Tuyển tập Các bài toán hình học không gian có lời giải - Trần Gia Huy

 có VTPT n MB 
- = - = - 
é ù Þ = = = ë û 
- ỉ ư - = - = - ç ÷ 
è ø 
Þ = 
uuuur uuuur 
uur uuuur uuuur 
uuur uuur 
uur uuur ab ab b b 2 ,BD ; ; a a ; ; a 
2 2 2 2 
2 2 b a b b a 2 2 2 Để 2 mp trên vuông góc thì n .n 0 a 0 b a 0 1 1 2 b a(loại a, b 0) 2 2 b 
a KL : 1 thì 2 mp(A'BD) và (MBD) vuông góc 
b 
ỉ ư ỉ ư é ù = - = - ç ÷ ç ÷ ë û è ø è ø 
= é 
= Û + - = Û - = Û Û = ê = - > ë 
= 
uuur 
uur uur 
A 
B(a; 0; 0) C 
D(0; a; 0) 
A’(0; 0; b) 
B’ 
C’ 
D’ 
y 
x 
M 
z
Toán 12 – Hình học không gian Trần Gia Huy 7 
10) Tìm m để hai mặt phẳng sau song song : 
mp (P) : 2x + my + 3z + 6 –m = 0 và mp (Q) : (m+3)x + 2y + (5m+1)z – 10 = 0 
Giải 
( ) ( ) 
( ) ( ) 
P Q 
2 2 
P Q P Q 
2 
2 
Ta có : n 2;m;3 và n m 3;2;5m 1 
Để mp(P) // mp (Q) thì n // n n ,n 0 5m m 6; 7m 7;4 m 3m 0;0;0 
5m m 6 0 
7m 7 0 m 1 
4 m 3m 0 
Với m 1: mp(P) : 2x y 3z 5 0,mp(Q) : 4x 2y 6z 
= = + + 
é ù Û = Û + - - + - - = ë û 
ì + - = 
ï Û - + = Û = í 
ï - - = ỵ 
= + + + = + + - 
uur uur 
uur uur uur uur 
10 0 \ 
Nhận thấy mp (P) // mp (Q) nên nhận m 1 
= 
= 
11) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = 
b, AB = c. 
Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng : ( ) 2S abc a b c ³ + + 
(Dự bị 2 – Đại học khối D – 2003) 
Giải 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có tọa độ các điểm là : 
A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a) 
( ) ( ) ( ) 
2 2 2 2 2 2 
BCD 
2 2 2 2 2 2 
2 2 2 2 2 2 
2 2 2 2 2 
2 2 2 
BC c; b;0 ,BD c;0;a , BC,BD ab;ac;bc 
1 1 S BC,BD a b a c b c 
2 2 
đpcm a b a c b c abc(a b c) 
a b a c b c abc(a b c) 
Theo BĐT Cauchy ta được : 
a b +b c 2ab c 
b c +c a 
é ù = - = - = ë û 
é ù = = + + ë û 
Û + + ³ + + 
Û + + ³ + + 
³ 
uuur uuur uuur uuur 
uuur uuur 
2 2 2 2 2 2 2 2 
2 2 2 2 2 
2bc a Cộng vế : a b a c b c abc(a b c)(đpcm) 
c a a b 2ca b 
ü 
ï 
³ + + ³ + + ý 
ï + ³ þ 
12) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 2x + 4y + 2z – 3 = 0 và mặt phẳng 
(P) : 2x – y + 2z – 14 = 0 
a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3. 
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất. 
