Tuyển tập một số bài toán dãy số thi học sinh giỏi

Tuyển tập một số bài toán dãy số thi hsg 
Bài1) Tính tổng: 
giải:
Đặt ị ị 
.
Vậy S = .
Bài 2) Cho dãy (un) với Chứng minh rằng khi n đƠ dãy có giới hạn là .
Giải.
 Mỗi số hạng của dãy là một phân thức, các mẫu thức lập thành CSC có u1 = 3, d = 2 ị số hạng tổng quát wn = 3 + (n – 1).2 = 2n + 1, n = 1, 2,  các tử thức lập thành CSC có u1 = 7, d = 3 ị số hạng tổng quát vn = 7 + (n – 1).3 = 3n + 4, n = 1, 2, 
Vậy , n = 1, 2, ị .
Bài 3. Cho CSC a1, a2,  và CSN b1, b2,  thỏa mãn:
a1 = b1; a1 + a2 = 2b2; a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3. Tìm 2 cấp số đó.
Giải. gt ị a1 = b1; a2 = 2b2 – b1; a3 = b1 – b2 + b3 và a1 + a3 = 2a2 nên 2b1 – b2 + b3 = 4b2 – 2b1 Û 4b1 – 5b2 + b3 = 0 (*).
Mặt khác: b1, b2,  là CSN nên b2 = qb1, b3 = q2b1, thay vào (*) ị 
b1(q2 – 5q + 4) = 0 Û b1 = 0 Ú q = 1 Ú q = 4. Từ đó tìm được các cấp số là:
CSC: b1, b1, ; CSN: b1, b1,  Hoặc CSC: b1, 7b1, 13b1,; CSN: b1, 4b1, 16b1,
Bài 4. Cho 2 dãy số (un) và (vn) thỏa mãn: 
u1 = 1995, v1 = 1997, , n = 1, 2, 
Chứng minh rằng: , "n ³ 1.
Giải. gt ị un > 0, vn > 0 "n = 1, 2, 
Ta có: un + 1 – vn + 1 = , "n = 1, 2, 
ị un + 1 > vn + 1 , "n = 1, 2,  ị , "n = 2, 3,
ị , "n = 2, 3,
ị un + 1 – vn + 1 < un – vn <  < u2 – v2 = .
Mặt khác, dễ thấy . Từ đó suy ra đ.p.c.m.
Bài5. Cho dãy số (un) thỏa mãn:
u0 = 2, u1 = 6, un + 1 = 6un + 2un – 1, n ³ 1.
Tìm công thức tính un theo n.
Giải
Phương trình đặc trưng của dãy số là: x2 = 6x + 2 có 2 nghiệm phân biệt :
. Ta chứng minh:
, n = 0, 1, 2, 
Thậy vậy: Với n = 0: đúng
Với n = 1: đúng.
"n ³ 1, ta có: 
6un + 2un – 1 = =
= = 
= (đ.p.c.m).
Bài 6. Dãy số (un) được xác định như sau:
u1 = a; u2 = b (a, b ẻ R, a < b)
.
Chứng tỏ rằng tồn tại giới hạn của dãy và tìm giới hạn đó theo a, b.
Giải. 
 Û (1).
Đặt vn – 1 = un – un –1 , n ³ 2 ị v1 = u2 – u1 = b – a.
Từ (1) ị ị (vn) là CSN có công bội . Do đó:
.
Ta có: un = (un – un – 1) + (un - 1 – un – 2) +  + (u2 – u1) + u1 =
= vn – 1 + vn – 2 +  + v1 + u1 = .
Vì .
Bài 7. Cho dãy số xác định bởi với a > 0. Chứng minh dãy đã cho có giới hạn. Tìm lim un.
Giải.
 Từ công thức xác định dãy suy ra: , n ³ 2.
"n = 2, 3,  ta có: .
Mặt khác: (*) "n = 1, 2,  Thậy vậy: . Giả sử (*) đúng đến n – 1, ta có: , tức (*) đúng "n = 1, 2, 
ị un tăng và bị chặn trên ị tồn tại lim un = L. Khi đó: L > 0 và 
ị . Vậy lim un = .
Bài 8. a) Cho dãy số u1, u2, , un,  có tất cả các số hạng khác 0 và thỏa mãn:
, "k ³ 3 (*).
Chứng minh dãy đã cho là cấp số cộng.
b) Cho dãy số thực (un) được xác định u1 = a, u2 = b, , n ³ 3. Chứng minh tồn tại lim un và tính giới hạn đó theo a, b.
Giải. 
a) Viết (*) dưới dạng:
 ; ;  ;
.
Hay: 
 (1) ; (2) ;  ;
 (n – 2).
Từ (1) ị u1 + u3 = 2u1 ị u1, u2, u3 lập thành CSC, gọi d là công sai của CSC này. Từ (2) ị 2u4 + u1 = 3u3 ị 2u4 = 3(u1 + 2d) – u1 = 2(u1 + 3d) ị u4 = u1 + 3d. Suy ra u1, u2, u3, u4 lập thành CSC.
Giả sử đã chứng minh được: un-1 = u1 + (n – 2)d (**).
