Tổng hợp lý thuyết và bài tập về Nguyên hàm, tích phân

 . 
 Khi đó  I f u du  , tiếp theo tìm nguyên hàm  F u của  f u . 
 Khi đó      I f u du F u C F g x C       
 5). Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần : 
 a. Công thức : 
udv uv vdu   
 b. Các bước thực hiện : 
 Bước 1: 
( ) ( ) ( )
Ñaët
( ) ( ) (nguyeân haøm)
u u x du u x dx Ñaïohaøm
dv v x dx v v x
  
 
  
 Bước 2: Thế vào công thức : udv uv vdu   . 
 Bước 3: Suy nghĩ tìm cách tính tiếp 
b
a
vdu . 
(tích phân này có thể tính bằng định nghĩa hoặc đổi biến số hoặc tích phân 
từng phần tùy từng bài toán cụ thể mà ta phải xem xét). 
 c. Các dạng thường gặp : 
Tích phân từng phần thường được áp dụng để tính các tích phân có dạng như 
sau: 
 Dạng 1 :    I p x q x dx  
Trong đó  p x là hàm số đa thức, còn  q x là hàm sin ( )x hoặc 
cos ( )x hoặc  xe . 
 Trong trường hợp này ta đặt: 
 
 
u p x
dv q x dx
 


  Ghi nhớ : Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì khi thế vào 
công thức ta được  vdu phức tạp hơn udv ban đầu. 
 Dạng 2 :    I p x q x dx  
Trong đó  p x là hàm số đa thức, còn  q x là hàm logarit. 
 Trong trường hợp này ta đặt: 
 
 
u q x
dv p x dx
 


 Ghi nhớ: Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì ta gặp khó khăn 
khi suy ra v từ dv . 
 6). Bài tập : 
 Bài 1 : Cho hàm số   2 1
x
f x
x


 và hàm số   2ln 1F x x  . Chứng minh 
rằng  F x là nguyên hàm của  f x . 
Bài 2: Cho hai hàm số   2 2  sinF x x x ;   24 cosf x x . 
a. Chứng minh rằng  F x là nguyên hàm của  f x . 
b. Tìm nguyên hàm  G x biết rằng 0
2
 
 
 
G . 
Bài 3: Cho hàm số   4
1 3
 f x
xx
 và hàm số   3
1
2F x x
x
  . 
 a. Chứng minh rằng  F x là nguyên hàm của  f x . 
b. Tìm nguyên hàm  G x của hàm số  f x biết rằng  1 5G . 
Bài 4 : Cho hàm số   x xf x xe e  . 
a. Tính  f x . 
b. Dựa vào kết quả câu a, hãy tính  3 xx e dx . 
Bài 5 : Biết rằng hàm số    x
x
F x
e
 là nguyên hàm của hàm số  f x . Hãy 
giải phương trình sau :   0f x  . 
Bài 6 : Cho hàm số    
2
1f x x  . Tìm nguyên hàm  F x của hàm số 
 f x biết rằng  1 0F  . 
Bài 7 : Tính : 
 a. x xdx ; b. 23
1
dx
x
 ; c. 
3
2
2 1x x
dx
x
 
 
Bài 8 : Tính : 
a. sin (3 cot )x x dx ; b. 
2
sin cos
2 2
x x
dx
 
 
 
 ; 
c. 
2
1 sin 2 cos
cos
x x
dx
x

 ; d. cos5 cosx xdx . 
Bài 9 : Tính : 
a.  3 5.2x xe dx ; b. 
12 3
2
x x
x
dx
 
 ; c. 
2
1
3
3
x
x
dx
 
 
 
 . 
Bài 10 : Tính : 
a. 
2 3
1
x
dx
x


; b. 
2 4 5
1
x x
dx
x
 

; c. 
  2 4
dx
x x 
; 
Bài 11 : Tính : 
a. 4sin cosx xdx ; b.  
cos
3sin 5
xdx
x 
; c. 
2
2 tan 1
cos
x
dx
x

 
d. 
3
sin
cos
x
dx
x
; e. 3sin cosxe xdx ; f. tan xdx ; 
Bài 12 : Tính : 
a. 
 
3
ln 2x
dx
x

 ; b. ln
dx
x x
; c. 
5ln x
dx
x
d. 3
log lnx x
dx
x
Bài 13 : Tính : 
a. 
2
32 5
x dx
x 
; b.  
10
1x xdx ; c. 
 
