Từ hình học phẳng đến hình học không gian

 có bài toán sau:
 Cho tứ diện ABCD đều, trọng tâm G. Một điểm M trong tứ diện, đường thẳng MG cắt các mặt phẳng BCD, ACD, ABD, ABC lần lượt taị các điểm A’, B’, C’, D’ chứng minh rằng: 
	Giải:	A
Hạ 
Ta dễ dàng chứng minh được A’, K, H thẳng hàng. B’
 M G
	B K H D 
 A’ 
Gọi I, E, F lần lượt là chân đường cao hạ từ M xuống mặt phẳng ABD, ACD, ABC. Hoàn toàn tương tự ta cũng có: 
; ; .
. 
Mặt khác ta lại có: 
Mà: 
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 7: Cho nửa đường tròn đường kính MN tâm O. Tìm độ dài các cạnh của hình chữ nhật ABCD ( A, D thuộc MN; B, C thuộc nửa đường tròn ) sao cho
 a.Diện tích ABCD lớn nhất.
 b.Chu vi ABCD lớn nhất.
Giải:
a.Đặt MA = x, khi đó ta có: 
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi 
Vậy diện tích ABCD lớn nhất khi và chỉ khi 
b.Đặt chu vi của hình chữ nhật ABCD là P ta có:
 P = 2( a+ 2b ) trong đó a = AB, b = AO.
Ap dụng BĐT bu-nhia-cốp-xki ta có:
 vậy Max P = khi a = 2b.
Từ đây ta có bài toán trong không gian như sau:
Cho nửa hình cầu bán kính R. Tìm độ dài đường cao và các cạnh của hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’( A, B, C, D thuộc mặt phẳng đáy) sao cho:
 a.Thể tích hình hộp lớn nhất.
 b. Chu vi hình hộp lớn nhất.
Giải:
Bạn đọc tự giải.
Chú ý:
Ta cũng có một số bài toán tương tự với bài toán trên như sau:
Cho hình chóp có bán kính đáy R , đường cao bằng 3R ngoại tiếp hình trụ. Tìm bán kính và 
 đường cao của hình trụ để:
Thể tích hình trụ lớn nhất.
Diện tích xung quanh lớn nhất.
Khi cắt mặt cầu (O,R) bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu và hỡnh trũn lớn của mặt kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nữa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nữa mặt cầu (O,R) nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, cũng đường trụ đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nữa mặt cầu. Cho R = 1, hãy tính bán kính đáy và chiều cao của hình trụ nội tiếp mặt cầu(O,R) để khối trụ đó có thể tớch lớn nhất.
Ví dụ 8: Cho tam giác ABC. Tìm điểm M trên cạnh BC sao cho tổng khoảng cách từ B, C đến AM là lớn nhất.
Giải:
 A
Ta có: BH + CK BM + CM = BC
Vậy tổng khoảng cách từ B, C đến AM lớn nhất
khi M là chân dường cao hạ từ A xuống BC.
 H 
 B M C
	K
Phát triển trong không gian ta có bài toán sau:
Cho tứ diện ABCD với AC = AD, BC = BD . Dựng mặt phẳng qua AB cắt cạnh CD sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến mặt phẳng đó là lớn nhất.
Giải:
Giả sử mp cắt CD tạ điểm M. Gọi E, F lần lượt là chân đường cao hạ từ C và D.
Ta có: CE + DF CM + DM = CD.	
Vậy tổng khoảng cách từ C, D đến (ABM) lớn nhất khi và chỉ khi: (ABM) CD khi M là trung điểm của CD. 
 A 
 B 
 E M D
Chú ý. C F 
Ta có thể thay đổi yêu cầu bài toán để nó trở nên hay hơn như sau:
 1.Cho tứ diện ABCD có AC = AD, BC = BD . Hãy dựng mặt phẳng qua AB cắt cạnh CD tại M sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
2. Cho tứ diện ABCD có AC = AD, BC = BD . Hãy dựng một mặt phẳng quay quanh AB sao cho nhỏ nhất ( H, K lần lượt là chân đường cao hạ từ C, D xuống mặt phẳng đó).
Ví dụ 9: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O có trọng tâm G. Các đường trung tuyến AA’, BB’, CC’ cắt đường tròn ngoại tiếp lần lượt tại các điểm A”, B”, C”. Chứng minh rằng:
1. AA” + BB” + CC” > AB + BC + AC.
2. GB” + GC” + GA” GA + GB + GC.
Giải:
1.Gọi lần lượt là các đường trung tuyến hạ từ các đỉnh A, B, C xuống các cạnh đối diện. B” 
Khi đó ta có: 	A	 
 	B’	
Tương tự ta cũng có: 	 C” C’ G C 
 A’ 
Từ đó suy ra: B 
 AA” =AA’+A’A”=. 