Từ (n – 2) ị (n – 2)un + u1 = (n – 1)un – 1, kết hợp (**) ị (n – 2)un = (n – 1)[u1 + (n – 2)d] ị un = u1 + (n – 1)d. Vậy theo nguyên lý qui nạp suy ra: un = u1 + (n – 1)d "n = 2, 3,  Điều đó chứng tỏ u1, u2, , un, lập thành CSC (đ.p.c.m).
b) Xem bài 6
Bài 9. Tìm giới hạn của tổng dãy số sau:
Giải. a) Đặt . 
Ta dễ dảng tìm được . Từ đó .
Bài 10. Cho số thực a > 2 và dãy số thực dương thỏa mãn điều kiện:
, với mọi n ³ 2.
Chứng minh dãy có giới hạn khi n đ Ơ và tìm giới hạn đó.
Giải
Ta có: hay a2 < a3 < a4 < 
ị (*)
+) Nếu a1 < 1 thì 
Từ (*) ị 
ị . Vì .
+) Nếu a1 ³ 1 thì an > 1, "n ³ 2
Từ (*) suy ra .
.
Bài 11. Cho dãy số được xác định như sau:
	Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số nguyên.
Giải.
 Từ giả thiết ta có: 	(1) và u2 = 1.
Trong (2) thay n bởi n -1 ta được: 
Từ (2) và (3) suy ra un+1 và un-1 là 2 nghiệm của phương trình 
Theo dụng định lí Vi-et, ta có: (4)
Từ u1 = 0; u2 = 1 và (4) ta suy ra các số hạng của dãy đã cho đều là số nguyên
Bài 12. Cho dãy số (un) với un = -n4 + 8n3 – 0,5n2 + 4n, với n ẻ N*. Tìm số hạng lớn nhất của dãy số đã cho.
Giải. 
a) Xét hàm số f(x) = -x4 + 8x3 – 0,5x2 + 4x, x ³ 1.
Ta có: f’(x) = -4x3 + 24x2 – x + 4.
Nếu x ³ 6 thì f’(x) = 4x2(6 – x) + (4 – x) < 0;
+Ơ
x
f’(x)
f(x)
1
5
6
+
_
Nếu x Ê 5 thì f’(x) = 4x2(5 – x) + 4x2 – x + 4 > 0
Suy ra bảng biến thiên của f(x):
Từ BBT suy ra un lớn nhất Û n = 5 hoặc n = 6.
Ta có: u5 = 382,5; u6 = 438.
Vậy số hạng lớn nhất của dãy là:
u6 = 438.
Bài 13. Cho dãy {un}: 
Chứng minh {un} không tuần hoàn.
Giải.
 Đặt tga = 2, a ẻ (0 ; ). Ta dễ dàng chứng minh được rằng un = tgna, n ³ 1.
Giả sử {un} tuần hoàn chu kỳ T, tức là: un + T = un "n Û tg(n + T)a = tgna, "n Û sinTa = 0 Û tgTa = 0 Û uT = 0.
"n ta có: u2n = tg2na = (*)
Vì vậy nếu u2n = 0 thì un = 0.
Viết T dưới dạng T = 2k(2s + 1), k, s nguyên ³ 0. Vì uT = 0 nên sử dụng (*) k lần ta đi đến u2s + 1 = 0, mà nên từ u2s + 1 = 0 ị u2s = -2. Sử dụng (*) suy ra: 
 ị us là số vô tỉ (vì PT X2 – X – 1 = 0 có nghiệm vô tỉ).
Mặt khác, do u1 = 2 và từ suy ra mọi số hạng của dãy đều hữu tỉ. Mâu thuẩn. Vậy {un} không tuần hoàn.
Bài 14. Ký hiệu [x] là phần nguyên của x và {x} = x – [x] là phần thập phân của x.
Tìm .
Giải. 
 "n ẻ N, ta có: với x, y ẻ Z (dễ dàng chứng minh bằng qui nạp)
Suy ra: ẻ Z "n ẻN.
Mặt khác: Để ý nếu a ẻZ và 0 < d < 1 thì [a + d] = a, ta có:
, 
Vì ẻ Z và (do ) nên .
Do đó: .
Vì nên .
Bài 15
Tớnh: 
Giải:
Ta cú 
Thay x trong (1) lần lượt bởi thỡ ta cú:
Cõu 16. Cho dóy số (Un) xỏc định bởi Un = . Chứng minh rằng [Un] là một số lẻ với mọi n (ký hiệu [Un] là phần nguyờn của Un).
Giải:
Ta cú: 
Do 0 < 2 - 
Mặt khỏc: 
Mà 
Suy ra là số lẻ
Bài 17: 
 Cho dóy số (an) , a1 = 1 và . Chứng minh: .
Giải: 
 Vậy an > 
.
Suy ra: .
Suy ra: 
Vậy: .
Suy ra: .
Do đú: .
Bài 18. 
	Cho daừy soỏ () thoỷa : .
 	Chửựng minh daừy soỏ () coự giụựi haùn vaứ tỡm giụựi haùn aỏy.
Giải
Hàm số liờn tục và nghịch biến trờn [0,+Ơ), 
Ta cú ị bị chặn
suy ra dóy đồng biến và dóynghịch biến suy ra là cỏc dóy hội tụ.
Giả sử 
Từ 
Từ 
Giải hệ phương trỡnh . Vậy