2
1
2 2
x dx
x x

 
d. 2 1x dx ; e. 
2 3x xdx ; f. 
2 32x x dx 
Bài 14 : Tính : 
a. cos2x xdx ; b. 
1
x
x
dx
e

 ; c. sin 2
x
x dx 
d. ln
3
x
dx ; e.  2 lnx xdx ; f.  ln 2x dx 
g. 
2
ln x
dx
x
. 
§2. TÍCH PHÂN : 
1). Định nghĩa:        
b
b
a
a
f x dx F x F b F a   
2). Tính chất: 
a. TC1:    
b a
a b
f x dx f x dx   
b. TC2:     0( )
b b
a a
kf x dx k f x dx k   
c. TC3:        
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx       
d. TC4:      
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx    
3). Bài tập: 
 Ghi nhớ: 
 Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu 
tích phân thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm. 
 Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử lớn hơn 
hoặc bằng bậc của mẫu ta phải thực hiện phép chia tử cho mẫu. 
 Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta 
phải xét dấu biểu thức nằm trong dấu GTTĐ. Tiếp theo phân đoạn cần tính tích 
phân thành những đoạn con sao cho trên mỗi đoạn con biểu thức nằm trong dấu 
GTTĐ không đổi dấu. Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ. 
Bài 1: Tính các tích phân sau đây: 
a. 
4
0
2 3

 (cos sin )x x dx ; b. 
1
1
2 1

 x dx ; c.  
1
2
1
2 3

  x x dx ; 
d. 
2 4 1
2
1


x
x
e
dx
e
; e.
  
1
0
1 2
dx
x x 
; f. 
1
23
0
x x dx 
 Bài 2: Cho hàm số   2 1
x
f x
x


 và hàm số   2 1lnF x x  . 
a. Chứng minh rằng  F x là nguyên hàm của  f x . 
b. Áp dụng câu a, tính 
1
2
0
1
xdx
x 
. 
 Bài 3: Cho hàm số   2 2ln lnf x x x x x  . 
a. Tính  f x . 
b. Áp dụng câu a, tính 2
1
ln
e
xdx . 
Bài 4: Cho hàm số    2 1xf x e x  
a. Tính  f x . 
b. Áp dụng câu a, tính tích phân 
1
0
xe dx . 
§3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ: 
2). Công thức tổng quát:      .
b
a
f x x dx f t dt


      
Công thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái. Hàm số dưới dấu 
tích phân có dạng tích của  f x   (hàm số theo biến là  x ) với đạo hàm của 
hàm  x . 
3). Bài tập: 
Bài 1: Tính các tích phân sau đây: 
a. 
 
6
3
0 2 1
cos
sin
xdx
x


 ; b. 
2
3
6 1cos sinx xdx


 ; c.  1 3 2ln
e
dx
x x 
d. 
19
23
0 8
xdx
x 
 ; e. 
2
42
1
2
2ln
e
xdx
x
; f. 
1
0
3 1x dx 
Bài 2: Tính các tích phân sau đây: 
a. 
 1
2
0
2
4 5
x dx
x x

 
; b. 
24
2
0
cos
tgxe dx
x

 ; c.  
2
2
6
3 1

 

cot sin
dx
x x
d. 
4
2 1
1
x
dx
e x
 ; e. 
2 2
1
2
2
xe dx
x
 ; f.  
2
4
0
2sin 1 cosx xdx

 
 Bài 3: Tính các tích phân sau đây: 
a. 
3
4
0


sin
cos
xdx
x
; b. 
2
3
0
2 1

sin ( cos )x x dx ; c.
4
0
2
1 2


cos
sin
xdx
x
d. 
6
4 4
0
2sin
cos sin
xdx
x x


 e.
3
2 3
0
1x x dx ; f. 
6
2
0
2
2 1


sin
sin
xdx
x
§4. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN: 
1). Công thức tổng quát:  
b b
b
a
a a
uv dx uv vu dx    
hay  
b b
b
a
a a
udv uv vdu   (1) 
2). Các bước thực hiện: 
 Bước 1: 
( ) ( ) ( )
Ñaët
( ) ( ) (nguyeân haøm)
u u x du u x dx Ñaïohaøm
dv v x dx v v x
  
 
  