Mặt khác ta laị có AB+AC>2AA’ 
 AA” + BB” + CC” > AB + BC + AC(đpcm) 
2. Cách 1. Ap dụng công thức đường trung tuyến.
Ap dụng câu 1 ta có khi đó ta có : 
GA” = GA’ + A’A” = tương tự ta cũng có:
GB” = ; GC” = 
Suy ra: GB” + GC” + GA”= ++= = 
Ta có: GA + GB + GC = 
Suy ra: GB” + GC” + GA” GA + GB +GC 
 bất đẳng thức này hiển nhiên đúng.
Cách 2. Sử dụng phương pháp véc tơ.
Theo phương tích của điểm ta có: GA.GA” = . Ta có:
GB” + GC” + GA”= 
Ta lại có : 
Suy ra: GB” + GC” + GA”= GA + GB + GC.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Từ đây ta có bài toán trong không gian như sau:
Cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu tâm O, trọng tâm G. Các đường thẳng AG, BG, CG, DG cắt mặt cầu lần lượt tại các điểm A’, B’, C’, D’. Chứng minh rằng:
1. AA’ + BB’ + CC’ + DD’ .
2. GA’ + GB’ + GC’ + GD’ GA + GB + GC + GD.
Giải:
1. Ta có:
Tưong tự ta cũng có: 
Suy ra AA’ + BB’ + CC’ + DD’ 
Mặt khác ta lại có:
 AA’ + BB’ + CC’ + DD’ .
2. Ta có:
 GB” + GC” + GA”+GD”=
= 
Mặt khác theo câu 1 ta chứng minh được : 
Suy ra: GA’ + GB’ + GC’ + GD’ GA + GB + GC + GD.(đpcm)
Ví dụ 10. Cho tam giác ABC. Tìm điểm M nằm tam giác sao cho tổng 
MA + MB + MC nhỏ nhất. ( Điểm toricelli ).
 Giải:
Ta sẽ sử dụng phương pháp vật lý để giải quyết bài toán trên.
 Ap dụng nguyên lý : “ Mọi vật trong tự nhiên đều có xu hướng dịch chuỷên về trạng thái có mức thế năng cực tiểu.” A
Chọn mặt đất làm phương tính thế năng.
Hướng dương là hướng phía trên. M
Hướng dương là hướng phía trên. 
Trong không gian ta dựng tam giác ABC nhọn B C
song song với mặt đất.
Lấy những đoạn dây treo không khôí lượng
không giãn, có chiều dài = l và những
quả cân nặng có khối lượng đơn vị. Nối các đoạn dây lại một điểm chung M, đầu còn lại nối với các qủa nặng và vắt chúng qua các đỉnh của tam giác ABC như hình vẽ. 
 Giả thiết các sợi dây dịch chyển không ma sát với các đỉnh của tam giác ABC và giả thiết môi trường thực nghiệm là lý tưởng. Rõ ràng hệ dịch chuyển về vị trí mà thế năng đặt cực tiểu.
 Ký hiệu các khoảng cách, chiều dài cũng như các lực tác dụng lên vật như hình. Theo đó thế năng tại vị trí cân bằng là:
 Min
đạt Minđạt Max (vì )
đạt Min (vì 
 Điểm M ở vị trí cân bằng nên lực tác dụng lên M phải bằng 0. Các lực tác dụng lên M có mođun bằng nhau: A
Hay ta có: và ABC đều.
Từ đây dễ dàng suy ra .
Ngoài ra bài toán trên còn được giải bằng phép quay . M
 B C
Bây giờ mở rộng sang không gian ta có điểm toticelli trong không gian như sau:
“ Cho tứ diện ABCD, hãy tìm điểm M trong không gian sao cho tổng 
MA + MB + MC + MD nhỏ nhất.”
 Giải:	 
Dựng tứ diện ABCD có mặt phẳng BCD song song với mặt đất.Rồi tiến hành
thí nghiệm nhưthí n bài toán trên
Bổ đề: Nếu tứ diện có tâm đường trònngoại tiếp trùng với trọng tâm thì nó
là tứ diện gần đều. 
 Hoàn toàn tương tự tại vị trí cân bằng M thế năng đạt cực tiểu hay:
 Min	A	
 đạt Min 
đạt Max
(vì )
đạt Min
(vì B M
 và D	
 C 
điều này xẩy ra khi và chỉ khi M là trọng 
 tâm của tứ diện. 
từ đây suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp.
 Ap dụng bổ đề ta có : ABCD là tứ diện gần đều.
Suy ra: AB = CD, AC = BD, AD = BC 
Tương tự ta cũng có: 
Vậy để tổng MA + MB + MC + MD nhỏ nhất thì M phải là điểm toricelli.
Để giải quyết bài toán này ta cũng có thể sử dụng phương pháp véc tơ.
