Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Năm học 2011-2012

o a,b,c,d > 0
CMR: +++ 0
Bài 4: 
a, Tìm giá trị lớn nhất: E = với x,y > 0
b, Tìm giá trị lớn nhất: M = với x > 0
Bài 5: 
a, Tìm nghiệm Z của PT: xy – 4x = 35 – 5y
b, Tìm nghiệm Z của PT: x2 + x + 6 = y2
Bài 6: 
Cho M là một điểm miền trong của . D, E, F là trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ là điểm đối xứng của M qua F, E, D.
a, CMR: AB’A’B là hình bình hành.
b, CMR: CC’ đi qua trung điểm của AA’
ĐỀ SỐ 13
Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
b) Cho a, b, c khác nhau, khác 0 và 
Rút gọn biểu thức: 
Bài 2: (2điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
b) Giải phương trình: 
Bài 3: (2điểm)
 Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi được 15 phút, người đó gặp một ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km. 
Tính quãng đường AB.
Bài 4: (3điểm)
 Cho hình vuông ABCD. M là một điểm trên đường chéo BD. Kẻ ME và MF vuông góc với AB và AD.
a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau.
b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy.
c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất.
Bài 5: (1điểm)
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
§Ề SỐ 14
Bài 1: (2,5điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x5 + x +1
b) x4 + 4
c) x- 3x + 4-2 với x > 0
Bài 2 : (1,5điểm)
Cho abc = 2 Rút gọn biểu thức: 
Bài 3: (2điểm)
Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a > b > 0
Tính: 
Bài 4 : (3điểm)
 Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC lấy M bất kì sao cho BM < CM. Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F.
a) Tính chu vi tứ giác AEMF. Biết : AB =7cm
Chứng minh : AFEN là hình thang cân
c) Tính : ANB + ACB = ?
M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của D ABC
để cho AEMF là hình vuông. 
Bài 5: (1điểm)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì :
 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23.
§Ò SỐ 15
Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích thành thừa số: 
b) Rút gọn: 
Bài 2: (2 điểm)
Chứng minh rằng: chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n.
Bài 3: (2 điểm)
a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nước trên giếng. Nếu làm một mình thì máy bơm A hút hết nước trong 12 giờ, máy bơm B hút hếtnước trong 15 giờ và máy bơm C hút hết nước trong 20 giờ. Trong 3 giờ đầu hai máy bơm A và C cùng làm việc sau đó mới dùng đến máy bơm B. 
Tính xem trong bao lâu thì giếng sẽ hết nước.
b) Giải phương trình: (a là hằng số).
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại C (CA > CB), một điểm I trên cạnh AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C người ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB. Đường thẳng vuông góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By lần lượt tại các điểm M, N.
a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN.
b) So sánh hai tam giác ABC và INC.
c) Chứng minh: góc MIN = 900.
d) Tìm vị trí điểm I sao cho diện tích ∆IMN lớn gấp đôi diện tích ∆ABC.
Bài 5: (1 điểm) 
Chứng minh rằng số:
 là số chính phương. ().
Đề SỐ 16:
Câu 1 : ( 2 ñieåm ) Phân tích biểu thức sau ra thừa số
M = 3 xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 )
Câu 2 : ( 4 ñieåm ) Định a và b để đa thức A = x4 – 6 x3 + ax2 + bx + 1 là bình phương của một đa thức khác .
Câu 3 : ( 4 ñieåm ) Cho biểu thức : 
P = 
a) Rút gọn p .
b) Tính giá trị của biểu thức p khi /x / = 
c) Với giá trị nào của x thì p = 7
d) Tìm giá trị nguyên của x để p có giá trị nguyên .
Câu 4 : ( 3 ñieåm ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1
Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0
Câu 5 : ( 3ñieåm) 
Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC lần lượt tại M và N . Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC bằng 75 (cm)
Câu 6 : ( 4 ñieåm ) Cho tam giác đều ABC . M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai cạnh BC và AC sao cho BM = CN xác định vị trí của M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất .
®Ò SỐ 17
Bµi 1: (2 ®iÓm) 
Ph©n tÝch ®a thøc sau ®©y thµnh nh©n tö:
Bµi 2: (2®iÓm) Gi¶i phư¬ng tr×nh: 
Bµi 3: (2®iÓm) 1. CMR víi a,b,c,lµ c¸c sè d¬ng ,ta cã: (a+b+c)(
T×m sè d trong phÐp chia cña biÓu thøc cho ®a thøc .
