Tuyển tập các đề thi IMO

n đạt giá trị nhỏ nhất. 
2. P là một điểm bên trong một hình cầu. Ba tia vuông góc với nhau từng đôi một 
kẻ từ P cắt hình cầu tại U, V, W. Q là đỉnh đối diện qua đường chéo với P trong 
hình hộp được xác định bởi PU, PV, PW. Tìm quỹ tích các điểm Q khi các tia 
vuông góc xuất phát từ P thay đổi. 
3. Tập tất cả các số nguyên dương là hợp của hai tập con rời nhau {f(1), f(2), 
f(3), ... } và {g(1), g(2), g(3), ... }. 
Trong đó f(1) < f(2) < f(3) < ..., và g(1) < g(2) < g(3) < ... 
g(n) = f(f(n)) + 1 với n = 1, 2, 3, ... 
Xác định f(240). 
4. Tam giác ABC cân tại A. Một đường tròn tiếp xúc bên trong với đường tròn 
ngoại tiếp tam giác và cắt AB, AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng: trung 
điểm của PQ là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 
5. {a k } là dãy các số nguyên dương khác nhau. Chứng minh rằng: 
2 
1 1 
1 n n k 
k k 
a 
k k = = 
³ å å  với mọi số nguyên dương n. 
6. Một cuộc giao lưu quốc tế có các thành viên từ 6 nước khác nhau. Danh sách 
của các thành viên gồm có 1978 người được đánh số là 1, 2, ..., 1978. Chứng 
minh rằng: tồn tại ít nhất một thành viên có số là tổng của các số của hai thành 
viên cùng nước của mình, hoặc gấp đôi số của một thành viên cùng nước với 
mình.
Tuyển tập các đề thi IMO  Page 19 
Kỳ thi IMO lần thứ 21 ­ 1979 
1. Cho m, n là những số nguyên dương thoả mãn: 
1 1 1 1 1 
1 ... 
2 3 4 1318 1319 
m 
n 
= - + - + - + 
Chứng minh rằng: m chia hết cho 1979. 
2. Hình lăng trụ có các mặt trên và mặt đáy là các ngũ giác A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 và 
B1B2B3B4B5. Mỗi cạnh của hai ngũ giác và của 25 đoạn AiBi được tô màu đỏ 
hoặc xanh. Mọi tam giác mà các đỉnh là đỉnh của hình lăng trụ, tất cả các cạnh 
của nó đều được tô màu sẽ có hai cạnh được tô màu khác nhau. Chứng minh rằng 
tất cả 10 cạnh của mặt trên và mặt dưới của hình lăng trụ được tô màu giống 
nhau. 
3. Trong một mặt phẳng cho hai đường tròn giao nhau. A là một trong các giao 
điểm đó. Đồng thời bắt đầu từ A hai điểm di chuyển với tốc độ không đổi, mỗi 
một điểm di chuyển theo một đường tròn và cùng hướng. Hai điểm trở lại A cùng 
một lúc (tức là sau một vòng). Chứng minh rằng tồn tại một điểm cố định P trong 
mặt phẳng sao cho hai điểm chuyển động đó luôn cách đều P. 
4. Cho mặt phẳng k, một điểm P trong k và một điểm Q ngoài k. Tìm tất cả các 
điểm R trong k sao cho tỷ số : 
QP PR 
QR 
+ 
lớn nhất. 
5. Tìm tất cả các số thực a sao cho tồn tại các số thực không âm x1, x2, x3, x4, x5 
thoả mãn: 
1 2 3 4 5 
3 3 3 3 2 
1 2 3 4 5 
5 5 5 5 3 
1 2 3 4 5 
2 3 4 5 
2 3 4 5 
2 3 4 5 
x x x x x a 
x x x x x a 
x x x x x a 
+ + + + = ì 
ï 
+ + + + = í 
ï + + + + = î 
6. Cho A và E là hai đỉnh đối diện của bát giác. Một con ếch bắt đầu nhảy tại 
đỉnh A. Từ một đỉnh bất kì (khác E) nó nhảy tới một trong hai đỉnh liền kề. Khi 
tới E thì nó dừng lại. Cho a n  là số đường đi khác nhau sau n bước nhảy kết thúc 
tại E. Chứng minh rằng: 
a2n­1 = 0
( ) ( ) 1 1 
2 
2 2 2 2 
2 2 
n n 
n a 
- - 
+ - 
= -
Tuyển tập các đề thi IMO  Page 20 
Kỳ thi IMO lần thứ 22 ­ 1981 
1. Cho P là một điểm bên trong tam giác ABC. D, E, F là chân đường cao tương 
ứng hạ từ P xuống BC, CA, AB. Tìm tất cả các điểm P sao cho: 
BC CA AB 
PD PE PF 
+ +  đạt giá trị nhỏ nhất. 
