ta có với , suy ra hàm số đồng biến trên 
;
x
f’(x)
f(x)
0
+
+
Ta có bảng biến thiên của hàm số 
Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng trên miền 
Dựa vào bảng biến thiên ta được giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 
Ví dụ 2. Tìm m để phương trình 
 có nghiệm thuộc 
Giải:
Đặt .
Khi đó bất phương trình trở thành: 
 (*)
Ta có 
Ta có bảng biến thiên :
x
t’
t
0
+
-
1
0
1
2
Từ đó ta có , từ (*) suy ra (1)
Xét hàm số trên tập
Ta có với 
t
f’(t)
f(t)
1
+
2
Ta có bảng biến thiên của hàm số 
Bất phương trình đã cho có nghiệm bất phương trình có nghiệm 
Ví dụ 3.(A-08). Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt
Giải
Điều kiện: 
Xét hàm số trên tập 
Ta có
ta có
với 
Ta có bảng biến thiên
x
f’(x)
f(x)
0
-
+
6
2
0
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng trên miền 
Dựa vào bảng biến thiên ta được giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 
Ví dụ 4.(B-07) Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt:
Giải: Điều kiện: do . Ta có:
Nhận thấy phương trình đã cho luôn có 1 nghiệm , để chứng minh khi phương trình đã cho có 2 nghiệm thực phân biệt ta cần chỉ ra phương trình luôn có một nghiệm thực khi 
Xét hàm số trên tập 
Ta có với 
Ta có bảng biến thiên của hàm số 
x
f’(x)
f(x)
2
+
0
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng trên miền 
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra khi thì phương trình (*) luôn có 1 nghiệm 
Vậy với thì phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm thực phân biệt
Ví dụ 5. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 
Giải:
Vì nên
TXĐ: 
Xét hàm số trên 
Ta có:
 (*)
Thay vào phương trình (*) được: 1 = - 1. Vậy phương trình (*) vô nghiệm. Suy ra chỉ mang 1 dấu (không đổi dấu), có 
Ta có 
Ta có bảng biến thiên của hàm số 
x
f’(x)
f(x)
-
+
-2
2
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng trên 
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có nghiệm 
Ví dụ 6. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
Giải:
Ta có: . 
Hệ phương trình đã cho có nghiệm
 có nghiệm 
 có nghiệm 
Đặt 
Ta có 
Ta có bảng biến thiên :
x
f’(x)
f(x)
-1
+
4
-4
2
0
2
0
0
-
-
16
 có nghiệm 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm 
Ví dụ 7. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
Giải
Đặt ,
Khi đó: 
Phương trình trở thành:
Xét hàm số trên tập 
Ta có: 
Ta có bảng biến thiên:
t
f’(t)
f(t)
-
-
-1
-1
1
0
0
+
-
1
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng trên 
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có nghiệm 
Ví dụ 8: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: (1)
Giải:
Đặt . Khi đó bất phương trình trở thành:
 (*)
Xét hàm số trên 
Ta có: 
t
f’(t)
f(t)
0
-
0
+
0
Ta có bảng biến thiên của hàm số 
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra bất phương trình (1) có nghiệm bất phương trình (*) có nghiệm 
Ví dụ 9.(A-07) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 
Giải:
Điều kiện: 
 (1)
Đặt , khi đó phương trình (1) trở thành:
 (*)
Ta có và , vậy 
Xét hàm số trên tập 
Có 
Ta có bảng biến thiên của hàm số 
t
f’(t)
f(t)
0
-
-1
0
1
0
+
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng trên miền 
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có nghiệm 
Ví dụ 10. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
Điều kiện: 
Đặt 
Ta có: với 
x
t’
t
-1
-
3
3
8
0
+
Ta có bảng biến thiên:
Từ đó dẫn đến 
Có 
, phương trình đã cho trở thành:
Xét hàm số trên tập 
Ta có: với 
t
f’(t)
f(t)
3
6
+
Ta có bảng biến thiên của hàm số 
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng trên 
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có nghiệm 
IV. CÁC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Tìm m để các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau có nghiệm:
1) 
2) có đúng một nghiệm
3) 
4) có đúng 7 nghiệm thuộc 
5) nghiệm đúng với mọi 
6) 
7) có đúng hai nghiệm thực phân biệt
8) có đúng 2 nghiệm 
9) Tìm m nhỏ nhất để bất phương trình sau đúng với :