Tổng hợp lý thuyết và bài tập về Lũy thừa, căn thức, mũ logarit

CHỦ ĐỀ: LŨY THỪA, CĂN THỨC, MŨ LOGARIT
cïd
I.	TÓM TẮC LÝ THUYẾT
	Tính chất:	
	Quy tắc:	
. Khi đó:
. Khi đó:
, 
II.	BÀI TẬP 
1.	LŨY THỪA
+	
+	
+	
+	Tính .
+	Đơn giản các biểu thức.
1) 
2.	LÔGARIT.
+	Biết log52 = a và log53 = b . Tính các lôgarit sau theo a và b.
	1) log527	2) log515	3) log512	4) log530
+ 
+	Tính giá trị các biểu thức.
+	Tính giá trị các biểu thức.
+	Tìm x biết.
1) log6x = 3log62 + 0,5 log625 – 2 log63. 	2) log4x = 
+	 Tính.
+	Tìm x biết
1) logx18 = 4	2) 	3) 	
+	Biết log126 = a , log127 = b. Tính log27 theo a và b.
+	Biết log214 = a. Tính log4932 theo a
3.	HÀM SỐ MŨ – LÔGARIT – LŨY THỪA.
+	 Tìm tập xác định của các hàm số sau.
1) y = 	2) y =	3) y = ln
4) y = log(-x2 – 2x )	5) y = ln(x2 -5x + 6)	6) y = 
+	
+
CHỦ ĐỀ: LŨY THỪA, CĂN THỨC, MŨ LOGARIT
I.	CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:
1. Định lý 1: Với 0 < a 1 thì : aM = aN M = N
2. Định lý 2: Với 0 N (nghịch biến)
3. Định lý 3: Với a > 1 thì : aM < aN M < N (đồng biến )
4. Định lý 4: Với 0 0;N > 0 thì : loga M = loga N M = N
5. Định lý 5: Với 0 N (nghịch biến)
6. Định lý 6: Với a > 1 thì : loga M < loga N M < N (đồng biến)
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau :	
HD:	
 (*)
Đặt 
Pt (*)
Với 	
Với 	
Vậy phương trình có nghiệm: 
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau :	
HD:	 (*)
Đặt 
Pt (*)
Với 	
Vậy phương trình có nghiệm: 
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau :	
HD:	 (*)
Đặt 
Pt (*)
Với 	
Vậy phương trình có nghiệm: 
3. Phương pháp 3: Lấy logarit hai vế
Ví dụ : Giải phương trình sau :	
HD: Lấy logarit hai vế với cơ số 8, ta được
Vậy phương trình có nghiệm: 
IV. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : 
Ví dụ 1 : Giải phương trình sau : 
HD:	 (1)
	Điều kiện: 
	Do đó pt
Vậy phương trình có nghiệm: 
Ví dụ 2 : Giải phương trình sau : 	
HD:	 (1)
	Điều kiện: 
	Vậy phương trình có nghiệm 
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau : 
HD:	 (1)
	Điều kiện: 
Đặt 
	Lúc đó: 
Vậy phương trình có nghiệm 
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau : 
HD:	 (1)
	Điều kiện: 
(2)
Đặt 
Lúc đó: pt (2) 
 thỏa (*)
Vậy phương trình có nghiệm 
3. Phương pháp 3: Mũ hóa hai vế: 
Ví dụ: 
	Điều kiện: 
Vậy phương trình có nghiệm 
5. Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
 	Ta thường sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C) 
Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . ( do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x)) 
Ví dụ : Giải các phương trình sau : 
HD:	 (*)
Ta có là nghiệm của phương trình (*) vì 
Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất.
Thật vậy, xét 
Ta có đồng biến trên vì , . Do đó
+	Với thì hay , nên phương trình (*) thể có nghiệm 
+	Với thì hay , nên phương trình (*) thể có nghiệm 
Vậy phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất 
 6. Bài tập:
	Bài 1: Giải các phương trình sau:
1.	2.	
3.	4.	
5.	6.	
7.	8.	
9.	10.	
11.	12.	
13.	14.	
15.	16.	
17.	18.	
19.	20.	
21.	22.	
23.	24.	
25.	26.	
27.	28.	
29.	30.	
31.	32.	
33.	34.	
	35.	36.	
	37.	38.	
	39.	40.	