(Đại học khối B – 2007) 
Giải 
a) Viết phương trình mp (Q) chứa Ox, cắt (S) theo 1 đường tròn có bán kính bằng 3 
( ) 2 2 
M.cầu (S) có tâm I(1; 2; 1), bán kính R 1 4 1 3 3 
y 0 
mp (Q) chứa trục Ox nên pt mp (Q) dạng : Ay Bz 0 A B 0 
z 0 
Vì mp (Q) cắt (S) theo 1 đường tròn bán kính bằng 3 nên (Q) phải qua tâm 
- - = + + + = 
= ì 
+ = + ¹ í = ỵ 
I của m.c 
Vậy 2A B 0. Chọn A 1,B 2, ta được pt mp (Q) : y 2z 0 - - = = = - - = 
z 
y 
x 
A 
B 
C 
D
Toán 12 – Hình học không gian Trần Gia Huy 8 
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mp (P) là max 
( ) ( ) ( ) 
( ) 
( ) 
Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với mp (P). d cắt m.c tại A và B. 
Nếu d A,mp(P) d B,mp(P) thì d M,mp(P) max khi M A 
x 1 y 2 z 1 d có VTCP là a 2; 1;2 ,qua I nên ptđt d là 
2 1 2 
Gọi l 
> º 
- + + 
= - = = 
- 
a 
r 
( ) 
( ) ( ) 
( ) 1 
à tiếp diện của m.c (S) và // mp (P) thì pt dạng: 2x y 2z m 0 
m 2 9 m 7 2 2 2 m 
Để tiếp xúc m.c (S) đk là d I,mp( ) R 3 m 2 9 
m 2 9 m 11 4 1 4 
Với m 7, ta có pt : 2x y 2z 7 0. d cắt 
a - + + = 
+ = = + - + é é 
a a = Û = Û + = Û Û ê ê + = - = - + + ë ë 
= a - + + = ( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) 
( ) 
1 
2 2 
2x y 2z 7 0 
tại A thỏa hpt A 1; 1; 3 x 1 y 2 z 1 
2 1 2 
2x y 2z 11 0 
Với m 11, ta có pt : 2x y 2z 11 0. d cắt tại B thỏa hpt B 3; 3;1 x 1 y 2 z 1 
2 1 2 
2 1 6 14 
Ta có d A,mp(P) 7, 
4 1 4 
- + + = ì 
ï a Þ - - - í - + + 
= = ï - ỵ 
- + - = ì 
ï = - a - + - = a Þ - í - + + 
= = ï - ỵ 
- + - - 
= = 
+ + 
( ) 
( ) ( ) 
6 3 2 14 
d B,mp(P) 1. 
4 1 4 
Vậy d M,mp(P) max khi M A 1; 1; 3 
+ + - 
= = 
+ + 
º - - - 
13) Tìm a, b để 3 mặt phẳng sau cùng chứa một đường thẳng : 
Mp (P) : 5x + ay + 4z + b = 0 , mp (Q) : 3x – 2y + z – 3 = 0 , mp (R) : x – 2y – 2z + 5 =0 
Giải 
3x 2y z 3 0 
Gọi d là giao tuyến của mp (Q) và mp (R) thì pt đt d là : 
x 2y 2z 5 0 
Để 3 mp trên cùng chứa 1 đt thì mp (P) phải chứa đường d 
9 5 Ta thấy đường d qua 2 điểm : A 4; ;0 ,B 
2 
- + - = ì 
í - - + = ỵ 
ỉ ư 
ç ÷ 
è ø 
11 ; ;1 
2 4 
9 
20 a b 0 a 2 2 Để mp (P) chứa đường d thì A,B mp(P) 
25 11 b 11 
a 4 b 0 
2 4 
ỉ ư 
ç ÷ 
è ø 
ì + + = ï = - ì ï Ỵ Þ Û í í = - ỵ ï + + + = 
ï ỵ 
14) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng : 
1 2 
x 1 t x 2 t 
: y t và : y 4 2t 
z 4t z 1 
= - = - ì ì 
ï ï = = + í í 
ï ï = = ỵ ỵ 
d d 
Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) : y + 2z = 0 và cắt cả hai đường thẳng d1 và d2. 
