Tổng hợp lý thuyết – phân dạng bài tập quan hệ vuông góc trong không gian

g góc với d , trong đó có ít nhất một đường thẳng qua M .
mặt phẳng được xác định bởi hai đường thẳng trên chính là (P) .
Sau đó xác định thiết diện theo phương pháp đã học . 
Đường vuông góc và đường xiên.
 1. Dựng đường thẳng qua một điểm A cho trước và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước .
Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Phương pháp :
Thực hiện các bước sau :
 *Chọn trong (P) một đường thẳng d, rồi dựng mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với d (nên chọn d sao cho (Q) dễ dựng ).
 *Xác định đường thẳng 
 * Dựng AH vuông góc với c tại H
- Đường thẳng AH là đường thẳng qua A vuông góc với (P) .
- Độ dài của đoạn AH là khoảng cách từ A đến (P)
Chú ý :
- Trước khi chọn d và dựng (Q) nên xét xem d và (Q) đã cío sẵn trên hình vẽ chưa.
- Nếu đã có sẵn đường thẳng m vuông góc với (P), khi đó chỉ cần dựng Ax // m thì 
- Nếu AB // (P) thì khoảng cách giữa đường và mặt song song có. d(A,(P)) = d(B, (P))
- Nếu AB cắt (P) tại I thì tỉ số khoảng cách. d(A,(P) : d(B, (P)) = IA : IB 
 2. Ứng dụng của trục đường tròn
Định nghĩa : Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại tâm của đường tròn đó .
 Ta có thể dùng tính chất của trục đường tròn để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng .
- Nếu O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M là một điểm cách đều 3 điểm A,B,C thì đường thẳng MO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; khi đó MO vuông góc với mặt phẳng (ABC) và MO = d(M,(ABC))
- Nếu MA=MB=MC và NA=NB=NC trong đó A,B,C là ba điểm không thẳng hàng thì đường thẳng MN là trục đường tròn qua ba điểm A,B,C; khi đó MN vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại tâm O của đương tròn qua ba điểm A,B,C .
 3. Tập hợp hình chiếu của một điểm cố định trên một đường thẳng di động
Ta thường gặp bài toán : Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc M của điểm cố định A trên đường thẳng d di động trong mặt phẳng (P) cố định và luôn đi qua điểm cố định O .
Phương pháp :
- Dựng , theo định lý ba đường vuông góc ta có 
- Trong mặt phẳng (P), nên M thuộc đường tròn đường kính OH chứa trong (P) 
 4. Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc của một điểm cố định trên mặt phẳng di động .
Ta thường gặp bài toán : Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc H của một điểm cố dịnh A trên mặt phẳng (P) di động luôn chứa một đường thẳng d cố định .
Phương pháp :
- Tìm mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với d
- Tìm 
- Chiếu vuông góc A lên c, điểm chiếu là H thì H cũng là hình chiếu của A trên (P) .
Gọi E là giao điểm của d với (Q). Trong mặt phẳng (Q), nên H thuộc đường tròn đường kính AE .
 5. Góc giữa đương thẳng và mặt phẳng
Cách xác định góc giữa a và (P) .
Phương pháp : - Tìm giao điểm O của a với (P)
 - Chọn điểm và dựng 
khi đó 
Mặt phẳng vuông góc
 1. Mặt phẳng vuông góc 
 Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng .
* Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc .
Phương pháp :
- Cách 1 : Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia .
- Cách 2 : chứng minh góc giữa hai mặt phẳng có số đo bằng 900 .
* Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng .
- Cách 1 : Chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong (P) .
- Cách 2 : Chứng minh a song song với đường thẳng b vuông góc với (P) .
- Cách 3 : Chứng minh a là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A, B, C thuộc (P) .
- Cách 4 : Sử dụng định lý : " Nếu a chứa trong một mặt phẳng (Q) vuông góc với (P) và a vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) thì a vuông góc với (P) " .
- Cách 5 : Sử dụng định lý :" Nếu a là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với (P) thì a v/góc với (P) ".
 2. Xác định mặt phẳng chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng . Thiết diện .
Cho trước mặt phẳng (P) và đường thẳng a không vuông góc với (P) . Xác định mặt phẳng (Q) chứa a và vuông góc với (P) .
Phương pháp :
- Từ một điểm trên a dựng b vuông góc với (P) thì (Q) là mặt phẳng (a, b) .
Chú ý : Nếu có đường thẳng thì (Q) // d hay (Q) chứa d .
CÁC VẤN ĐỀ CHÍNH:
Véctơ, các phép toán véctơ trong không gian và ứng dụng.
Chứng minh vuông góc: Đường thẳng vuông góc ví đường thẳng, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và hai mặt phẳng vuông góc.
Các bài toán tính góc: Góc giữa đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng.
