Tự ôn luyện thi môn Toán năm 2005 - Nguyễn Đức Tuấn

=−
y10)yx(x
x3)yx(y2
22
22
Ví dụ 11.Tìm m ñể hệ có hai nghiệm phân biệt: 



=+−
=+
2x2yx
myx
22 
Ví dụ 12. Giải hệ phương trình 




=−
−=−−
180xy)yx(
11yxyx
22
22
Ví dụ 13. Giải hệ phương trình 




+=+
−=−
)yx(7yx
)yx(19yx
33
33
========================================================== 
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 8 
Chương 2: Phương trình lượng giác, mũ, logarit 
Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
I. Phương trình lượng giác cơ bản 
 Khi giải các phương trình lượng giác cuối cùng dẫn ñến phép giải các phương trình 
lượng giác cơ bản. Ta cần ghi nhớ bảng sau ñây: 
Phương trình ðiều kiện có nghiệm ðưa về dạng Nghiệm 
sinx = m 1m1 ≤≤− sinx = sin α 



pi+α−pi=
pi+α=
2kx
2kx
cosx = m 1m1 ≤≤− cosx = cos α α± + k2 pi 
tgx = m mọi m tgx = tg α α + k pi 
cotgx = m mọi m cotgx = cotg α α + k pi 
 Ở bảng trên k nhận mọi giá trị nguyên ( Zk ∈ ) . ðơn vị góc thường dùng là radian. 
ðể thuận lợi cho việc chọn α ta cần nhớ giá trị của hàm lượng giác tại các góc ñặc biệt. ðường 
tròn lượng giác sẽ giúp ta nhớ một cách rõ ràng hơn. 
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 9 
Ví dụ 1. Giải phương trình: 
 a) sin3x = 
2
2
; b) sin(2x - 
5
pi ) = 1; c) sin( pix ) = 0. 
Ví dụ 2. Giải phương trình: 
 a) cos2x = cos
5
pi
; b) cos(3x - 
3
pi ) = cos(x + 
2
pi ); c) cosx = sin(2x + 
4
pi ). 
Ví dụ 3. Giải phương trình: 0)
3
8
xcos
3
(cos2 =pi−pi . 
Ví dụ 4. Giải phương trình: )xsin3cos()xsincos( pi=pi 
Ví dụ 5. Giải phương trình: 1)x2(sinxcos 22 =− 
II. Phương trình bậc nhất ñối với sinx và cosx: asinx + bcosx = c (1) , 0ba 22 ≠+ 
 Chia hai vế của phương trình (1) cho 22 ba + , ta ñược: 
 (1) ⇔ 
222222 ba
c
xcos
ba
b
xsin
ba
a
+
=
+
+
+
 (2) 
 ðặt 
22 ba
a
+
= sin ϕ ; 
22 ba
b
+
 = cos ϕ . 
 Khi ñó phương trình lượng giác có dạng: cos(x - ϕ ) = 
22 ba
c
+
 (3) 
 Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: 222
22
cba1
ba
c ≥+⇔≤
+
 Khi ñó tồn tại [ ]pi∈α ;0 sao cho 
22 ba
c
cos
+
=α nên ta có: 
 (1) ⇔ α=ϕ− cos)xcos( ⇔ pi+α±ϕ= 2kx ; Zk ∈ 
Ví dụ 6. Giải phương trình: 2sin4x + 3 sinx = cosx. 
Ví dụ 7. Cho phương trình: sinx + mcosx = 1 
a) Giải phương trình với m = - 3 . 
b) Tìm m ñể phương trình vô nghiệm. 
Ví dụ 8. Giải phương trình: 1xsin3xcosxsin32xcos 22 =++ 
Ví dụ 9. Tìm α ñể phương trình sau có nghiệm x ∈ IR: 
 2)xsin(xcos3 =α++ 
Ví dụ 10. Giải phương trình: ).x8cosx6(sin3x6cosx8sin +=− 
Ví dụ 11. Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm 