(Cao đẳng kỹ thuật Cao Thắng – 2007) 
Giải
Toán 12 – Hình học không gian Trần Gia Huy 9 
( ) ( ) 
( ) ( ) 
( ) 
1 
2 
1 2 
Gọi A d P , ta thế x,y,z vào pt mp (P) : t 8t 0 t 0 A 1;0;0 
Gọi B d P , ta thế x,y,z vào pt mp (P) : 4 2t 2 0 t 3 B 5; 2;1 
d (P) cắt cả d và d nên d qua A và B. 
Với VTCP AB 4; 2;1 , ta được 
= + = Û = Þ 
= + + = Û = - Þ - 
Ì 
= - 
I 
I 
uuur x 1 y z pt đt d : 
4 2 1 
- 
= = 
- 
15) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thoi có tâm O, 
A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;2 2 ). Gọi M là trung điểm của cạnh bên SA. 
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và DM. 
b) Mặt phẳng (CDM) cắt SB tại N. Tính thể tích khối tứ diện SCMN. 
(Đại học Sài Gòn – Khối A – 2007) 
Giải 
a) Khoảng cách giữa SC và DM 
Ta có tọa độ các điểm S(0;0;2 2 ), A(2;0;0), B(0;1;0), C(-2;0;0), D(0;-1;0), M(1;0; 2 ) 
( ) ( ) ( ) ( ) 
( ) 
SC 2;0; 2 2 ,DM 1;1; 2 ,SD 0; 1; 2 2 , SC,DM 2 2;0; 2 
SC,DM .SD 4 2 4 2 2 6 Vậy d SC,DM 
3 12 2 3 SC,DM 
é ù = - - = = - - = - ë û 
é ù ë û = = = = 
é ù ë û 
uuur uuuur uuur uuur uuuur 
uuur uuuur uuur 
uuur uuuur 
b) Tính VSCMN. 
( ) ( ) 
( ) 
( ) ( ) 
( ) 
mp(CDM) có cặp VTCP là CD 2; 1;0 ,CM 3;0; 2 
(CDM) có VTPT là n CD,CM 2; 2 2;3 pt(CDM) dạng : 2x 2 2y 3z m 0 
(CDM) qua C 2;0;0 nên m 2 2 pt CDM : 2x 2 2y 3z 2 2 0 
SB 0;1; 2 2 pt đ 
= - = 
é ù = = - - Þ - - + + = ë û 
- = - Þ - - + - = 
= - Þ 
uuur uuuur 
r uuur uuuur 
uur 
{ } ( ) 
( ) ( ) ( ) 
SCMN 
x 0 
1 t SB: y 1 t .Vì N SB CDM nên ta có tọa độ N 0; ; 2 
2 
z 2 2t 
1 SC 2;0; 2 2 ,SM 1;0; 2 ,SN 0; ; 2 , SC,SM 0;4 2;0 , SC,SM .SN 2 2 
2 
1 V SC,SM . 
6 
ì = 
ï ỉ ư = + = í ç ÷ 
è ø ï = - ỵ 
ỉ ư é ù é ù = - - = - = - = = ç ÷ ë û ë û è ø 
é ù = ë û 
I 
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 
uuur uuur 1 2 SN .2 2 (đvtt) 
6 3 
= = 
uuur 
16) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(2;1;-3), đường thẳng d : x 3 y 1 z 5 
2 1 2 
- - - 
= = và mặt 
phẳng (P) : x + y – z – 1 = 0. 
a) Viết phương trình đường thẳng D đi qua A, vuông góc với đường thẳng d và song song với mặt phẳng (P). 
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng 3 . 