Các bài toán tính khoảng cách: Khoảng cách Từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và cách loại khoảng cách quy về dạng trên.
Bài toán dựng thiết diện, tính diện tích thiế diện.
Mặt phẳng trung trực, trục đường tròn, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và lăng trụ.
Các hình đa diện đặc biệt và tính chất của nó.
BÀI TẬP:
Lo¹i 1: Chøng minh ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng, víi ®­êng th¼ng:
Cho tø diÖn S.ABC cã SA vu«ng gãc víi (ABC) vµ tam gi¸c ABC vu«ng ë B.
Chøng minh BC (SAB)
Gäi AH lµ ®­êng cao cña SAB. Chøng minh: AH (SBC)
Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thoi t©m O; gäi I, J lÇn l­ît lµ trung ®iÓm AB, BC. BiÕt SA = SC, SB = SD. Chøng minh r»ng:
SO (ABCD)
IJ (SBD)
Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng t©m O vµ cã c¹nh SA (ABCD). Gäi H, I, K lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm A lªn SB, SC, SD.
Chøng minh r»ng: CD (SAD), BD (SAC)
Chøng minh: SC (AHK) vµ ®iÓm I còng thuéc (AHK)
Chøng minh: HK (SAC), tõ ®ã suy ra HK AI
Cho tø diÖn ABCD cã ABC vµ DBC lµ 2 tam gi¸c ®Òu, gäi I lµ trung ®iÓm BC
Chøng minh: BC (AID)
VÏ ®­êng cao AH cña tam gi¸c AID. Chøng minh: AH (BCD)
5. Cho tø diÖn OABC cã OA, OB, OC ®«i mét vu«ng gãc víi nhau. GoÞ H lµ ®iÓm thuéc 
	mp(ABC) sao cho OH (ABC). Chøng minh r»ng:
a) BC (OAH)
b) H lµ trùc t©m cña ABC
c) 
Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, mÆt bªn SAB lµ tam gi¸c ®Òu vµ SC = . Gäi H, K lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, AD.
Chøng minh: SH (ABCD)
Chøng minh: AC SK vµ CK SD
Gäi I lµ 1 ®iÓm bÊt k× n»m trong ®­êng trßn (O; R). CD lµ d©y cung cña ®­êng trßn (O) qua I. Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa (O) t¹i I ta lÊy ®iÓm S víi OS = R. Gäi E lµ ®iÓm ®èi t©m cña D trªn (O). Chøng minh r»ng:
Tam gi¸c SDE vu«ng ë S
SD CE	c) Tam gi¸c SCD vu«ng. 
Lo¹i 2: Chøng minh 2 mÆt ph¼ng vu«ng gãc: 
Cho tø diÖn ABCD cã 2 mÆt ph¼ng ABC, ABD cïng vu«ng gãc víi ®¸y DBC. VÏ c¸c ®­êng cao BE, DF cña tam gi¸c BCD; ®­êng cao DK cña tam gi¸c ACD
Chøng minh: AB (BCD)
Chøng minh 2 mÆt ph¼ng (ABE) vµ (DFK) cïng vu«ng gãc víi (ADC)
Gäi O vµ H lÇn l­ît lµ trùc t©m cña 2 tam gi¸c BCD vµ ACD. CM: OH (ADC)
Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thoi c¹nh 2a; gãc BAC = 600, SA (ABCD) vµ SA = . Chøng minh:
(SAC) (ABCD) vµ (SAC) (SBD)
(SBC) (SDC)
Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thoi t©m O, SA = SC, SB = SD.
Chøng minh: SO (ABCD); (SAC) (SBD)
Mét mÆt ph¼ng () ®i qua A vµ song song víi BD c¾t SB, SC, SD lÇn l­ît t¹i B’, C’, D’. Chøng minh AC’ B’D’ vµ 2 tam gi¸c AB’C’ vµ AD’C’ ®èi xøng víi nhau qua mp(SAC) 
Cho tam gi¸c ®Òu ABC c¹nh a, I lµ trung ®iÓm cña BC, D lµ ®iÓm ®èi xøng víi A qua I. Dùng ®o¹n SD = vu«ng gãc víi (ABC). Chøng minh:
MÆt ph¼ng (SAB) (SAC)
MÆt ph¼ng (SBC) (SAD)
Trong mÆt ph¼ng (P) cho h×nh thoi ABCD víi AB = a vµ BD = . Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi (P) t¹i giao ®iÓm cña 2 ®­êng chÐo cña h×nh thoi lÊy ®iÓm S sao cho SB=a.