 pi
∈
2
;0x : 
 cos2x – msin2x = 2m – 1 
Ví dụ 12. Giải phương trình: sin8x – cos6x = 3 (sin6x + cos8x). 
Ví dụ 13. Giải phương trình: 0
4
1
xsinx4cos.xcosx4cos 22 =+−− 
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 10 
III. Phương trình ñẳng cấp, phương trình ñối xứng ñối với sinx và cosx 
1) Phương trình ñẳng cấp bậc cao ñối với sinx và cosx: 
Khái niệm: Một phương trình sau khi biến ñổi về cosx, sinx mà ở tất cả các số 
hạng có tổng số mũ của cosx và của sinx hoặc ñều là số tự nhiên chẵn hoặc ñều là số tự 
nhiên lẻ thì phương trình ñó ñược gọi là “ ñẳng cấp” ñối với cosx và sinx. Gọi k là số lớn 
nhất trong các tổng số mũ nói trên ñược gọi là bậc của phương trình. 
 Cách giải: - Xét trường hợp cosx = 0 thử vào phương trình 
- Khi 0xcos ≠ chia hai vế phương trình cho coskx sau ñó ñặt 
ẩn phụ t = tgx. 
Ví dụ 14. Giải phương trình: 2sin3x = cosx 
Ví dụ 15. Giải phương trình: xsin2)
4
x(sin3 =pi+ 
Ví dụ 16. Tìm m ñể phương trình có nghiệm: 
 msin2x + cos2x + sin2x +m = 0. 
Ví dụ 17: Tìm m ñể phương trình sau có ñúng hai nghiệm x nằm trong khoảng 




 pipi
−
2
;
2
:
 3sin4x – 2(m+2)sin2x.cos2x + (1 – m2 )cos4x = 0. 
 2) Phương trình ñối xứng sinx và cosx: 
Khái niệm: Một phương trình sau khi biến ñổi về cosx, sinx mà các số hạng có 
chứa tổng (cosx ± sinx ) hoặc chứa tích cosx.sinx ñược gọi là phương trình ñối xứng ñối 
với cosx và sinx. Ví dụ phương trình: 0cxsin.xcosb)xsinx(cosa =++± . 
 Cách giải: ðặt t = sinx + cosx, ta có 2t ≤ . Khi ñó: sinx.cosx = 
2
1t2 −
 Nếu ñặt t = sinx - cosx, ta có 2t ≤ . Khi ñó: sinx.cosx = 
2
t1 2−
Ví dụ 18. Cho phương trình: sinx.cosx = 6 ( sinx + cosx + m). 
a) Giải hệ phương trình với m = - 1. 
b) Tìm m ñể phương trình có nghiệm. 
Ví dụ 19. Giải phương trình: x2sin
2
3
xcosxsin1 33 =++ 
Ví dụ 20. Giải phương trình: x4sin
2
3
x2cosx2sin1 33 =++ 
Ví dụ 21. Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm 


 pipi
∈
4
3
,
4
x : 
 .mxsinxcos 33 =+ 
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 11 
IV. Phương trình ñưa về dạng tích 
Các phương trình lượng giác không có dạng như những phương trình ñã trình bày ở các 
mục trước, người ta thường nghĩ tới phân tích chúng thành những phương trình cơ bản. 
 Việc phân tích thành tích thực chất là ñi tìm thừa số chung của các số hạng có trong 
phương trình. ðể làm ñược ñiều ñó, chúng ta cần phải thành thạo các công thức lượng giác, các 
hằng ñẳng thức ñại số ñáng nhớ và cũng cần phải có kinh nghiệm nhìn nhận mối quan hệ giữa 
các số hạng có trong phương trình. 
• Thử các nghiệm ñặc biệt như 1xsin ±= , 
2
1
xsin ±= , 1xcos ±= , 
2
1
xcos ±= 
và phương trình có chứa thừa số (cosx ± sinx). Sử dụng ñẳng thức sin2x + cos2x 
= 1. 
• Dùng các công thức biến ñổi như hạ bậc, biến ñổi tổng thành tích , biến ñổi tích 
thành tổng, hàm số lượng giác của hai góc có liên quan ñặc biệt. Chú thêm một 
số biến ñổi sau ñây: 
x2sin
2
tgxgxcot =+ , x2gcot2tgxgxcot =− , 
x2sin
1
x2gcotgxcot =− 
• ðặt các nhân tử chung (nhân tử chung suy ra từ nghiệm ñã thử ñược). 
Tham khảo thêm bảng họ các biểu thức có nhân tử chung. 
f(x) Biểu thức chứa thừa số f(x) 
sinx sin2x, tgx, tg2x, ... 
cosx sin2x, tg2x, cotgx, ... 
1+cosx 
2
x
cos2 , 
2
xgcot 2 , sin2x, tg2x 
1-cosx 
2
x
sin 2 , 
2
x
tg2 , sin2x, tg2x 
1+sinx 
cos2x, cotg2x, )
2
x
4
(cos2 −pi , )
2
x
4
(sin 2 +pi 
1-sinx 
cos2x, cotg2x, )
2
x
4
(cos2 +pi , )
2
x
4
(sin 2 −pi 
sinx+cosx cos2x, cotg2x, 1+ sin2x, 1+ tgx, 1+ cotgx, tgx - cotgx 
sinx-cosx cos2x, cotg2x, 1 - sin2x, 1 - tgx, 1 - cotgx, tgx - cotgx 
Ví dụ 1.Giải phương trình: cos3x – 2cos2x + cosx = 0 . 
Ví dụ 2.Giải phương trình: sin2x + sin22x + sin23x = 
2
3
Ví dụ 3.Giải phương trình: cos3x.cos4x + sin2x.sin5x = 
2
1 ( cos2x + cos4x). 
Ví dụ 4.Giải phương trình: 2sin3x + cos2x + cosx = 0 
Ví dụ 5.Giải phương trình: sin4x – cos4x = 1 + 4(sinx – cosx) 
Ví dụ 6.Giải phương trình: x2sin1
tgx1
tgx1
+=
−
+
Ví dụ 7.Giải phương trình 