	41.	42.	
	43.	44.	
	45.	46.	
	47.	48.	
	49.	50.	
	51.	52.	
	53.	54.	
	55.	56.	
	57.	58.	
	59.	60.	
	61.	62.	
	63.	64.	
	65.	66.	
	67.	68.	
	69.	70.	
	71.	72.	
V. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : aM < aN ()
 Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
 1) 
 2) 
 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
 Ví dụ : Giải các phương trình sau :
 	 1) 4) 
 2) 5) 
 3) 6) 
VI. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ 
 DỤNG:
 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : 
a.	 
	+	Với , phương trình vô số nghiệm.
	+	Với , phương trình: 
b.	
	+	Với , phương trình vô nghiệm.
	+	Với , phương trình: 
Ví dụ 1:	
	+	Trường hợp: , 
	+	Trường hợp: , 
VI. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:
 1. Phương pháp: Biến đổi bất phương trình về dạng cơ bản : 
a.	
b.	
Ví dụ 1: Giải bất phương trình:	
	 Vậy bất phương trình có nghiệm: 
Ví dụ 2: Giải bất phương trình:	
	 Vậy bất phương trình có nghiệm: 
2. Phương pháp: Biến đổi bất phương trình về dạng cùng cơ số:, các trường hợp tương tự
+	Điều kiện:
+	
Ví dụ: Giải bất phương trình:	
+	Điều kiện:
+	
+	Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm: 
 Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
	1)	 2) 
	3)	 4) 
	5) 
 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
 Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1) 
2) 
Bài 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
I/Một số phương php giải bất phương trình mũ v logarit
· Dạng cơ bản :
10 > Û 
20 > b Û Nếu b £ 0 cĩ nghiệm "x
	 Nếu b > 0 f(x) > logb nếu a > 1
	 f(x) < logb nếu 0 < a < 1 
 30 < b Û Nếu b £ 0 thì pt vơ nghiệm
	 Nếu b > 0 ; f(x) 1
	 f(x) > logb nếu 0 < a < 1 
·logf(x) > logg(x) Û Đk: f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 < a ¹ 1
 (a-1)[ f(x) - g(x) ] > 0 
·logf(x) > b 	Û * Nếu a > 1 : bpt l f(x) > 
	 * Nếu 0 < a < 1 bpt l 0 < f(x) < 
·logf(x) 1 : bpt l 0 < f(x) < 	 
 * Nếu 0 
·> 1 Û u(x) > 0 v [ u(x) -1 ].v(x) > 0 
· 0 v [ u(x) -1 ].v(x) < 0 
Lưu ý: 
 *) trong trường hợp có ẩn dưới cơ số thì chng ta nn sử dụng cơng thức sau để bài toán trở nên dễ dang hơn.
10 > ó (a-1)(f(x) - g(x)) > 0.
20 logf(x) > logg(x) ó (a-1)(f(x) - g(x)) > 0.
 *) Khi giải bài toán bất phương trình mũ hoặc logarit thì phải nắm thật vững tính chất đơn điệu của hai hàm số trên.
 *) Nắm vững php lấy hợp, lấy giao của hai hay nhiều tập hợp số.
II/ BI TẬP:
A/Bi tập mẫu:
Bi 1: Giải các bất phương trình sau
	a./ 	b./ 
	c./ 
	Giải:
	a./ (1)
	ĐK: 
	Kết hợp với ĐK (*) ta có nghiệm là : 
	b./ (1)
	ĐK: 
	Kết hợp với ĐK (*) ta có nghiệm: 	
	c./ (1)
	ĐK: 
	Kết hợp với ĐK (*) ta có nghiệm là: 2 < x < 5. 
Bi 2: Giải các bất phương trình sau: 
	a./ 	b./ 
	c./ 
	Giải: 
	a./ (1)
	ĐK: x >0	Đặt : . Ta cĩ bất PT: 
Kết hợp ĐK ta có nghiệm là 
b./ (1)
ĐK: (*)
Đặt : ta cĩ : 
. Kết hợp ĐK (*) ta có nghiệm là : 
c./ (1)
ĐK: x >0 (*)
Đặt . Ta cĩ 
Kết hợp ĐK (*). Ta có nghiệm là 
Bi 3: Giải các bất phương trình sau
	Giải:
a./ 
Bi 4: Giải các bất phương trình sau