Bµi 4: (4 ®iÓm)Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB), ®êng cao AH (HBC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD = HA. §êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E.
Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng. TÝnh ®é dµi ®o¹n BE theo .
Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BHM vµ BEC ®ång d¹ng. TÝnh sè ®o cña gãc AHM
Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh: .
Bµi 1
C©u
Néi dung
§iÓm
1.
2,0
1.1
(0,75 ®iÓm)
0.5
0,5
1.2
(1,25 ®iÓm)
0,25
0,25
0,25
2.
2,0
2.1
 (1)
+ NÕu : (1) (tháa m·n ®iÒu kiÖn ).
+ NÕu : (1) 
 (c¶ hai ®Òu kh«ng bÐ h¬n 1, nªn bÞ lo¹i)
VËy: Ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm duy nhÊt lµ .
0,5
0,5
2.2
 (2)
§iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: 
 (2)
 vµ .
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã mét nghiÖm 
0,25
0,5
0,25
3
2.0
3.1
Ta cã:
A=
 =
Mµ: (B§T C«-Si)
Do ®ã A VËy A
0,5
0,5
3.2
Ta cã: 
§Æt , biÓu thøc P(x) ®îc viÕt l¹i:
Do ®ã khi chia cho t ta cã sè d lµ 1993
0,5
0,5
4
4,0
4.1
+ Hai tam gi¸c ADC vµ BEC cã: 
 Gãc C chung. 
 (Hai tam gi¸c vu«ng CDE vµ CAB ®ång d¹ng)
 Do ®ã, chóng dång d¹ng (c.g.c). 
Suy ra: (v× tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H theo gi¶ thiÕt).
Nªn do ®ã tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A. Suy ra: 
1,0
0,5
4.2
Ta cã: (do )
mµ (tam gi¸c AHD vu«ng v©n t¹i H)
nªn (do )
Do ®ã (c.g.c), suy ra: 
0,5
0,5
0,5
4.3
Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n gi¸c gãc BAC.
Suy ra: , mµ 
0,5
Do ®ã: 
0,5
Phßng GD & §T huyÖn Thêng TÝn
Trêng THCS V¨n Tù
Gv: Bïi ThÞ Thu HiÒn
®Ò SỐ 18
®Ò bµi:
Bµi 1( 6 ®iÓm): Cho biÓu thøc:
 P = 
a) Rót gän P
b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi 
c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
d) Tìm x để P > 0.
Bµi 2(3 ®iÓm):Gi¶i ph¬ng tr×nh:
a) 
b) 
c) 
Bµi 3( 2 ®iÓm): Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh:
 Mét ngêi ®i xe g¾n m¸y tõ A ®Õn B dù ®Þnh mÊt 3 giê 20 phót. NÕu ngêi Êy t¨ng vËn tèc thªm 5 km/h th× sÏ ®Õn B sím h¬n 20 phót. TÝnh kho¶ng c¸ch AB vµ vËn tèc dù ®Þnh ®i cña ngêi ®ã.
Bµi 4 (7 ®iÓm):
 Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. Trªn ®êng chÐo BD lÊy ®iÓm P, gäi M lµ ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm C qua P.
Tø gi¸c AMDB lµ h×nh g×?
Gäi E vµ F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm M lªn AB, AD. Chøng minh EF//AC vµ ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng.
Chøng minh r»ng tØ sè c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm P.
Gi¶ sö CP BD vµ CP = 2,4 cm, . TÝnh c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt ABCD.
