Tổng hợp đề thi HSG môn Toán lớp 12 tỉnh Thái Bình từ năm 2000 đến năm 2008

 b c 0
m 2 m 1 m
+ + =+ + 
 th× ph−¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc kho¶ng (0 ; 1) 2ax bx c 0+ + =
Bµi 3 : ( 4 ®iÓm ) 
 1, Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× hµm sè : 
6 6y cos x sin x a sin x cos= + + x 
 x¸c ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ cña x . 
 2, T×m d¹ng cña tam gi¸c ABC tho¶ m·n : 
cot gA cot gB A B
1000A 1001B 2
− = −⎧⎨ + = π⎩ 
Bµi 4 : ( 4 ®iÓm ) 
 Cho tam gi¸c ABC , gäi d1 , d2 , d3 lµ kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm M n»m phÝa 
 trong tam gi¸c ®Õn c¸c c¹nh cña tam gi¸c . 
 1 , Chøng minh bÊt ®¼ng thøc : 
3
1 2 3
8Sd d , trong ®ã S lµ diÖn tÝch tam d
27abc
≤
 gi¸c ABC ; a , b , c lµ ®é dµi c¸c c¹nh tam gi¸c . 
 2 , LËp bÊt ®¼ng thøc t−¬ng tù cho tø diÖn trong kh«ng gian. 
Bµi 5 : ( 2 ®iÓm ) 
 Cho ®−êng trßn t©m O , ®−êng kÝnh AB = 2R . Qua ®iÓm M thuéc ®−êng trßn 
 , kÎ ®−êng th¼ng MH vu«ng gãc víi AB ( H thuéc AB ) . §iÓm I thuéc ®−êng 
 th¼ng MH tho¶ m·n : IM = 2IH . T×m tËp hîp c¸c ®iÓm I khi M di chuyÓn 
 trªn ®−êng trßn 
 Së gi¸o dôc - ®μo t¹o 
 Th¸i b×nh 
 K× thi chän häc sinh giái líp 12 
 N¨m häc 2002 - 2003 
 ***** 
 §Ò chÝnh thøc 
 M«n thi : to¸n 
 ( Thêi gian lµm bµi 180 phót ) 
 ******* 
 §ç B¸ Chñ tÆng www.mathvn.com 
Bµi 1 : ( 3 ®iÓm ) 
 Cho hµm sè 
x
2
e v i x
y
x x 1 v i x 0
⎧ ≥⎪= ⎨ + + <⎪⎩
í
í
0
 TÝnh ®¹o hµm cña hµm sè t¹i ®iÓm x = 0 
Bµi 2 : ( 2 ®iÓm ) 
 LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè sau : 
ny x (2 x)= − 2 víi n nguyªn d−¬ng . 
Bµi 3 : ( 2 ®iÓm ) 
 T×m a ®Ó hµm sè sau chØ cã cùc tiÓu mµ kh«ng cã c−c ®¹i : 
4 3 2y x 4ax 3(a 1)x 1= + + + + 
Bµi 4 : ( 3 ®iÓm ) 
 Cho ph−¬ng tr×nh : 3 2x mx 1 0 (1+ − = )
 1, Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh (1) lu«n cã mét nghiÖm d−¬ng . 
 2, X¸c ®Þnh m ®Ó ph−¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm duy nhÊt . 
Bµi 5 : ( 6 ®iÓm ) 
 Trong mÆt ph¼ng Oxy cho hai ®iÓm A(a ; 0) , B(0 ; a) (víi a > 0)vµ ®−êng trßn 
 cã ph−¬ng tr×nh : ( )ξ
2 2 2x y 2ax m 2y a+ − − + = 0 ( m lµ tham sè ) 
 1 , Chøng minh r»ng ®−êng trßn ( )ξ tiÕp xóc víi Ox t¹i A . T×m giao ®iÓm thø 
 hai P cña ®−êng trßn ( vµ ®−êng th¼ng AB. )ξ
 2 , LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn ( )′ξ ®i qua P vµ tiÕp xóc Oy t¹i B. 
 3 , Hai ®−êng trßn ( vµ ()ξ )′ξ c¾t nhau t¹i P vµ Q . Chøng minh r»ng khi m 
 thay ®æi ®−êng th¼ng PQ lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh . 