 Bước 2: Thế vào công thức (1). 
 Bước 3: Tính  
b
a
uv và suy nghĩ tìm cách tính tiếp 
b
a
vdu 
(tích phân này có thể tính bằng định nghĩa hoặc đổi biến số hoặc tích phân 
từng phần tùy từng bài toán cụ thể mà ta phải xem xét). 
3). Các dạng tích phân tính bằng phương pháp từng phần: 
Tích phân từng phần thường được áp dụng để tính các tích phân có dạng như 
sau: 
a). Dạng 1:    .
b
a
p x q x dx 
Trong đó  p x là hàm số đa thức, còn  q x là hàm sin ( )x hoặc 
cos ( )x . 
 Trong trường hợp này ta đặt: 
 
 
u p x
dv q x dx
 


  Ghi nhớ : Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì khi thế vào 
công thức ta được 
b
a
vdu phức tạp hơn 
b
a
udv ban đầu. 
b). Dạng 2:    .
b
a
p x q x dx 
Trong đó  p x là hàm số đa thức, còn  q x là hàm logarit. 
 Trong trường hợp này ta đặt: 
 
 
u q x
dv p x dx
 


 Ghi nhớ: Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì ta gặp khó khăn 
khi suy ra v từ dv . 
4). Bài tập: 
 Bài 1: Tính các tích phân sau đây: 
a.  
0
2 1 sinx xdx

 ; b.  
0
1

 cosx xdx ; c. 
4
2
0

 cosx xdx ; 
d. 
1
0
3 2
x
x
dx
e

 ; e.  
1
2
0
1
xx e dx ; f. 
1
0
3 2( ) xx dx ; 
 Bài 2: Tính các tích phân sau đây: 
a. 
3
3
1
 lnx xdx ; b.  
1
0
1lnx x dx ; c. 
3
3
ln
3
e
x
dx 
d. 2
1
 ln
e
x dx ; e. 
1
1
2
1
ln 1 dx
x
 
 
 
 ; f. 4
1
ln
e
x
dx
x
§6. DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG: 
1). Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi: 
       1 2: ; : ; ;C y f x C y g x x a x b    
(trong đó hai đường thẳng ;x a x b  có thể thiếu một hoặc cả hai). 
a). Công thức:    
b
a
S f x g x dx  (2) 
b). Các bước thực hiện: 
 Bước1: Giải PTHĐGĐ của  1C và  2C để tìm các nghiệm thuộc 
 ;a b . Giả sử được các nghiệm 1 2, , , nx x x và 1 2 na x x x b     . 
 Bước 2: Áp dụng công thức (2) được : 
   
b
a
S f x g x dx 
       
1
n
x b
a x
f x g x dx f x g x dx      (chèn thêm các cận 
1 2, , , nx x x vào ) 
       
1
n
x b
a x
f x g x dx f x g x dx            
c). Chú ý: 
 Nếu đề bài không cho a và b thì nghiệm nhỏ nhất và nghiệm lớn 
nhất của phương trình    f x g x tương ứng là a và b. 
 Nếu bài toán này được cho chung trong bài khảo sát hàm số thì ta có 
thể dùng hình vẽ để khử dấu GTTĐ sẽ dễ dàng hơn. Có nghĩa là, nếu trên một đoạn 
tích phân nào đó mà trên hình vẽ,  1C nằm trên  2C thì hiệu     0f x g x  , và 
 1C nằm dưới  2C thì hiệu     0f x g x  . Ta có thể ứng dụng điều này để khử 
dấu giá trị tuyệt đối mà không cần đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài như nói ở trên. 
2). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường không rơi vào trường hợp 1: 
 Bước 1: Vẽ hình (không cần phải khảo sát). 
 Bước 2: Chia hình cần tính thành các hình nhỏ sao cho mỗi hình nhỏ tính 
được diện tích bằng công thức (2). 
 Bước 3: Dùng công thức (2) tính diện tích các hình nhỏ sau đó tính tổng 
diện tích tất cả các hình nhỏ. 
3). Thể tích của hình tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường 
sau đây quanh trục Ox: 
   : ; ; ;C y f x Ox x a x b   
(trong đó hai đường thẳng ;x a x b  có thể thiếu một hoặc cả hai). 
a). Công thức:  
2
b
a
V f x dx    (3) 
b). Các bước thực hiện: 
 Bước 1: Nếu hai đường ,x a x b  đề bài cho thiếu một hoặc cả hai 
thì giải phương trình   0f x  (PTHĐGĐ của  C và trục Ox) để tìm. 
 Bước 2: Áp dụng công thức (3). 
c). Các chú ý: