Tuyển tập 150 đề thi đại học môn Toán

A'M'MN theo a, x, a.
 	2) Xác định tâm O của hình cầu ngoại tiếp hình chóp trên. Chứng minh rằng khi (Q) di động thì O luôn thuộc một đường thẳng cố định và hình cầu ngoại tiếp hình chóp A.A'M'MN cũng luôn chứa một đường tròn cố định. 
Đề số 70
Câu1: (2,5 điểm)
Cho hàm số: y = 
 	1) Tìm tập xác định và xét sự biến thiên của f(x);
 	2) Tìm các tiệm cận, điểm uốn và xét tính lồi lâm của đồ thị f(x)
 	3) CMR đạo hàm cấp n của f(x) bằng: 
Câu2: (2 điểm)
1) Giải bất phương trình: 
 	2) Giải phương trình: 
Câu3: (2 điểm)
1) Tính: I = 
 	2) Chứng minh rằng với 2 số tự nhiên m, n khác nhau: 
Câu4: (3,5 điểm)
1) Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng:
 	a) ^ khi và chỉ khi AC2 + BD2 = AD2 + BC2;
 	b) Nếu ^ và ^ , thì ^ 
 	2) Cho 4 điểm A(0; 0; 0), B(3; 0; 0), C(1; 2; 1), D(2; -1; 2) trong hệ toạ độ Đềcác trực truẩn Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm: C, D và tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp A.BCD.
 	3) Tìm tập hợp các điểm M(x, y) trong hệ toạ độ Đềcác trực truẩn Oxy, sao cho khoảng cách từ M đến điểm F(0; 4) bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng y = 1. Tập hợp đường đó là gì?
Đề số 71
Câu1: (2 điểm)
Cho hàm số: y = f(x) = x3 + ax + 2, 	(a là tham số)
 	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = -3.
 	2) Tìm tất cả giá trị của a để đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại một và chỉ một điểm. 
Câu2: (2 điểm)
1) Giải bất phương trình: 
 	2) Giải phương trình: 
Câu3: (1 điểm)
Với n là số tự nhiên bất kỳ lớn hơn 2, tìm x ẻ thoả mãn phương trình:
Câu4: (2 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác trực truẩn Oxyz cho đường thẳng 
(d): và mặt phẳng (P): 2x - 2y + z - 3 = 0
 	1) Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng (d) với mặt phẳng (P) . Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).
 	2) Viết phương trình hình chiếu vuông góc (d') của đường thẳng (d) trên mặt phẳng (P). 
Câu5: (3 điểm) 
	1) Tìm 2 số A, B để hàm số: h(x) = có thể biểu diễn được dưới dạng: h(x) = , từ đó tính tích phân J = 
	2) Tìm họ nguyên hàm của hàm số g(x) = sinx.sin2x.cos5x
 	3) Tính tổng: S = 
 (n là số tự nhiên bất kỳ lớn hơn 2, là số tổ hợp chập k của n phần tử)
Đề số 72
Câu1: (2 điểm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = 
 	2) Tìm trên đồ thị của hàm số điểm M sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến đường tiệm cận ngang. 
Câu2: (3 điểm)
1) Với những giá trị nào của m thì hệ bất phương trình: 
 có nghiệm
 	2) Giải phương trình: 
 	3) Cho các số x, y thoả mãn: x ³ 0, y ³ 0 và x + y = 1. Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 
Câu3: (2 điểm)
1) Giải phương trình lượng giác: cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0
 	2) Hãy tính các góc của DABC nếu trong tam giác đó ta có:
 sin2A + sin2B + 2sinAsinB = + 3cosC + cos2C. 
Câu4: (2 điểm)
Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. 
 	1) Giả sử I là một điểm thay đổi ở trên cạnh CD. Hãy xác định vị trí của I để diện tích DIAB là nhỏ nhất.
 	2) Giả sử M là một điểm thuộc cạnh AB. Qua điểm M dựng mặt phẳng song song với AC và BD. Mặt phẳng này cắt các cạnh AD, DC, CB lần lượt tại N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? Hãy xác định vị trí của M để diện tích tứ giác MNPQ là lớn nhất. 
Câu5: (1 điểm)
	Với những giá trị nào của m thì hệ phương trình: có nghiệm? 
Đề số 73
Câu1: (2 điểm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = 
 	2) Tìm trên đồ thị của hàm số hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị để khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất. 
Câu2: (1,5 điểm)
Giải phương trình lượng giác: sin3x.cos3x + cos3x.sin3x = sin34x
Câu3: (3 điểm)
1) Giải phương trình: 
2) Giải hệ phương trình: 
 	3) Cho các số x, y thay đổi thoả mãn điều kiện x ³ 0, y ³ 0 và x + y = 1. Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 3x + 9y.
Câu4: (2 điểm)
Cho họ đường tròn: x2 + y2 - 2mx - 2(m + 1)y + 2m - 1 = 0
 	1) Chứng minh rằng khi m thay đổi, họ đường tròn luôn luôn đi qua hai điểm cố định.
 	2 Chứng minh rằng với mọi m, họ đường tròn luôn cắt trục tung tại hai điểm phân biệt.
Câu5: (1,5 điểm)
Tính tích phân: 
Đề số 74
Câu1: (2 điểm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = (H)
 	2) Tìm những điểm M trên đường thẳng y = 1 sao cho từ M có thể kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị (H). 
Câu2: (2 điểm)
Cho f(x) = cos22x + 2(sinx + cosx)3 - 3sin2x + m.
 	1) Giải phương trình f(x) = 0 khi m = -3.
 	2) Tính theo m giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x). Từ đó tìm m sao cho (f(x))2 Ê 36 với mọi x.
Câu3: (2 điểm)
Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
 1) Có bao nhiêu tập con X của A thoả mãn điều kiện X chứa 1 và không chứa 2?
 2) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập A và không bắt đầu bởi 123?
Câu4: (2 điểm)
Cho hai đường tròn: (C1): x2 + y2 - 4x + 2y - 4 = 0
(C2): x2 + y2 - 10x - 6y + 30 = 0 có tâm lần lượt là I và J
 	1) Chứng minh (C1) tiếp xúc ngoài với (C2) và tìm toạ độ tiếp điểm H.
 	2) Gọi (D) là một tiếp tuyến chung không đi qua H của (C1) và (C2). Tìm toạ độ giao điểm K của (D) và đường thẳng IJ. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua K và tiếp xúc với hai đường tròn (C1) và (C2) tại H.
Câu5: (2 điểm)
Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, 
SA ^ (ABC) và SA = a. M là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Đặt góc ACM = a, hạ SH vuông góc với đường thẳng CM.
 1) Tìm quỹ tích điểm H khi điểm M chạy trên đoạn AB. Góc a bằng bao nhiêu để thể tích tứ diện SAHC đạt giá trị lớn nhất.
 2) Hạ AI ^ SC, AK ^ SH. Tính độ dài SK, AK và thể tích tứ diện SAKL theo a và a.
Đề số 75
Câu1: (2 điểm)
Cho hàm số: y = 
 	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
 	2) Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm ấy chỉ kẻ được đúng một tiếp tuyến tới đồ thị hàm số (ở phần 1). 
Câu2: (3 điểm)
	1) Giải phương trình: 2tgx + cotg2x = 2sin2x + 
2) Giải phương trình: 
3) Giải và biện luận phương trình theo tham số a: 
Câu3: (1 điểm)
Tính giới hạn: 
Câu4: (2 điểm)
Trong không gian cho hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz; và cho các điểm 
A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) (a, b, c > 0). Dựng hình hộp chữ nhật nhận O, A, B, C làm bốn đỉnh và gọi D là đỉnh đối diện với đỉnh O của hình hộp đó.
 	1) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABD).
 	2) Tính toạ độ hình chiếu vuông góc của C xuống mặt phẳng (ABD). Tìm điều kiện đối với a, b, c để hình chiếu đó nằm trên mặt phẳng (xOy) 
Câu5: (2 điểm)
 1) Tính tích phân: 
2) Tính họ nguyên hàm của: f(x) = x(1 - x)20 
Đề số 76
Câu1: (2 điểm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = x3 - x2 - x + 1
 	2) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: 
Câu2: (2 điểm)
Giải các phương trình: 
 	1) sin4x + cos2x + 4cos6x = 0
 	2) 
Câu3: (1 điểm)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm: 
Câu4: (1,5 điểm)
Cho tứ diện SABC với góc tam diện đỉnh S là vuông. Gọi H là trực tâm của 
DABC. Chứng minh rằng:
 	1) SH ^ (ABC).