−
pi
=−
2
x
4
sin4x2sinx4cos.xsin 22 . 
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 12 
Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT 
I. Các kết quả cơ bản 
 1) Hàm số mũ: y = ax, .1a0 ≠< 
• Tập xác ñịnh: IR. 
• Tập giá trị: IR+. (ñồ thị luôn nằm phía trên trục hoành) 
• Khi a > 1 hàm số ñồng biến. 
 Khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến. 
• Dạng ñồ thị: 
 2) Hàm số logarit: y = logax , .1a0 ≠< 
 a) Các tính chất: 
• Tập xác ñịnh: IR* (x > 0 ). 
• Tập giá trị: IR 
• Khi a > 1 hàm số ñồng biến. 
 Khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến. 
• Dạng ñồ thị: 
 Chú ý: Trong các bất phương trình mũ, logarit, cơ số a lớn hơn hay bé 
hơn 1 quyết ñịnh chiều của bất phương trình. Vì vậy phải chú ý ñến chiều của bất phương trình 
trong quá trình biến ñổi. 
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 13 
b)Các công thức chú ý: 
• blog a có nghĩa 



≠<
>
⇔
1a0
0b
• 
alog
blogblog
c
c
a = ( Công thức ñổi cơ số với 0b > , 1a0 ≠< , 1c0 ≠< ). 
• blog
n
mblog aman = ( Với b > 0 và 1a0 ≠< ) 
• |b|log.k2blog ak2a = với Zk ∈ . 
II. Các phương trình, bất phương trình có dạng cơ bản 
1) Phương trình mũ: 
Cho .1a0 ≠< 
Dạng 1: 



=
>
⇔=
blog)x(f
0b
ba
a
)x(f
Dạng 2: ba )x(f 0) 










>
<<



<
>
⇔
blog)x(f
1a0
blog)x(f
1a
a
a
Dạng 3: ba )x(f > 
- Nếu 0b ≤ bất phương trình nghiệm ñúng với mọi x thuộc tập xác ñịnh 
của bất phương trình. 
- Nếu b > 0, khi ñó bất phương trình tương ñương với: 










<
<<



>
>
blog)x(f
1a0
blog)x(f
1a
a
a
 Dạng 4: 










>
<<



<
>
⇔<
)x(g)x(f
1a0
)x(g)x(f
1a
aa )x(g)x(f 
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 14 
2)Phương trình logarit 
Dạng 1: ba a)x(fb)x(flog =⇔= . 
Dạng 2: 










>
<<



<<
>
⇔<
b
b
a
a)x(f
1a0
a)x(f0
1a
b)x(flog 
Dạng 3: 










<<
<<



>
>
⇔>
b
b
a
a)x(f0
1a0
a)x(f
1a
b)x(flog 
Dạng 4: 










<<
<<



<<
>
⇔<
)x(f)x(g0
1a0
)x(g)x(f0
1a
)x(glog)x(flog aa 
Ví dụ 1. Cho phương trình: 1mm
5
1 24
3x4x2
+−=





+−
 a)Giải phương trình khi m = 1. 
b)Tìm m ñể phương trình có 4 nghiệm phân biệt. 
Ví dụ 2. Giải bất phương trình: 2)3x8x5(log 2x >+− 
Ví dụ 3. Tìm m ñể phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: x)m99(log 3x2 =+ 
Ví dụ 4. Giải phương trình: 
 0)x2cosx(coslog)xsinx(coslog
x
1x =++− 
Ví dụ 5. Giải bất phương trình: [ ] 1)729(loglog x3x ≤− 
Ví dụ 6. Giải bất phương trình: )x3(log)x5(log
3
1
3
1 −<− 
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 15 
III. Các phương trình, bất phương trình không cơ bản 
• Phải ñặt ñiều kiện. 
• Những bài toán có tham số, ñặt ẩn phụ phải tìm tập xác ñịnh của ẩn mới. 
• Những bài toán phương trình, bất phương trình mũ, logarit mà ẩn x vừa ở số 
mũ của lũy thừa, vừa ở hệ số, thường chuyển