2. Lấy r sao cho 1 £  r £ n, và xét tất cả các tập con gồm r phần tử của tập {1, 2, 
..., n}. Mỗi một tập con có một số nhỏ nhất. Gọi F(n, r) là giá trị trung bình của 
các phần tử nhỏ nhất này. Chứng minh rằng: 
( 1) 
( , ) 
( 1) 
n 
F n r 
r 
+ 
= 
+ 
3. Cho m, n là các số nguyên dương trong đoạn [1, 1981] thoả mãn: (n 2  ­ mn ­ 
m 2 ) 2 = 1. 
Xác định giá trị lớn nhất của m 2 + n 2 
4. (a) Với giá trị nào của n (n > 2) thì tồn tại một tập n số nguyên dương liên tiếp 
mà số lớn nhất trong n số đó là ước số của bội số chung nhỏ nhất của (n ­ 1) số 
còn lại ? 
(b) Với giá trị nào của n (n > 2) thì có duy nhất một tập có tính chất như trên. 
5. Ba đường tròn cùng một bán kính có chung một điểm O và nằm bên trong một 
tam giác đã cho. Mỗi một đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của tam giác. 
Chứng minh rằng: tâm của đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác và điểm O 
thẳng hàng. 
6. Cho hàm f(x, y) với mọi x, y là số nguyên không âm, thoả mãn: 
f(0, y) = y + 1 
f(x + 1, 0) = f(x, 1) 
f(x + 1, y + 1) = f(x, f(x +1, y)) 
Tìm f(4, 1981). 
Kỳ thi IMO lần thứ 23 ­ 1982 
1. Hàm f(n) được xác định trên tập các số nguyên dương và nhận giá trị nguyên 
không âm. 
f(2) = 0, f(3) > 0, f(9999) = 3333 và với mọi m, n có: f(m + n) ­ f(m) ­ f(n) = 0 
hoặc 1. 
Xác định f(1982).
Tuyển tập các đề thi IMO  Page 21 
2. Tam giác không cân A 1 A 2 A 3 có các cạnh a 1 , a 2 , a 3 với a i đối diện với A i . M i  là 
trung điểm của cạnh a i và T i  là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác với các 
cạnh ai. Ký hiệu Si  là hình chiếu của Ti trên đường phân giác trong của góc Ai. 
Chứng minh rằng: M1S1, M2S2, M3S3 đồng qui. 
3. Xét một dãy vô hạn {xn} của các số thực dương sao cho: 1 = xo ³  x1 ³  x2 ³  ... 
(a) Chứng minh rằng: với mọi dãy như thế tồn tại một số n ³ 1 sao cho: 
2  2 2 
0  1 1 
1 2 
... 3.999 n 
n 
x  x x 
x x x 
- + + + ³ 
(b) Tìm một dãy có tính chất như trên và thoả mãn: 
2  2 2 
0  1 1 
1 2 
... 4 n 
n 
x  x x 
x x x 
- + + + <  với mọi n. 
4. Chứng minh rằng: Nếu n là một số nguyên dương sao cho phương trình: 
x 3  ­ 3xy 2 + y 3 = n 
có nghiệm (x, y) nguyên thì phương trình đó có ít nhất ba nghiệm nguyên. 
Hãy chỉ ra rằng phương trình không có nghiệm nguyên với n = 2891. 
5. Cho lục giác đều ABCDEF. Trong đường chéo AC và CE lấy các điểm tương 
ứng M và N sao cho: 
AM CN 
r 
AC CE 
= = 
Xác định r nếu B, M và N thẳng hàng. 
6. Cho S là một hình vuông với độ dài các cạnh là 100. L là một đường đi trong S 
và không cắt S gồm có các đoạn A0A1, A1A2, A2A3, ..., An­1An với Ao ¹ An. Giả 
sử rằng với mọi điểm P trên biên của S tồn tại một điểm thuộc L sao cho  khoảng 
cách từ P tới nó 
1 
2 
£  . 
Chứng minh rằng: tồn tại 2 điểm X và Y thuộc L sao cho khoảng cách XY £  1, 
và độ dài đường đi từ X tới Y là không nhỏ hơn 198. 
Kỳ thi IMO lần thứ 24 ­ 1983 
1. Cho R +  là tập các số thực dương, hàm f : R + ®R +  thoả mãn: 
f(x(f(y)) = yf(x)  với mọi x, y và  ( ) 0 f x khi x ® ® ¥ . 
Tìm tất cả các hàm f như vậy.
Tuyển tập các đề thi IMO  Page 22 
2. A là một trong hai giao điểm khác nhau của hai đường tròn C 1 và C 2 đồng 
phẳng và không bằng nhau có tâm tương ứng là O 1 , O 2 . Một trong các tiếp tuyến 
chung của hai đường tròn tiếp xúc với C1  tại P1 và C2  tại P2. Tiếp tuyến khác tiếp 
xúc với C1  tại Q1 và C2  tại Q2. Gọi M1, M2  lần lượt là trung điểm của P1Q1, P2Q2. 