Ví dụ 11. Cho tam giác ABC, gọi là các véc tơ hướng ra ngoài tam giác ABC, Chứng minh rằng:
= 0 ( Định lý con nhím)
	Giải:	A
Đặt 
Theo giả thiết ta có 
 M
Nên 
 B C
Tưọng tự ta cũng có: 
Điều này xẩy ra khi và chỉ khi =0.
Định lý trên có thể khái quát đối với tứ diện trong không gian như sau:
 Cho tứ diện ABCD gọi là các véc tơ hướng ra ngoài tứ diện ABCD, Chứng minh rằng:
= 0 (2) ( Định lý con nhím trong không gian)
 Giải:	
Đặt 
Đặt vế trái của (2) là . Ta sẽ chứng minh .	A
 Chú ý rằng nên: 
Ta có: B D
 	C
Trong đó V là thể tích tứ diện ABCD. 	
Tưọng tự ta cũng có: do đó . Tương tự ta cũng chứng minh được .
 Bằng cách lập luận tương tự ta cũng chứng minh được vuông góc với 3 mp còn lại, điều này xẩy ra khi và chỉ khi = 0.(đpcm).
 Ví dụ 12: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt đuờng tròn (O) lần lượt tại M, N, K. 
Chứng minh rằng: .
 Giải: 
Ta có: suy ra 
Mặt khác ta dễ dàng chứng minh được DH = DM do đó ta có. 
 A N	 
Tương tự ta cũng có: E 
Suy ra: 	K F 
 H
Vậy ta có điều phả chứng minh. B D C
Từ đây ta có bài toán sau: 
	 M
Cho tứ diện trực tâm ( là tứ diện có các cạnh đối bằng nhau) ABCD nội tiếp mặt cầu tâm O. Các đường cao ( vuông góc với các mặt phẳng tương ứng) cắt mặt cầu lần lượt tại các điểm . 
Chứng minh rằng: 
Hoàn toàn tương tự , bạn đọc tự giải.
Ví dụ 13: Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp làr.Gọi;. lần lượt là bán kính đường tròn bàng tiếp, đường cao đối với các đỉnh A, B, C.
Chứng minh rằng:
1.
 2.
Giải:
1. Ta sẽ chứng minh : 
Ta có: suy ra ( vì HC=BK; CK=HB)
 (đpcm)	A	
2. Ta có: ; ; .
Suy ra: ; ; E 
	 O C 
(1) 	 H Mặt khác ta lại có: 	 F (2) K 
 B 
Từ (1) và (2) ta có đpcm. 
Mở rộng không gian ta có bài toán sau:
Cho tứ diện ABCD. Gọi r là bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện. Gọi là bán kính hình cầu bàng tiếp góc A của tứ diện, các ký hiệu tương tự. Gọi là các đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C, D của tứ diện. Chứng minh rằng:
1.
2.
Giải:
1. Đặt ; 
Trong đó là diện tích của các tam giác đối diện với các đỉnh A, B, C, D.
Mặt khác ta lại có: 
Hoàn toàn tương tự ta cũng có:
;;
	A
Cộng vế theo vế của các đẳng thức trên ta được: 
Từ đó suy ra: (đpcm) O
 B K D
 H 
 C
2.Ta có: hoàn toàn tương tự ta cũng có:
; ; 
Suy ra (1)
Từ chứng minh trên ta có: 
Tương tự ta cũng có: ; 
Suy ra: (2)
Từ (1) và (2) ta có đpcm.
Ví dụ 14: Cho tam giác ABC không đều nội tiếp đường tròn ( O, R). Tìm trên đường tròn điểm M sao cho tổng bình phương khoảng cách từ M đến ba đỉnh của tam gíac đó nhỏ nhất, lớn nhất.
Giải:
 M
Ta có: 
	 A
T=
( H là trực tâm của tam giác ABC)
Vậy : T nhỏ nhất khi 
 T lớn nhất khi 	B	C
Từ đây ta có bài toán sau:
Cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu tâm O bán kính R. Tìm trên mặt cầu đó diểm M sao cho tổng bình phương khoảng cách từ M đến các đỉnh của tứ diện là nhỏ nhất.
Giải:
Đặt S = 
Ta có: 
Ta lại có: 
Suy ra 
Vậy: +, Min S = +, Max S = 
Chú ý : Trường hợp G O thì tứ diện ABCD đều từ đó suy ra S không đổi và bằng 
Bài tập áp dụng
Bài toán 1. Cho góc xOy và điểm M nằm trong góc. Dựng đường thẳng đi qua M cắt Ox, Oy theo thứ tự ở A, B sao cho:
1.Tổng OA + OB nhỏ nhất.
2.Diện tích nhỏ nhất.
3.Chu vi nhỏ nhất.
Bài toán 2. Cho tam giác ABC, trên các đường thẳng AB, BC, AC lấy lần lượt các điểm M, N, P. Chứng minh rằng các đường thẳng AN, BP