(Cao đẳng kinh tế – 2007) 
Giải 
a) Viết phương trình đường thẳng D qua A, vuông góc d và // (P)
Toán 12 – Hình học không gian Trần Gia Huy 10 
( )
( ) 
( ) 
( ) ( ) ( ) 
d 
P 
d P 
d nên có 1 VTPT là a 2;1;2 
// mp(P) nên có 1 VTPT là n 1;1; 1 
có VTCP là a a ,n 3;4;1 
x 2 y 1 z 3 qua A 2;1; 3 nên pt đt : A P nên //(P) 
3 4 1 
D 
D ^ D = 
D D = - 
é ù Þ D = = - ë û 
- - + 
D - D = = Ï D 
- 
uur 
uur 
uur uur uur 
b) Tìm tọa độ M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 3 
( ) 
( ) 
( ) ( ) 1 2 
x 3 2t 
Ta có pt đt d y 1 t .Vì M d nên M 3 2t;1 t;5 2t 
z 5 2t 
t 2 3 t 5 3 2t 1 t 5 2t 1 
d M,mp(P) 3 t 2 3 
t 2 3 t 1 1 1 1 
Vậy M 13;6;15 ,M 1;0;3 
= + ì 
ï = + Ỵ + + + í 
ï = + ỵ 
- = = + + + - - - é é 
= = Û - = Û Û ê ê - = - = - + + ë ë 
17) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P) : x – y + z + 3 = 0 và hai điểm 
A(-1;-3;-2) ; B(-5;7;12). 
a) Tìm tọa độ điểm A’ là điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P). 
b) Giả sử M là một điểm chạy trên mặt phẳng (P), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : MA + MB 
(Dự bị 2 – Đại học khối A – 2002) 
Giải 
a) Tìm A’ – đối xứng với A qua (P) 
( ) 
Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với mp (P) thì 
x 1 y 3 z 2 pt đt d : 
1 1 1 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mp (P) thì 
x 1 y 3 z 2 
H thỏa hệ H 2; 2; 3 1 1 1 
x y z 3 0 
H là 
+ + + 
= = 
- 
+ + + ì = = ï Þ - - - - í 
ï - + + = ỵ 
( ) 
A A' H 
A A' H 
A A' H 
x x 2x 
trung điểm AA' nên y y 2y A ' 3; 1; 4 
z z 2z 
+ = ì 
ï + = Þ - - - í 
ï + = ỵ 
b) Tìm min(MA + MB) 
( ) 
( ) 
A B Thế tọa độ A, B vào pt mp (P) ta được 3, 3. Vậy AB nằm cùng phía với mp (P) 
A' là đối xứng của A qua mp (P) nên MA MA ' 
MA MB MA ' MB A ' B MA MB 18 (A ' B 2;8;16 ) 
Min MA MB 18 khi M A ' 
r = r = 
= 
+ = + ³ Þ + ³ = - 
+ = = 
uuuur 
( ) 
(P) : x y z 3 0 
B mp (P) M thỏa hệ M 4;3; 4 x 3 y 1 z 4 A ' B : 
1 4 16 
- + + = ì 
ï Ç Þ Þ - + + + í 
= = ï - ỵ 
A
H 
A’ 
M 
B 
P
Toán 12 – Hình học không gian Trần Gia Huy 11 
18) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(-1;2;3), B(0;3;1), C(2;2;-1) và D(4;-2;1) 
Tìm MỴAB, NỴCD sao cho độ dài đoạn MN nhỏ nhất. 
Giải 
( ) ( ) 
( ) ( ) 
( ) 
x 1 t 
AB 1;1; 2 , pt đt AB : y 2 t ,M AB M 1 t;2 t;3 2t 
z 3 2t 
x 2 t ' 
CD 2; 4;2 , pt đt CD : y 2 2t ' ,N CD N 2 t ';2 2t '; 1 t ' 
z 1 t ' 
MN t ' t 3; 2t ' t; t ' 2t 4 
MN min chỉ khi MN là đường vuông 
= - + ì 
ï = - = + Ỵ Þ - + + - í 
ï = - ỵ 
= + ì 
ï = - = - Ỵ Þ +