Chứng minh rằng:  · · 1 2 1 2 O AO M AM =  . 
3. Cho a, b, c là các số nguyên dương, không có hai số nào có ước số chung lớn 
hơn 1. 
Hãy chỉ ra rằng 2abc ­ ab ­ bc ­ ac là số nguyên lớn nhất không thể biểu diễn 
thành xbc + yca + zab, trong đó x, y, z là các số nguyên không âm. 
4. Cho tam giác đều ABC. E là tập hợp tất cả các điểm trên ba cạnh AB, BC, và 
CA (kể cả A, B, C). Phân chia E ra thành hai tập con rời nhau. Hãy kiểm chứng 
khẳng định rằng luôn tồn tại một tập con (trong hai tập con đó) có chứa các đỉnh 
để tạo nên một tam giác vuông. 
5. Có thể chọn được hay không 1983 số nguyên dương khác nhau mà tất cả các 
số đều nhỏ hơn hoặc bằng 10 5 và không có ba số nào trong đó là các số hạng liên 
tiếp của một cấp số cộng. 
6. Cho a, b, c là độ dài của các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 
a 2 b(a ­ b) + b 2 c(b ­ c) + c 2 a(c ­ a) ³  0. 
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? 
Kỳ thi IMO lần thứ 25 ­ 1984 
1. Chứng minh rằng: 
7 
0 2 
27 
yz zx xy xyz £ + + - £ 
Trong đó: x, y, z là các số thực không âm thoả mãn: x + y + z = 1. 
2. Tìm một cặp (a, b) các số nguyên dương thoả mãn: ab(a + b) không chia hết 
cho 7 nhưng (a+b) 7  ­ a 7  ­ b 7 lại chia hết cho 7. 
3. Cho hai điểm O và A trong một mặt phẳng. Mỗi điểm trong mặt phẳng sẽ được 
tô màu bởi một trong số hữu hạn màu. Lấy điểm X trong mặt phẳng, đường tròn
Tuyển tập các đề thi IMO  Page 23 
C(X) có tâm O và bán kính là OX + 
· AOX 
OX 
, trong đó  · AOX được đo bằng radian 
trong đoạn [0, 2p ). 
Chứng minh rằng: ta có thể tìm được điểm X không nằm trên OA sao cho màu 
của nó xuất hiện trên chu vi của đường tròn C(X). 
4. Cho tứ diện lồi ABCD với CD tiếp xúc với đường tròn đường kính AB. 
Chứng minh: AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD khi và chỉ khi BC song 
song với AD. 
5. Cho d là tổng chiều dài của tất cả các đường chéo của một da giác lồi với số 
đỉnh là n > 3. Gọi p là chu vi của đa giác đó. Chứng minh rằng: 
2 ( 1) 
3 2 
2 2 
d n n 
n 
p 
+ é ù é ù - < < - ê ú ê ú ë û ë û 
Trong đó: [x] biểu diễn số nguyên lớn nhất không vượt quá x. 
6. Cho a, b, c, d là các số nguyên lẻ thoả mãn: 0 < a < b < c < d và ad = bc. 
Chứng minh rằng: nếu a + d = 2 k và b + c = 2 m  (với k, m là các số nguyên) thì a 
= 1. 
Kỳ thi IMO lần thứ 26 ­ 1985 
1. Đường tròn có tâm nằm trên cạnh AB của tứ giác ABCD ngoại tiếp đường 
tròn. Ba cạnh còn lại tiếp xúc với đường tròn. Chứng minh rằng: AD + BC = AB. 
2. Cho n, k là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, k < n. Mỗi số trong tập 
M = {1, 2, 3, ..., n ­1} được tô màu xanh hoặc trắng. Với mỗi i thuộc M, i và n ­ i 
đều có chung một màu. Với mỗi i thuộc M (i ¹ k), i và |i ­ k| có chung một màu. 
Chứng minh rằng tất cả các số thuộc M phải có chung một màu. 
3. Cho đa thức P(x) = a 0 + a 1 x + ... + a k x 
k với các hệ số nguyên. Số lượng của các 
hệ số lẻ được biểu thị bởi o(P). Với i = 0, 1, 2,... đặt Qi(x) = (1 + x) 
i  . 
Chứng minh rằng: nếu i1, i2, ..., in  là các số nguyên thoả mãn: 0 £  i1 < i2 < ... < in 
thì: 
o(Q i1 + Q i2 + ... + Q in ) ³o(Q i1 ). 
4. Cho tập M của 1985 số nguyên dương khác nhau, trong đó không có số nào có 
ước số nguyên tố lớn hơn 23. Chứng minh rằng: M chứa một tập con gồm 4 số 
mà tích của chúng là luỹ thừa 4 của một