Bµi 6 : ( 2 ®iÓm ) 
 LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi 2 ®−êng th¼ng : 
x y 3 0+ − = , 7x y 4 0− + = cã chøa ®iÓm M0(-1 ; 5) 
 Bµi 7 : ( 2 ®iÓm ) 
 Cho c¸c sè thùc x1 , x2 ,  , x2002 , y1 , y2 ,  , y2000 tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau : 
1 2 2002 1 2 2000
1 2 2002 1 2 2000
1) e x x ... x y y ... y
2) x x ... x y y ... y
≤ ≤ ≤ ≤ < ≤ ≤ ≤
+ + + ≥ + + + 
 Chøng minh : 1 2 2002 1 2 2000x x ...x y y ...y>
 Së gi¸o dôc - ®μo t¹o 
 Th¸i b×nh 
 K× thi chän häc sinh giái líp 12 
 N¨m häc 2003 - 2004 
 ***** 
 §Ò chÝnh thøc 
 M«n thi : to¸n 
 ( Thêi gian lµm bµi 180 phót ) 
 ******* 
 §ç B¸ Chñ tÆng www.mathvn.com 
Bµi 1 : ( 5 ®iÓm ) 
 Cho hµm sè 
4
2xy 3x x
2
1= − + − 
 1 , Chøng minh r»ng hµm sè cã 3 cùc trÞ . 
 2 , Cho tam gi¸c cã to¹ ®é ®Ønh lµ to¹ ®é c¸c ®iÓm cùc trÞ trªn , t×m to¹ ®é 
 träng t©m tam gi¸c. 
Bµi 2 : ( 4 ®iÓm ) 
 1 , T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M sao cho tõ ®ã cã thÓ kÎ ®−îc 2 tiÕp tuyÕn víi 
 parabol vµ hai tiÕp tuyÕn ®ã vu«ng gãc nhau. 2y 4x x= −
 2 , TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c cã ®Ønh lµ ®iÓm 
5 17M( ; )
2 4
 vµ c¸c tiÕp ®iÓm cña c¸c 
 tiÕp tuyÕn ®ã ®i qua ®iÓm M. 
Bµi 3 : ( 5 ®iÓm ) 
 1, Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : 
3 3
6 6
x 3x y 3
x y 1
⎧ y− = −⎪⎨ + =⎪⎩
 2, Gi¶i vµ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh ; 
2 2x 2ax 2 2x 4ax a 2 23 3 x 2ax+ + + + + a− = + + 
Bµi 4 : ( 4 ®iÓm ) 
 Cho hä ®−êng cong ( Cm) cã ph−¬ng tr×nh : 
2 2
2 2
x y 1
m m 16
+ =− 
 trong ®ã m lµ tham sè , m 0 . ,m 4≠ ≠ ±
 1 , Tuú theo gi¸ trÞ cña m , x¸c ®Þnh tªn gäi cña ®−êng cong ®ã . 
 2 , Gi¶ sö A lµ mét ®iÓm tuú ý trªn ®−êng th¼ng x = 1 vµ A kh«ng thuéc trôc 
 hoµnh. Chøng minh r»ng víi mçi ®iÓm A lu«n cã 4 ®−êng cong hä ( Cm) ®i 
 qua A . 
 3 , Khi m = 5 h·y tÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®−êng cong trªn. 
Bµi 5 : ( 2 ®iÓm ) 
 Chøng minh r»ng trong tam gi¸c ABC lu«n cã : 
1 1 1cot gA cot gB cot gC 3 3 2
sin A sin B sinC
⎛ ⎞+ + + ≤ + +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 Së gi¸o dôc - ®μo t¹o 
 Th¸i b×nh 
 K× thi chän häc sinh giái líp 12 
 N¨m häc 2004 - 2005 
 ***** 
 §Ò chÝnh thøc 
 M«n thi : to¸n 
 ( Thêi gian lµm bµi 180 phót ) 
 ******* 
 §ç B¸ Chñ tÆng www.mathvn.com 
Bµi 1 : ( 5 ®iÓm ) 
 Cho ®−êng cong (Cm) cã ph−¬ng tr×nh : 
3 2y (m 1)x 3(m 1)x (6m 1)x 2m= + − + − − − 
 1 , Chøng minh r»ng (Cm) lu«n ®i qua ba ®iÓm cè ®Þnh th¼ng hµng khi m thay 
 ®æi . 
 2 , T×m tËp hîp c¸c ®iÓm trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é ®Ó (Cm) kh«ng ®i qua víi mäi 
 m . 
Bµi 2 : ( 3 ®iÓm ) 
 X¸c ®Þnh d¹ng cña tam gi¸c ABC nÕu : 
a cosA bcosB ccosC a b c
a sin A bsin B csinC 9R
+ + +=+ +
+
Bµi 3 : ( 4 ®iÓm ) 
 Cho parabol vµ elip 2y x 2x= −
2 2x y 1
9 1
+ = 
 1, Chøng minh r»ng parabol vµ elip lu«n cã bèn giao ®iÓm cã hoµnh ®é x1 , x2 , 
 , x3 ,x4 tho¶ m·n − < 1 2 3 41 x 0 x 1 x 2 x 3< < < < < < <
 2, ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn ®i qua 4 giao ®iÓm trªn . 