Bµi 5(2 ®iÓm): a) Chøng minh r»ng: 20092008 + 20112010 chia hÕt cho 2010
 b) Cho x, y, z lµ c¸c sè lín h¬n hoÆc b»ng 1. Chøng minh r»ng:
иp ¸n vµ biÓu ®iÓm
Bµi 1: Ph©n tÝch: 
 4x2 – 12x + 5 = (2x – 1)(2x – 5)
 13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x)
 21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x) 
 4x2 + 4x – 3 = (2x -1)(2x + 3) 0,5®
 §iÒu kiÖn: 0,5®
Rót gän P = 2®
 hoÆc 
 +) … P = 
 +) …P = 1®
P == 
Ta cã: 
 VËy P khi 
 x – 5 ¦(2)
 Mµ ¦(2) = { -2; -1; 1; 2}
 x – 5 = -2 x = 3 (TM§K)
 x – 5 = -1 x = 4 (KTM§K)
 x – 5 = 1 x = 6 (TM§K)
 x – 5 = 2 x = 7 (TM§K)
KL: x {3; 6; 7} th× P nhËn gi¸ trÞ nguyªn. 1®
 P == 0,25®
Ta cã: 1 > 0
§Ó P > 0 th× > 0 x – 5 > 0 x > 5 0,5®
Víi x > 5 th× P > 0. 0,25
Bµi 2:
a) 
 §K: 
3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 3. 12(x -1) + 12(x + 4)
…
3x.(x + 4) = 0
3x = 0 hoÆc x + 4 = 0
+) 3x = 0 => x = 0 (TM§K)+) x + 4 = 0 => x = -4 (KTM§K)
 S = { 0} 1®b) 
(123 – x)= 0
 Do > 0 
 Nªn 123 – x = 0 => x = 123
 S = {123} 1®
c) 
 Ta cã: => > 0
 nªn 
 PT ®ưîc viÕt dưíi d¹ng:
 = 5 – 3
 = 2
 +) x - 2 = 2 => x = 4
 +) x - 2 = -2 => x = 0
 S = {0;4} 1®
Bµi 3(2 ®)
 Gäi kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B lµ x (km) (x > 0) 0,25®
 VËn tèc dù ®Þnh cña ngêi ® xe g¾n m¸y lµ:
 (3h20’ = ) 0,25®
 VËn tèc cña ngêi ®i xe g¾n m¸y khi t¨ng lªn 5 km/h lµ:
 0,25®
 Theo ®Ò bµi ta cã ph¬ng tr×nh:
 0,5® 
x =150 0,5®
 VËy kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B lµ 150 (km) 0,25®
 VËn tèc dù ®Þnh lµ: 
Bµi 4(7®)
 VÏ h×nh, ghi GT, KL ®óng 0,5®
A
B
C
D
O
M
P
I
E
F
Gäi O lµ giao ®iÓm 2 ®ưêng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt ABCD. 
PO lµ ®ưêng trung b×nh cña tsm gi¸c CAM.
 AM//PO
tø gi¸c AMDB lµ h×nh thang. 1®
Do AM //BD nªn gãc OBA = gãc MAE (®ång vÞ)
Tam gi¸c AOB c©n ë O nªn gãc OBA = gãc OAB
Gäi I lµ giao ®iÓm 2 ®ưêng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt AEMF th× tam gi¸c AIE c©n ë I nªn gãc IAE = gãc IEA.
Tõ chøng minh trªn : cã gãc FEA = gãc OAB, do ®ã EF//AC (1) 1®
 MÆt kh¸c IP lµ ®ưêng trung b×nh cña tam gi¸c MAC nªn IP // AC (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng. 1®
 nªn kh«ng ®æi. (1®)
NÕu th× 
NÕu th× 1®
do ®ã CP2 = PB.PD
hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2
PD = 9k = 1,8(cm)
PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d
BD = 5 (cm)
C/m BC2= BP.BD = 16 0,5®
do ®ã BC = 4 (cm)
 CD = 3 (cm) 0,5®
Bµi 5:
a) Ta cã: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1) V× 20092008 + 1 = (2009 + 1)(20092007 - …)  = 2010.(…) chia hÕt cho 2010 (1)
 20112010 - 1 = ( 2011 – 1)(20112009 + …) = 2010.( …) chia hÕt cho 2010 (2) 1®
 Tõ (1) vµ (2) ta cã ®pcm.
b) (1)
 V× => => 
 => B§T (2) ®óng => B§T (1) ®óng (dÊu ‘’=’’ x¶y ra khi x = y) 1®
ĐỀ SỐ 19
Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử
 b) Tìm giá trị nguyên của x để A B biết 
 A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 .
 c) Cho x + y = 1 và x y 0 . Chứng minh rằng 
Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau:
 a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 
 b) 
Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF
	a) Chứng minhEDF vuông cân
 	b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng.
Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho:
	a/ DE có độ dài nhỏ nhất
	b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.
H­íng dÉn chÊm vµ biÓu ®iÓm
Bài 1: (3 điểm)