Chøng minh tam gi¸c ASC vu«ng
Chøng minh: (SAB) (SAD)
Cho h×nh tø diÖn ABCD cã AB = BC = a; AC = b; DC = DB = x, AD = y. T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a a, b, x, y ®Ó:
(ABC) (BCD)
(ABC) (ACD)
Cho ABC vu«ng t¹i A. VÏ BB’ vµ CC’ cïng vu«ng gãc víi (ABC)
(ABB’) (ACC’)
Gäi AH, AK lµ c¸c ®­êng cao cña c¸c tam gi¸c ABC vµ AB’C’. Chøng minh r»ng hai mÆt ph¼ng (BCC’B’) vµ (AB’C’) cïng vu«ng gãc víi (AHK) 
Lo¹i 3: Gãc cña 2 ®­êng th¼ng:
Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh thang vu«ng t¹i A vµ D, AD = DC = a, AB = 2a. SA vu«ng gãc víi AB vµ AD, SA = . TÝnh gãc cña 2 ®­êng th¼ng:
SB vµ DC	 (300)
SD vµ BC	 (cos = ) 
Cho tø diÖn ®Òu ABCD c¹nh a, gäi I lµ trung ®iÓm c¹nh AD. 
	TÝnh gãc gi÷a AB vµ CI	(cos = )
17.Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCD.A’B’C’D’
	a) TÝnh gãc gi÷a: AB’ vµ BC’; AC’ vµ CD’	 (600 vµ 900)
	b) Gäi M, N, P lÇn l­ît lµ trung ®iÓm AB, BC, C’D’. H·y tÝnh gãc gi÷a: MN vµ C’D’; BD vµ 
 	AD’; A’P vµ DN.	 (600, 450, 900)
Lo¹i 4: Gãc gi÷a ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng:
Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a, SA = vu«ng gãc víi ®¸y. TÝnh gãc cña:
SC víi (ABCD)	(600)
SC víi (SAB)	
SB víi (SAC)	 
Cho h×nh vu«ng ABCD vµ tam gi¸c ®Òu SAB c¹nh a n»m trong 2 mÆt ph¼ng vu«ng gãc. Gäi I lµ trung ®iÓm AB.
a) Chøng minh SI (ABCD) vµ tÝnh gãc hîp bëi SC víi (ABCD)	 
b) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ B ®Õn (SAD). Suy ra gãc cña SC víi (SAD)	 
Gäi J lµ trung ®iÓm CD, chøng tá (SIJ) (ABCD). 	
TÝnh gãc hîp bëi SI víi (SDC) 	 
Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng t©m O, c¹nh a vµ SO vu«ng gãc víi ®¸y. Gäi M, N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm SA vµ BC. BiÕt gãc gi÷a MN vµ (ABCD) lµ 600
a) TÝnh MN, SO	 
b) TÝnh gãc cña MN víi mÆt ph¼ng(SBD)	 
Lo¹i 5: Gãc gi÷a mÆt ph¼ng vµ mÆt ph¼ng:
Cho tø diÖn SABC cã SA, SB, Sc ®«i mét vu«ng gãc vµ SA = SB = SC. Gäi I, J lÇn l­ît lµ trung ®iÓm AB, BC. TÝnh gãc cña 2 mÆt ph¼ng: (SAJ) vµ (SCI)	(600) 
Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu cã c¹nh ®¸y b»ng 3a, c¹nh bªn b»ng 2a.
a) TÝnh gãc gi÷a c¹nh bªn vµ mÆt ®¸y	 (300)
b) TÝnh gãc t¹o bëi mÆt bªn vµ mÆt ®¸y	 
Cho h×nh l¨ng trô ABC.A’B’C’ cã tÊt c¶ c¸c c¹nh ®¸y ®Òu b»ng a. BiÕt gãc t¹o bëi c¹nh bªn vµ mÆt ®¸y lµ 600 vµ h×nh chiÕu H cña ®Ønh A lªn (A’B’C’) trïng víi trung ®iÓm cña B’C’.
a) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a 2 mÆt ®¸y	 (3a/2)
b) TÝnh gãc gi÷a 2 ®­êng th¼ng: BC vµ AC’	 (tan = 3) 
c) TÝnh gãc gi÷a mÆt ph¼ng (ABB’A’) vµ mÆt ®¸y	 
Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a, vÏ SA = vu«ng gãc víi (ABCD). TÝnh gãc:
a) (SAB) vµ (ABC)	 (900)
b) (SBD) vµ (ABD)	 
c) (SAB) vµ (SCD)	 	 (300)
Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a, t©m O; SA vu«ng gãc víi (ABCD). TÝnh SA theo a ®Ó gãc gi÷a (SBC) vµ (SCD) b»ng 600	(SA = a)
Cho h×nh thoi ABCD c¹nh a cã t©m O vµ OB = , vÏ SO (ABCD) vµ SO = 
Chøng minh: gãc ASC = 900
Chøng minh: (SAB) (SAD)
Cho tø diÖn ABCD cã ABC lµ tam gi¸c ®Òu, DBC v