Ứng dụng cấp số xác định công thức tổng quát dãy phân tuyến tính

ỨNG DỤNG CẤP SỐ 
XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC
TỔNG QUÁT DÃY PHÂN TUYẾN TÍNH.
--------------------------------------------------------------
VYVUVT-
Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn - BRVT
 ----------------------------------------------------
 1.Trước hết , ta xét một ví dụ :
 “ Cho dãy (x n) xác định bởi ,đặt , chứng minh (yn) là cấp số cộng,suy ra công thức tổng quát của (xn).”
 ( bài tập sách Giải toán ĐS >11,trường chuyên Lê Hồng Phong , tp.HCM)
 * LỜI GIẢI : 
 Từ công thức truy hồi của (xn) ta có : , và 
 .
 Vậy (yn) là cấp số cộng với y1 = ½ và công sai d = -1 nên 
 2. Qua ví dụ trên, ta có thể đưa ra cách biến đổi dãy (*) theo một cách tổng quát như sau :
 Với điều kiện dãy (*) không suy biến : .Ta cần xác định các hằng số 
 ,A,B sao cho :
 (1) , với thì :
 (1) 
 .Suy ra :(2)
 Như vậy , với lớp dãy (*) thoả điều kiện phương trình : có
 nghiệm tức là :
 (3) ; ta có thể đưa (*) về cấp số “ cộng nhân” :
 yn+1 = Ayn + B ,với .
 * Chú ý : điều kiện (a – d)2 + 4bc :thoả mãn với lớp dãy có f(xn) nghịch biến.
 3.Trở lại ví dụ đã xét ở trên , ta có : a = 1 , b = 0 , c = -1 , d = 1 , vậy , chọn 
 ta có :
 A = 1 và B = -1 yn = thoả yn+1 = yn – 1 và ta cũng có kết quả như trên.
 4. Một số trường hợp đặc biệt :
 4.1/ b = 0 : (3) a.c.d 0 , khi đó (*) luôn đưa về được cấp số :
 với yn = và .
 Ví dụ ở trên thuộc trường hợp này.
 4.2/ a = 0 : (3) .
 +Xét lớp dãy thoả d2 + 4bc = 0 chọn 
 yn = và 
 + Tổng quát : chọn 
 4.3/ d = 0 : (3) 
 Xét tương tự trường hợp 4.2
 4.4/ a = d: (3) 
 Chọn 
D.ỨNG DỤNG :
 * Bài toán 1. Cho dãy .Tìm công thức tổng quát.Xét sự hội tụ.
 Giải :Áp dụng trường hợp 4.2. Đặt ta có , y1 = ¼
 . Ta có : limxn = -1 , vậy dãy hội tụ.
* Bài toán 2 . Cho dãy .Tìm công thức tổng quát.Biện luận theo a sự hội tụ của dãy .
 Giải :
 * Nếu a = -2 xn = -2 limxn = -2
 * Nếu a = 1 xn = 1 limxn = 1
 * Nếu : có hai cách đưa dãy về cấp số như sau 
 a/. Đặt .
 .
 Vậy =  Do lim yn = .
 b/. Đặt 
 Ta cũng có công thức tương tự : xn = .
 *Bài toán 3 : Cho dãy .
 Tính lim(n(1+xn)) và tìm mọi số hạng nguyên của dãy.
Giải :Áp dụng trường hợp 4.4, đặt .
 Vậy : ,Suy ra : 
 * Từ CTTQ của xn ta có Vậy x1 là số hạng nguyên duy nhất.
* Bài toán 4 : Khảo sát dãy : tuỳ theo giá trị của .
* Bài toán 5 : Tham khảo (đề thi HSG quốc gia 2004) 
 Cho dãy 
 a.Tìm để dãy có giới hạn hữu hạn. Tính limyn.
 b. ( Bổ sung ) : Tìm để x5 = 2005.