 	2) 
Câu5: (2 điểm)
Cho n ẻ N
 	1) Tính tích phân: 
 	2) Chứng minh rằng: 
Câu6: (1,5 điểm)
	1) Tính tích phân: I = (n ẻ N)
 	2) Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1; 0) sao cho đường thẳng đó cùng với hai đường thẳng: (d1): 2x - y + 1 = 0 (d2): x + 2y - 2 = 0 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2.
Đề số 77
Câu1: (2 điểm)
Cho hàm số: y = x3 + 3mx2 + 3(m2 - 1)x + m3 - 3m
 	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 0.
 	2) Chứng minh rằng với mọi m hàm số đã cho luôn luôn có cực đại và cực tiểu; đồng thời chứng minh rằng khi m thay đổi các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số luôn luôn chạy trên hai đường thẳng cố định. 
Câu2: (2 điểm)
1) Giải phương trình lượng giác: 
sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x
 	2) Chứng minh rằng trong " DABC ta có:
Câu3: (2 điểm)
1) Giải hệ phương trình: 
 	2) Với những giá trị nào của m thì phương trình: có bốn nghiệm phân biệt.
Câu4: (2 điểm)
Cho góc tam diện ba mặt vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A, B, C.
 	1) Tính diện tích DABC theo OA = a
 	2) Giả sử A, B, C thay đổi nhưng luôn có: OA + OB + AB + BC + CA = k không đổi. Hãy xác định giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện OABC.
Câu5: (2 điểm)
1) Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f(x) = tg4x
 	2) Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f(x) = .
Đề số 78
Câu1: (2 điểm)
Cho hàm số: y = f(x) = x4 + 2mx2 + m (m là tham số)
 	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = -1.
 	2) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số f(x) > 0 với "x. Với những giá trị của m tìm được ở trên, CMR hàm số: F(x) = f(x) + f'(x) + f"(x) + f"'(x) + f(4)(x) > 0 "x 
Câu2: (2 điểm)
1) Giải phương trình lượng giác: 
 	2) Hai góc A, B của DABC thoả mãn điều kiện: . Chứng minh rằng: 
Câu3: (1,5 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho đường thẳng (d): và mặt phẳng (P): 2x - y - 2z + 1 = 0 
 	1) Tìm toạ độ các điểm thuộc đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến mặt phẳng (P) bằng 1
 	2) Gọi K là điểm đối xứng của I(2; -1; 3) qua đường thẳng (d). Hãy xác định toạ độ điểm K. 
Câu4: (2 điểm)
1) Giải bất phương trình: 
 	2) Với > 1 thì phương trình sau vô nghiệm:
Câu5: (2,5 điểm)
1) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) có phương trình:
 y = x2 - 4x + 5 và hai tiếp tuyến của (P) kẻ tại hai điểm A(1; 2) và B(4; 5)
 	2) Tính tích phân: I = J = 
3) Viết khai triển Newton của biểu thức (3x - 1)16. Từ đó chứng minh rằng:
Đề số 79
Câu1: (2 điểm)
Cho hàm số: y = -x4 + 2(m + 1)x2 - 2m - 1
	1) Xác định tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm lập thành một cấp số cộng.
	2) Gọi (C) là đồ thị khi m = 0. Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị (C). 
Câu2: (2 điểm)
1) Giải phương trình: x2 + 
 	2) Giải và biện luận phương trình: m.cotg2x = theo tham số m 
Câu3: (1,5 điểm)
1) Cho hai hàm số: f(x) = 4cosx + 3sinx; g(x) = cosx + 2sinx
 	 a) Tìm các số A, B thoả mãn: g(x) = A.f(x) + B.f'(x)
 	b) Tính tích phân: 
 	2) Tìm th