Bµi 4 : ( 6 ®iÓm ) 
 1, Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : 
3 2
3 2
3 2
2z 1 x x x
2y 1 z z z
2x 1 y y y
⎧ + = + +⎪ + = + +⎨⎪ + = + +⎩
 2 , Gi¶i ph−¬ng tr×nh : 
x x2 21 a 1 a 1
2a 2a
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −− =⎜ ⎟ víi 0 < a < 1 ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Bµi 5 : ( 2®iÓm ) 
 Cho hµm sè f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [ ]0;1 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn f(0) = f(1) . 
 Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh : 
1f (x) f (x )
2004
= + 
 lu«n cã nghiÖm thuéc [ ]0;1
 Së gi¸o dôc - ®μo t¹o 
 Th¸i b×nh 
 K× thi chän häc sinh giái líp 12 
 N¨m häc 2005 - 2006 
 ***** 
 §Ò chÝnh thøc 
 M«n thi : to¸n 
 ( Thêi gian lµm bµi 180 phót ) 
 ******* 
§ç B¸ Chñ tÆng www.mathvn.com 
Bµi 1 : ( 5 ®iÓm ) 
 Cho hµm sè : 
3 2x 3x 3x ay
x
− + += 
 1 , T×m a ®Ó ®å thÞ hµm sè trªn cã ba ®iÓm cùc trÞ . 
 2 , Chøng minh r»ng c¸c ®iÓm cùc trÞ nµy lu«n n»m trªn mét parabol cè ®Þnh 
 khi a thay ®æi 
Bµi 2 : ( 4 ®iÓm ) 
 Cho hai ph−¬ng tr×nh : 
2
2
x x 2m 1 0 (1
x 2x 2m 1 0 (2
+ + − =
+ + + =
)
)
 1 , T×m m ®Ó hai ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm chung . 
 2 , T×m m ®Ó mét trong hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh nµy n»m trong kho¶ng 
 hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh kia vµ ng−îc l¹i . 
Bµi 3 : ( 5 ®iÓm ) 
 Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh : 
x x x x
1) 5sin x cos 2x 2cos x 0
2) 2007 2006 2005 2004
+ + =
− = − 
Bµi 4 : ( 4 ®iÓm ) 
 Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho ®−êng trßn cã ph−¬ng tr×nh : 2 2x y+ =1
 1 , ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®−êng trßn t¹i ®iÓm M , biÕt tia OM hîp 
 víi chiÒu d−¬ng trôc Ox mét gãc a. 
 2 , Gi¶ sö khi a thay ®æi tõ 0 ®Õn 
4
π
 , tiÕp tuyÕn trªn thay ®æi theo vµ quýet 
 ®−îc mét miÒn trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é . TÝnh phÇn diÖn tÝch giíi h¹n bëi 
 miÒn ®ã vµ ®−êng th¼ng y = 0 . 
Bµi 5 : ( 2®iÓm ) 
 T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm : 
2 2
2 2
1 mx 2xy 7y
1 m
3x 10xy 5y 2
−⎧ + − ≥⎪ +⎨⎪ + − ≤⎩
 Së gi¸o dôc - ®μo t¹o 
 Th¸i b×nh 
 K× thi chän häc sinh giái líp 12 
 N¨m häc 2006 - 2007 
 ***** 
 §Ò chÝnh thøc 
 M«n thi : to¸n 
 ( Thêi gian lµm bµi 180 phót ) 
 ******* 
§ç B¸ Chñ tÆng www.mathvn.com 
Bµi 1 : ( 5 ®iÓm ) 
 Cho hµm sè : 
2
m
x 2x my (
x 2
− += − m 0C ) víi ≠ . 
 1 , T×m m ®Ó ®å thÞ (Cm) c¾t trôc hoµnh t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A , B sao cho 
 c¸c tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ t¹i A , B vu«ng gãc nhau . 
 2 , T×m m ®Ó tam gi¸c t¹o bëi mét tiÕp tuyÕn bÊt k× cña ®å thÞ (Cm) víi hai 
 tiÖm cËn cã diÖn tÝch b»ng 1 . 
Bµi 2 : ( 4 ®iÓm ) 
 1 , Gi¶i ph−¬ng tr×nh : 
cos 2x 1
2
1 12 cos 2x log (3cos 2x 1)
2 2
− + = + − 
 2 , T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña a ®Ó hÖ sau cã nghiÖm : 
2 2 4
2 2 4
x 4xy 12y 72
3x 20xy 80y a
⎧ + + ≥⎪⎨ + + =⎪⎩
Bµi 3 : ( 3 ®iÓm ) 
 Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC . §−êng ph©n gi¸c trong AD ( D ) , BC∈
 ®−êng cao CH ( ) lÇn l−ît cã ph−¬ng tr×nh : x – y = 0 , 2x + y + 3 = 0 . H AB∈
 C¹nh AC ®i qua ®iÓm M(0 ; -1) vµ AB = 2AM . H·y viÕt ph−¬ng tr×nh c¸c c¹nh cña 
tam gi¸c ABC . 
Bµi 4 : ( 2 ®iÓm ) 
 Trªn hÖ to¹ ®é Oxy cho ®−êng (C) cã ph−¬ng tr×nh : 2 2x y 9+ = . T×m m ®Ó 
 trªn ®−êng th¼ng y = m cã ®óng 4 ®iÓm sao cho tõ mçi ®iÓm ®ã kÎ ®−îc ®óng 
 hai tiÕp tuyÕn ®Õn (C) vµ mçi cÆp tiÕp tuyÕn Êy t¹o thµnh mét gãc 45D
Bµi 5 : ( 5®iÓm ) 
 1 , Chøng minh r»ng víi mäi x > 1 ta cã : 
x 1ln x
x
−< 
 2 , T×m sè thùc α tho¶ m·n bÊt ®¼ng thøc : 
1 n1ln(1 )
n
α ≤ −
+
 , víi mäi n nguyªn d−¬ng. 
 Së gi¸o dôc - ®μo t¹o 
 Th¸i b×nh 
 K× thi chän häc sinh giái líp 12
 N¨m häc 2007 - 2008 
 ***** 
 §Ò chÝnh thøc 
 M«n thi : to¸n 
 ( Thêi gian lµm bµi 180 phót ) 
 ******* 
§ç B¸ Chñ tÆng www.mathvn.com 
Bµi 1 : ( 5 ®iÓm) 
 Cho hai sè m , p ( m 0 ). ≠
 XÐt ®å thÞ (Cm):
2 2−= x my
x
 vµ (Cp):
3 (2 1)= − −y x p x 
 1, T×m ®iÒu kiÖn cña m vµ p ®Ó hai ®å thÞ tiÕp xóc nhau. 
 2, Gi¶ sö hai ®å thÞ tiÕp xóc nhau , chøng minh r»ng tiÕp ®iÓm cña chóng 
 thuéc thÞ hµm sè y = x – x3
Bµi 2 : (2 ®iÓm ) 
 BiÕt r»ng ph−¬ng tr×nh : 3 2 0+ + + =x x ax b cã 3 nghiÖm ph©n biÖt . 
 Chøng minh r»ng : a2 – 3b > 0 
Bµi 3 : ( 5 ®iÓm ) 
 1, T×m m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm : 
5log ( 3)
4
2 2
2
1 log ( ) log ( 1)
+⎧ ≥⎪⎨ + − ≥⎪⎩
xx
m x x + 
 2, T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm : 
(2 1) 2 ( 2) 2 1 0− + + − − + − =m x m x m 
Bµi 4 : ( 6 ®iÓm) 
 1, Cho tam gi¸c ABC víi B (1 ; 2) , ®−êng ph©n gi¸c trong cña gãc A cã 
 ph−¬ng tr×nh 2x + y + 1 = 0 (d) . T×m to¹ ®é c¸c ®Ønh A vµ C biÕt r»ng 
 kho¶ng c¸ch tõ C ®Õn (d) b»ng hai lÇn kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn (d) vµ C n»m 
 trªn trôc tung . 
 2, Cho A(0 ; 4) vµ B(-4 ; 0) . XÐt ®−êng th¼ng Δ : ax + by + 2 = 0 ( a2 + b2 > 0) 
 lu«n tiÕp xóc víi ®−êng trßn : x2 + y2 = 16 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña tæng 
 kho¶ng c¸ch tõ A vµ B ®Õn Δ 
Bµi 5: (2 ®iÓm) 
 Gäi xi lµ nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh : 
 ( i = 2 2 ( 1)− + − ≤i ix a x a 2 0 1; ) vµ n 1 5, 1;2;...;2 ≤ ≤ =ia i n 
 Chøng minh r»ng : 
2 2 2
1 2 1 2... ...1
2
+ + + + + +≤ +n nx x x x x
n n
x
 Së gi¸o dôc - ®μo t¹o 
 Th¸i b×nh 
 K× thi chän häc sinh giái líp 12
 N¨m häc 2008 - 2009